Место для построения графика

Расчет момента инерции по графику

=

=

=

 

Момент сил трения по графику

=

Проверка выполнения закона сохранения энергии

 

=

 

=

 

 

Вывод о выполнении закона сохранения энергии:

 

Выводы по работе:

 

Контрольные вопросы и место для ответов

1. Дайте определения углового перемещения, угловой скорости, углового ускорения. Укажите направления этих векторов (сделайте рисунок). Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины перемещения, скорости, ускорения.

 

 

2. Дайте определение момента силы относительно точки; относительно оси. От чего он зависит? Как направлен вектор момента силы? Сделайте поясняющий рисунок.

 

3. Дайте определение момента инерции материальной точки; твёрдого тела. От чего он зависит?

 

4. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

 

5. Сформулируйте теорему Штейнера (запишите формулу и сделайте поясняющий рисунок) и покажите, где в работе её можно использовать. Как и почему изменяется время движения гири, если грузы на спицах передвинуть ближе к оси вращения?

 

6. Выведите формулы (1.3.26) и (1.3.33).

 

7. Запишите и поясните закон сохранения (превращения) механической энергии в этой работе.

 

 

РАЗДЕЛ 2

 

Лабораторная работа 2.2

Определение отношения теплоёмкостей газа методом адиабатического расширения

 

Цель работы: изучение первого начала термодинамики в различных изопроцессах; определение адиабатической постоянной для воздуха.

Теоретическое введение

Одно из важных понятий термодинамики – внутренняя энергия U тела (или системы тел). Внутренняя энергия – это полная энергия тела, за исключением кинетической энергии движения тела как целого (движения центра масс и вращения тела как целого) и потенциальной энергии тела во внешних полях. В различных процессах важна не величина самой внутренней энергии, а её изменение в данном процессе. Внутренняя энергия системы – это функция состояния, то есть она однозначно определяется состоянием системы. Изменение внутренней энергии в каком-либо процессе не зависит от пути перехода, а только от начального и конечного состояния. Внутреннюю энергию системы можно изменить за счёт совершения над системой работы и сообщения системе теплоты. (Считаем, что система закрытая, то есть, она не обменивается веществом с окружающей средой.) По закону сохранения энергии

.                                       (2.2.1)

Это – первое начало термодинамики: количество теплоты , подведенной к системе, идёт на изменение её внутренней энергии  и на совершение работы  системой против внешних сил.

Рис. 2.2.1

Различие в обозначениях «d» и «δ» связано с тем, что бесконечно малое изменение внутренней энергии, являющейся функцией состояния, обладаетсвойствами полного дифференциала; а элементарные количества теплоты  и работы  свойствами полного дифференциала не обладают, поскольку зависят от процесса, от пути перехода системы из одного состояния в другое.

Вычислим элементарную работу идеального газа, заключённого в цилиндре под поршнем, при изменении его объёма на . При подъёме поршня (рис. 2.2.1) на малую высоту dh сила давления газа  совершит работу

,

,                                    (2.2.2)

так как  – изменение объёма газа. Тогда первое начало термодинамики можно записать так:

.                          (2.2.3)

Если при передаче телу теплоты  его температура изменилась на , то теплоёмкость тела:

;         .                  (2.2.4)

Физический смысл теплоёмкости тела:  – это количество теплоты, необходимое для нагревания тела на 1 кельвин. Для характеристики вещества вводится понятие молярной теплоёмкости. Молярная теплоёмкость – это количество теплоты, которое необходимо для нагревания одного моля вещества на один кельвин:

;         .                  (2.2.5)

Из (2.2.3) и (2.2.5) получим для молярной теплоёмкости (обозначаемой в дальнейшем как ):

.                             (2.2.6)

При определении теплоёмкости необходимо указывать, каким именно способом изменяется температура: теплоёмкость, как и количество теплоты, зависит от вида процесса. При изохорном процессе работа не совершается (; ), тогда молярная теплоёмкость  при постоянном объёме:

.                                        (2.2.7)

Внутренняя энергия идеального газа равна

.                                         (2.2.8)

Она определяется температурой, количеством вещества и числом степеней свободы молекул i (числом независимых координат, однозначно определяющих положение молекулы в пространстве). Для одноатомных молекул i =3, так как трёх координат (x; y; z) достаточно для того, чтобы однозначно задать положение материальной точки в трёхмерном пространстве (рис.2.2.2, а). Для жёсткой многоатомной нелинейной молекулы расстояния между атомами и валентные углы фиксированы, тогда три координаты задают положение её центра масс (это три поступательных степени свободы: i _пост.=3) и три угловых координаты (углы поворота относительно трёх взаимно перпендикулярных осей) задают ориентацию молекулы в пространстве: i _вр.=3. Всего i = i _пост+ i _вр.=3+3=6 (рис. 2.2.2, в). В случае жёсткой двухатомной молекулы (или любой линейной молекулы, рис.2.2.2, б) одну вращательную степень свободы нужно исключить: вращение относительно оси молекулы не имеет смысла, так как атомы считаем материальными точками: i = i _пост+ i _вр.=3+2=5. При высоких температурах расстояния между атомами в молекуле изменяются, молекула не является жёсткой. Поэтому нужно учитывать степени свободы, связанные с изменением расстояний между атомами вследствие колебаний атомов (колебательные степени свободы). В случае двухатомной молекулы колебательная степень свободы одна: i _кол.=1, – это расстояние между двумя атомами. Однако при колебаниях имеют место два вида энергии: кинетическая и потенциальная; поэтому колебательные степени свободы нужно удваивать. Вводят понятие эффективного числа степеней свободы:

i _эфф.= i _пост+ i _вр.+2 i _кол..

Для модели двухатомной молекулы «нежёсткая гантель» (две материальные точки на «пружинке», рис. 2.2.2, г)

i _эфф.= i _пост+ i _вр.+2 i _кол=3+2+2^.1=7.

Рис. 2.2.2

Колебательные степени свободы возбуждаются только при достаточно высоких температурах (тысячи кельвин), так что при обычных условиях их учитывать не надо.

Из (2.2.7) и (2.2.8) получим изохорную теплоёмкость идеального газа:

.                                           (2.2.9)

Теплоёмкость  в изобарном процессе () из (2.2.6)÷(2.2.9):

.                                 (2.2.10)

Найдём производную  при , выразив объём из уравнения  состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

            ;

                                           (2.2.11)

Тогда из (2.2.10) получим уравнение Майера (2.2.12), и далее из (2.2.9) выразим через число степеней свободы i (2.2.9а).

;                                         (2.2.12)

.                                     (2.2.9а).

Соотношение (2.2.11) позволяет сформулировать физический смысл R: универсальная газовая постоянная – это работа одного моля идеального газа при изобарном нагреве на 1 кельвин. Во многих процессах важной характеристикой вещества является отношение теплоёмкостей

,                                           (2.2.13)

называемое также адиабатической постоянной, или показателем адиабаты, или показателем Пуассона. Из уравнения Майера можно получить:

       .                         (2.2.14)

По определению, адиабатный процесс происходит без теплообмена с окружающей средой: . Тогда по первому началу термодинамики:

,

.

Интегрируя последнее соотношение, получим уравнение адиабатического процесса:

                                   (2.2.15)

Поскольку  всегда больше единицы, то , и адиабатическое расширение сопровождается охлаждением, а сжатие – нагреванием газа. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, (2.2.15) можно преобразовать:

                                    (2.2.16)

Это – уравнение Пуассона. Величина  для газов играет большую роль при адиабатических процессах. В частности, этой величиной определяется скорость распространения звука в газах; от неё зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями.

Экспериментальная часть

Рис. 2.2.3

Приборы и оборудование: установка для определения адиабатической постоянной (сосуд, манометр, насос, линейка).