Исследование электростатического поля

 

Цель работы: экспериментальное нахождение точек заданного потенциала на плоской модели электростатического поля; построение эквипотенциальных и силовых линий поля; расчёт характеристик поля по результатам экспериментального исследования.

Теоретическое введение

Заряды взаимодействуют друг с другом посредством электростатического поля. Любой заряд создаёт в окружающем пространстве электростатическое поле. Электростатическое поле – это пространство с особыми свойствами: оно действует на другие заряды, помещённые в поле.

Рис. 3.2.1

Пусть поле создаётся точечным зарядом   (рис.3.2.1), а пробный заряд (то есть заряд, не искажающий поле)  находится от него на расстоянии . Тогда сила, действующая на  со стороны , равна

,           (3.2.1)

где ε – диэлектрическая проницаемость среды.

Если в ту же точку вместо  поместить другой пробный заряд , то сила будет равна

.

В обоих случаях отношение силы к пробному заряду одно и то же и не зависит от пробного заряда:

.

Это отношение, характеризующее данную точку поля, назвали напряжённостью электростатического поля:

.                                                     (3.2.2)

По определению, напряжённость электростатического поля в данной точке численно равна силе, действующей на единичный положительный пробный точечный заряд, помещённый в данную точку поля. Напряжённость  – силовая векторная характеристика поля. Если в точку поля с напряжённостью  поместить точечный заряд q, то на него со стороны поля будет действовать сила, равная . Размерность напряжённости

.

Напряжённость поля можно изобразить с помощью линий напряжённости, при этом касательная к линии в каждой точке указывает направление вектора , а густота линий напряжённости пропорциональна модулю . Что такое «густота», понятно интуитивно, но можно дать и строгое определение: густота – число линий, пронизывающих малую площадку, перпендикулярную линиям, в расчёте на единичную площадь.

Линии напряжённости обладают следующими свойствами:

o начинаются на положительных зарядах или в бесконечности;

o заканчиваются на отрицательных зарядах или в бесконечности;

o не могут обрываться нигде, кроме зарядов;

o не могут пересекаться (иначе напряжённость в точке пересечения была бы определена неоднозначно).

Рис. 3.2.2.

а

б

в

г

На рис. 3.2.2 изображены линии напряжённости а) точечного заряда – положительного и отрицательного; б) системы двух одинаковых по величине зарядов – одноимённых и разноимённых; в) конденсатора; г) однородного поля, то есть такого, что в любой точке напряжённость одинакова.

Поток вектора напряжённости через конечную поверхность S (рис. 3.2.3), по определению, задаётся интегралом по этой поверхности:

.                   (3.2.3)

Для замкнутой поверхности:

.                           (3.2.4)

Если поверхность охватывает систему точечных зарядов (рис. 3.2.4), то в этом случае можно записать теорему Гаусса для потока вектора напряженности электрического поля через поверхность в следующем виде:

. (3.2.5)

Рис. 3.2.3

Рис. 3.2.4

Выражение (3.2.5) – теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охваченных этой поверхностью, делённой на электрическую постоянную .

В диэлектрической среде напряжённость  поля в  раз меньше, чем напряжённость  в вакууме: , и теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде формулируют так:

.                       (3.2.6)

Вводится ещё одна характеристика электростатического поля – вектор  электрического смещения:

,                                      (3.2.7)

Тогда получим формулировку теоремы Гаусса для потока вектора электрического смещения в виде:

.                         (3.2.8)

Теорему Гаусса удобно применять для расчёта электростатических полей зарядов, в распределении которых присутствует симметрия и электрический заряд распределен по телу равномерно. При этом получим напряжённость поля бесконечной равномерно заряженной плоскости: ; напряжённость поля конденсатора: ; напряжённость поля нити (цилиндра при r > R, R – радиус цилиндра): ; напряжённость поля равномерно заряженного шара (внутри шара, при r > R, R – радиус шара): . Здесь , , – объёмная, поверхностная и линейная плотности заряда соответственно.

Рис. 3.2.5

Найдём работу сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q в электростатическом поле точечного заряда Q. (рис.3.2.5). При перемещении на малый вектор  работа равна

.

Так как проекция перемещения  равна  (рис. 3.2.5): , то

.                                     (3.2.9)

Из определения напряжённости поля:

,

тогда

.                                   (3.2.10)

Напряжённость поля, созданного точечным зарядом Q, равна . Теперь можно вычислить работу  при перемещении заряда q от точки 1 до точки 2:

;

.                            (3.2.11)

По закону сохранения энергии работа совершается за счёт уменьшения потенциальной энергии  взаимодействия зарядов:

,                        (3.2.12)

поэтому можно из (3.2.11) получить выражение для потенциальной энергии взаимодействия точечных зарядов в вакууме:

.

Константу логично считать равной нулю, так как на очень больших расстояниях заряды не взаимодействуют: при  должно быть . Тогда

.                                   (3.2.13)

Замечание к (3.2.13): если заряды имеют одинаковый знак, энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, так как произведение зарядов положительно; при разноимённых зарядах энергия притяжения получается отрицательной. Работа не зависит от траектории перемещения заряда, а только от его начального и конечного положения (3.2.11). Такие поля – потенциальные, и можно ввести понятие потенциала.

Потенциал данной точки поля – это энергия единичного положительного точечного пробного заряда, помещённого в данную точку:

.                                  (3.2.14)

Физический смысл потенциала (исходя из (3.2.12), (3.2.13) и (3.2.14)): потенциал данной точки поля численно равен работе по перемещению единичного точечного пробного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность

.                                      (3.2.15)

Размерность потенциала – вольт: .

Вектор напряженности  связан с потенциалом электростатического поля известным соотношением

,                                           (3.2.16)

где  – градиент потенциала. Из этого соотношения следует, что напряженность направлена в сторону наискорейшего убывания потенциала, то есть силовые линии поля нормальны (перпендикулярны) к эквипотенциальным поверхностям и направлены «от плюса к минусу».

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: установка для исследования электростатического поля (источник постоянной ЭДС; реостат; вольтметр; нуль-гальванометр; реохорд; зонд; ключ; модель).