Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Динамические характеристики вращательного движения
. (1.3.7) Направление момента силы определяется правилом буравчика (рис. 1.3.1), величина момента силы , (1.3.8) где – угол между радиус-вектором точки приложения силы и вектором силы . Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. Составляющая силы, параллельная закреплённой оси, вращения тела вызвать не может, а напряжения, при этом возникающие в оси, нас не интересуют. Тогда достаточно рассмотреть силы, направления которых перпендикулярны оси вращения ОО ’ (рис. 1.3.1). Определим плечо силы относительно оси ОО ’ как расстояние от оси вращения до линии действия силы, тогда , . (1.3.9) Поворот тела с закреплённой осью вращения может быть вызван только касательной составляющей силы , причём эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше её плечо r: , (1.3.10) так как . Пусть твёрдое тело разбито на отдельные элементарные массы Δ m. По второму закону Ньютона касательная составляющая равнодействующей сил, приложенных к этой точке, равна: . (1.3.11) Учитывая (1.3.6) для касательного ускорения, получим из (1.3.10) и (1.3.11): . (1.3.12) Скалярная величина , (1.3.13) равная произведению массы материальной точки на квадрат её расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси. Векторы и совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу правого винта, поэтому равенство (1.3.12) можно переписать в векторной форме: . (1.3.14) Уравнение (1.3.14) является основным законом динамики вращательного движения для материальной точки. Соотношение, аналогичное (1.3.12), можно записать для каждой точки тела, и затем просуммировать по всем точкам, тогда (с учётом того, что угловое ускорение одинаково для всех точек и его можно вынести за знак суммы):
. (1.3.15) В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (1.3.15) остается суммарный момент только внешних сил. Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твёрдого тела относительно данной оси: . (1.3.16) Моментинерции твёрдого тела является мерой инертных свойств твёрдого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он зависит не только от массы тела, но и от её распределения относительно оси (в направлении, перпендикулярном оси). В случае непрерывного распределения массы сумма в (1.3.16) сводится к интегралу по всему объёму (по массе) тела: . (1.3.17) Таким образом, угловое ускорение твёрдого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения: . (1.3.18) Это – основной закон динамики твёрдого тела. Он аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении (5.19) и позволяет определить угловое ускорение твёрдого тела. Подсчёт момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается применением теоремы Штейнера (1.3.20): момент инерции тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. . (1.3.20) Экспериментальная часть Приборы и оборудование: лабораторная установка, секундомер, линейка. Основным элементом маятника Обербека (рис. 1.3.2) является крестовина, способная свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси 1. Крестовина состоит из четырех стержней 2 с грузами-насадками 3, расположенными симметрично относительно оси вращения. С крестовиной жестко скреплен шкив 4 радиусом R. На шкив намотана нить 5, перекинутая
Методика измерений Если поднятый на высоту h груз отпустить, то он начнет падать с ускорением , которое определяется вторым законом Ньютона (1.3.21). На груз действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити , тогда: . (1.3.21) В проекциях на направление движения груза: , . (1.3.22) Массами нити 5 и блока 6 пренебрегаем; тогда натяжение нити по всей длине одинаково, и нить действует на поверхность шкива касательной силой, равной по модулю силе . Она создаёт вращающий момент , по модулю равный произведению модуля силы на её плечо, равное радиусу шкива R: . (1.3.22) С учетом (1.3.22) вращающий момент силы натяжения нити равен . (1.3.23) Под действием момента крестовина начинает вращаться с угловым ускорением . При этом на оси вращения возникают, хотя и незначительные, силы трения. Эти силы создают тормозящий момент , направленный противоположно угловому ускорению. С учетом направления моментов сил натяжения и трения алгебраическая запись уравнения основного закона динамики вращательного движения (1.3.18) имеет вид . (1.3.24) Здесь – момент инерции крестовины маятника Обербека относительно оси вращения. Момент инерции зависит от распределения массы тела относительно оси. Для крестовины маятника величина определяется в основном положением грузов-насадок 3 на стержнях 2. Если их положение в ходе опытов не изменяется, то и момент инерции остается постоянным. Момент сил трения также можно считать практически неизменным. Поэтому зависимость углового ускорения e от момента силы натяжения , согласно уравнению (1.3.24), имеет линейный характер. Определив опытным путем значения при различных и обработав соответствующим образом полученную экспериментальную зависимость , с помощью этого уравнения можно найти неизвестные величины и . Так как нить 5 практически нерастяжима, все её точки, включая точки на поверхности шкива, движутся с одинаковым ускорением, равным по модулю ускорению падающего груза . Груз падает с высоты h равноускоренно; при этом за время t он проходит путь . Измерив высоту h и время падения груза t, можем найти ускорение . (1.3.25) Далее, из (1.3.23) можно рассчитать момент силы натяжения нити, если известны масса груза т и радиус шкива R: . (1.3.26) Угловое ускорение шкива и тангенциальное ускорение точек на поверхности шкива связаны соотношением (см. 1.3.6)): . (1.3.27) Рассмотрим превращение энергии. Поднятый на высоту груз обладает потенциальной энергией . (1.3.28) Кинетическая энергия системы «груз + крестовина» при этом равна нулю. В момент падения груза на пол его потенциальная энергия обращается в ноль, но за счет неё груз приобретает кинетическую энергию
, (1.3.29) а крестовина – кинетическую энергию вращения . (1.3.30) Здесь – скорость груза в момент падения; – угловая скорость вращения крестовины к этому моменту. Изменение полной механической энергии равно работе сил трения : (1.3.31) Работа при вращательном движении равна произведению момента силы на угол поворота : . (1.3.32) Знак «–» отражает тот факт, что работа сил трения и сопротивления всегда отрицательна. С учетом соотношений (1.3.28)÷(1.3.32) получим: . (1.3.33) Скорость груза в момент его падения на пол найдем исходя из закономерностей равноускоренного движения (при ): . (1.3.34) Используя связь между линейной и угловой скоростями, получим . (1.3.35) Так как линейное расстояние, пройденное точками на поверхности шкива, равно перемещению груза за тот же промежуток времени, угол j (в радианах) может быть рассчитан как . (1.3.36) Порядок выполнения работы 1. Запишите радиус R в таблицу 1.3.1, выразив его в метрах (R =17 мм). 2. Занесите во второй столбец таблицы 1.3.1 значение массы груза т (в кг). 3. Вращая крестовину, намотайте нить на шкив так, чтобы нижняя поверхность груза 7 оказалась на заданной высоте h над полом, запишите значение высоты. 4. Отпустив крестовину, одновременно включите секундомер, а в момент касания грузом пола – выключите. Запишите время падения в третий столбец таблицы 1.3.1. Таблица 1.3.1
5. Повторите пункты 3 и 4 с тем же грузом ещё два раза. Рассчитайте и занесите в таблицу среднее из трех значений времени t. 6. Увеличивая массу груза согласно рекомендациям, выполните пункты 2-5 ещё пять раз. 7. Для каждого из шести проделанных опытов рассчитайте ускорение а по формуле (1.3.25), подставляя в неё среднее значение времени падения t. Величину а (с точностью не менее чем до трех значащих цифр) запишите в таблицу 1.3.1. 8. По формулам (1.3.26) и (1.3.27) вычислите значения момента силы натяжения нити и углового ускорения . Результаты занесите в табл. 1.3.1. 9. Постройте график зависимости углового ускорения от момента силы натяжения , выбрав один из способов: используя программу Excel или на миллиметровой бумаге. Подробно о построении графиков смотрите в начале методических указаний, с. 11-16, а также ниже в примечании. 10. Найдите значения момента инерции крестовины и момента сил трения по графику (см. рис. 1.3.3 и (1.3.40)). Запишите эти значения в табл. 1.3.1. 11. Для одного из проделанных опытов рассчитайте по формулам (1.3.34)÷(1.3.36) скорость груза , угловую скорость вращения и угол поворота крестовины маятника Обербека в момент падения груза на пол. 12. Вычислите значения левой и правой частей уравнения закона сохранения (изменения) энергии (1.3.33). Сравнив эти значения между собой, сделайте выводы. 13. Запишите общий вывод по работе. Расчеты: Пример расчёта среднего арифметического времени =
Пример расчёта ускорения
=
Пример расчёта момента силы натяжения нити
=
Пример расчета углового ускорения =
Обработка зависимости . График зависимости можно построить с помощью Excel или на миллиметровой бумаге (см. ниже). 1) В Excel строим график, используя линейный тренд и требование показать уравнение зависимости . Программа выдаёт уравнение в виде , (1.3.37) где и – конкретные числа. Теоретическая зависимость углового ускорения маятника Обербека от момента силы натяжения нити имеет вид (1.3.24): . (1.3.38)
Сравнение (1.3.37) и (1.3.38) даёт: ; , или ; . (1.3.39) 2) Построение графика на миллиметровой бумаге. Нанесите на график экспериментально полученные точки. По точкам проведите сглаживающую прямую (рис. 1.3.3). Из уравнения (1.3.24) следует, что угловое ускорение обращается в нуль при . Следовательно, момент сил трения определяется (с учетом масштаба!) отрезком, отсекаемым проведенной прямой на оси абсцисс. Величина в уравнении (1.3.37) представляет собой угловой коэффициент прямой, то есть тангенс угла её наклона к оси абсцисс. Выбрав на сглаживающей прямой две достаточно удаленные друг от друга точки, определите и (с учетом масштаба графика) и рассчитайте значение как отношение . (1.3.40) Примеры расчета: · линейной скорости υ
=
· угловой скорости вращения
=
· угла поворота крестовины маятника Обербека в момент падения груза на пол =
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 162; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.129.100 (0.078 с.) |