Определение коэффициента вязкости жидкости по методу Стокса

Цель работы: изучение законов движения тела в вязкой среде; экспериментальное определение коэффициента вязкости жидкости.

Теоретическое введение

Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует тормозящая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения, направлены по касательной к поверхности слоёв.

Пусть два слоя (рис. 1.2.1) площади , отстоящие друг от друга на расстояние , движутся со скоростями υ₁ и υ₂ соответственно, Δυ=υ₂–υ₁. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями (ось z), перпендикулярно вектору скорости движения слоев. Величина

Рис. 1.2.1

,

которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою, называется градиентом скорости. Величина силы внутреннего трения , действующей между слоями, пропорциональна площади соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):

,                                    (1.2.1)

где  – коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Знак «–» показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то есть быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется. Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1 м, приводит к силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м² площади слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (Па^.с). Коэффициент вязкости  является свойством данной жидкости и зависит от её природы, концентрации растворенных веществ и температуры.

В некоторые формулы (например, число Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости ρ. Это отношение получило название коэффициента кинематической вязкости :

.

Например, значение кинематической вязкости трансформаторного масла вы можете найти не только в физическом справочнике, но и в специальной литературе для инженеров энергетических направлений («Правила устройства электроустановок»).

Опыт показывает, что вязкость газов с повышением температуры растёт, а жидкостей – уменьшается. Молекулярно-кинетическая теория объясняетвязкость газов переносом импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счёт переноса вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает. Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой газа, движущийся с б о льшей скоростью, замедляется. С повышением температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает, и вязкость газа увеличивается.

Вязкость жидкости имеет другую природу. В силу малой подвижности молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается, и вязкость также уменьшается.

Несмотря на различную природу, вязкость жидкостей и газов с макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (1.2.1).

Рассмотрим движение тяжелого шарика в вязкой жидкости. Будем считать, что плотность материала шарика  больше плотности жидкости . Очевидно, что в этом случае шарик начнет тонуть. Характер его движения определяется тремя действующими на него силами (рис. 1.2.2): силой тяжести , выталкивающей (архимедовой) силой  и силой внутреннего (вязкого) трения . Уравнение основного закона динамики (второго закона Ньютона) имеет вид:

.

В проекциях на ось OX:

.                             (1.2.2)

Если тело имеет сферическую форму, то при малых скоростях обтекание шарика жидкостью – ламинарное, выполняется закон Ньютона, и модуль силы вязкого трения определяется формулой Стокса:

,                                    (1.2.3)

где r – радиус шарика;  – его скорость.

Выразим массу шарика через его плотность  и объём :

,                            (1.2.4)

а также запишем выражение для архимедовой силы:

.                          (1.2.5)

Из (1.2.2)÷(1.2.5):

.                                  (1.2.6)

Здесь . Учитывая, что ускорение – это первая производная скорости по времени: , из (1.2.6) получим дифференциальное уравнение:

.                                 (1.2.7)

Пусть в начальный момент времени t = 0 вертикальная проекция скорости шарика равна . С учётом этого начального условия решением уравнения (1.2.7) является следующая зависимость скорости от времени:

,                       (1.2.8)

где

.                                    (1.2.9)

Анализ выражения (1.2.8) показывает, что с течением времени скорость тела асимптотически приближается к постоянному (установившемуся) значению , определяемому соотношением (1.2.9). Движение приобретает установившийся характер тем скорее, чем больше значение коэффициента b, то есть, чем больше вязкость жидкости, меньше плотность и размеры шарика. Таким образом, в вязкой среде шарик, начав двигаться с ускорением, по истечении некоторого времени будет двигаться практически равномерно со скоростью .

К этому выводу можно прийти более простым способом. Пусть начальная скорость шарика равна нулю. При этом и сила сопротивления F_C = 0. Тогда, в соответствии с уравнением (1.2.2), начальное ускорение шарика определяется разностью между силой тяжести и архимедовой силой. По мере нарастания скорости падения шарика растёт сила вязкого трения. С момента достижения равенства  сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик движется равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью. Уравнение (1.2.2) примет вид:

.                     (1.2.10)

С учётом (1.2.3)÷(1.2.5):

;

.

Выражая из последнего уравнения скорость установившегося движения , придем к выражению (1.2.9).

Приведенные выше рассуждения лежат в основе одного из методов экспериментального определения коэффициента вязкости жидкости – метода Стокса.

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка, микрометр, линейка, секундомер, шарики.