Изучение колебаний математического маятника

Цель работы: изучение колебаний математического маятника и определение погрешности измерения ускорения свободного падения

Теоретическое введение

 

При гармонических колебаниях колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса (4.1):

.                                     (4.1)

Здесь х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, А – амплитуда колебаний (абсолютное значение максимального смещения),  – фаза колебаний,  – начальная фаза,  – собственная круговая (циклическая) частота, равная

.                                           (4.2)

В (4.2)  – частота колебаний (число полных колебаний в единицу времени,  – число колебаний за время ),  – период колебаний (время совершения одного полного колебания).

Скорость  колеблющейся материальной точки получим, продифференцировав координату (4.1) по времени:

.                          (4.3)

Продифференцировав скорость (4.3), получим ускорение :

.                          (4.4)

Рис. 4.1.

Учитывая (4.1), имеем: , или:

.                          (4.5)

Выражение (4.5) описывает гармонические колебания величины x и называется дифференциальным уравнением гармонического осциллятора.

Если вся масса маятника сосредоточена в одной точке (например, шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити), то такой маятник называют математическим (рис. 4.1). На шарик, подвешенный на нити, действуют сила тяжести  и сила натяжения нити , тогда

.                                      (4.6)

Сила натяжения нити  не имеет касательной составляющей, а проекция силы тяжести для малых углов  равна , тогда касательное ускорение . Угол отклонения маятника из положения равновесия , где x – отклонение из положения равновесия. Касательное ускорение – это вторая производная координаты x, тогда

.                                     (4.7)

Отсюда . Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний идентично (4.5), если ; следовательно,

.                                            (4.8)

                                           (4.9)

 

Вывод формул для расчёта погрешностей

(для случая, когда все пять измерений производились в одних и тех же условиях: длина нити  и число колебаний N одинаковы)

 

1) Расчёт случайной погрешности  времени t N колебаний маятника по формуле Стьюдента:

,                                (4.10)

где n =5 – число опытов,  – отклонение от среднего в i -том опыте,  – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности α=0,95.

2) Расчёт случайной погрешности периода колебаний:

.

3) Вывод формулы для погрешности ускорения свободного падения при косвенных измерениях, исходя из (4.9):

.                    (4.11)

 Расчёт частных производных:

;

;

.

Подставляем частные производные в (4.11):

.               (4.12)

Абсолютную погрешность  можно считать по (4.12), но расчёты упростятся, если сначала рассчитать относительную погрешность  с учётом (4.9):

;   

;

.                         (4.13)

 

Экспериментальная часть

 

Приборы и оборудование: секундомер, математический маятник (шарик на нити на штативе).

1. Длина математического маятника

.

Абсолютная погрешность длины определяется не приборной погрешностью линейки, а размерами груза маятника: примерно половина диаметра шарика, так как груз маятника точечным не является:

.

2. Число колебаний N =20.

3. Время t двадцати (N =20) колебаний измерено 5 раз (n =5) с одной и той же длиной l маятника; данные в таблице.

Таблица. Результаты измерений и вычислений

№ опыта	, м	, м		, с	, с	, c^2	, с	, с	, с	, м/с^2	, %	, м/с^2
1	0,55	0,01	20	30,72	0,00	0,0000	0,78	1,536	0,039	9,19	5,4	0,5
2				30,22	0,50	0,2500
3				30,32	0,40	0,1600
4				30,56	0,16	0,0256
5				31,78	-1,06	1,1236
				=30,72

 

4. Расчёт среднего арифметического времени двадцати колебаний:

.

5. Вычисление периода колебаний:

.

6. Вычисление ускорения свободного падения:

                            (4.14)

Расчёт погрешностей:

1. Вычисление отклонений от среднего времени:

;

;

;

;

;

;

2. Вычисление квадратов отклонений от среднего времени :

;

;

;

;

.

3. Вычисление суммы квадратов отклонений от среднего времени:

.

4. Расчёт случайной погрешности времени:

.

5. Расчёт погрешности периода:

.

6. Расчёт относительной погрешности ускорения свободного падения по (4.13):

.

Абсолютная погрешность округления числа  составляет .

;

;

.                                      (4.15)

.

7. Расчёт абсолютной погрешности ускорения свободного падения из (4.15):

.

8. Округление ускорения свободного падения в соответствии абсолютной погрешностью: .

ВЫВОД: ;

.

Экспериментальное значение в пределах погрешности  приблизительно равно табличному значению .

 

Вычисление погрешностей

 

Одна из задач лабораторного практикума – научиться правильно измерять физические величины. Измерение – это процесс сравнения физической величины с однородной величиной, принятой за единицу. Различают прямые и косвенные измерения. При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно (например, определение длины стержня с помощью линейки) или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах (например, определение напряжения с помощью вольтметра). При косвенных измерениях измеряемая величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью.

Всякое измерение сопровождается погрешностью. Назовём абсолютной погрешностью  измерения какой-либо физической величины x модуль разности между истинным значением и измеренным:

                                             (1)

Более наглядное представление о точности измерений даёт относительная погрешность , показывающая, какую долю от измеряемой величины составляет её абсолютная погрешность:

 .                                                  (2)

Относительную погрешность выражают также в процентах:

.

Различают 2 класса погрешностей: случайные и систематические. Такие погрешности можно оценить, вычислить. Случайные погрешности – это такие погрешности, причины которых неизвестны и неконтролируемы; влияют на результат случайным образом, то в сторону его завышения, то в сторону занижения с равной вероятностью. Систематические погрешности – следствие несовершенства приборов (при прямых измерениях) или недостатков методов измерения (при косвенных измерениях). Систематические погрешности можно оценить, зная класс точности приборов, или анализируя метод измерения. Систематические погрешности влияют на результат односторонним образом, либо его систематически занижая, либо только завышая.

Класс точности приборов указывается в виде числа на шкале прибора, например: 0.5; 1.0 (лабораторные приборы массового употребления). Класс точности даёт максимальную абсолютную погрешность, выраженную в процентах от предела измерения  (максимального значения измеряемой величины):

.

Так, если предел измерения амперметра 50 мА (вся шкала рассчитана на 50 мА), а класс точности амперметра , то абсолютная приборная погрешность, даваемая амперметром, равна

.

Если при этом амперметр показывает ток 15 мА, то относительная погрешность составит

.

Если класс точности прибора не указан (простейшая линейка, например), то абсолютная приборная погрешность принимается равной половине цены деления:

.

Здесь цена деления – интервал измеряемой величины, соответствующий расстоянию между соседними штрихами на шкале прибора.

Систематическая методическая погрешность при косвенных измерениях в той или иной мере есть всегда, поскольку на протекание любого явления влияет очень много факторов, и учесть их все невозможно. Систематическая погрешность вносится также при округлениях. При этом в соответствии с правилами округления абсолютная погрешность не превышает половины от единицы разряда последней оставленной при округлении значащей цифры. Принято записывать измеренную величину  и её абсолютную погрешность  в виде:

.                                            (3)

Эта запись означает, что искомая величина с достаточно большой вероятностью, удовлетворяющей экспериментатора, попадёт в интервал от  до :

.                                       (4)