Причина сопротивления чистых металлов – взаимодействие электронов с колебаниями решётки. Электросопротивление чистых металлов возникает из-за столкновений электронов с фононами.

Удельное сопротивление ρ, по определению, есть величина, обратная удельной проводимости ; тогда из (6.2.2) и (6.2.4) получим, что удельное сопротивление металлов прямо пропорционально абсолютной температуре:

.

Можно записать также:

,  или .             (6.2.5)

Здесь  – удельное сопротивление при  20^°С или при 0^о С; ρ – удельное сопротивление при температуре t (в ⁰С);  – температурный коэффициент удельного сопротивления, равный по определению:

.                                         (6.2.6)

Температурный коэффициент удельного сопротивления  показывает его относительное изменение при нагреве на 1 кельвин. Его можно считать приблизительно постоянным, если интервал изменения температуры достаточно мал. Для сопротивления аналогично:

, или .                 (6.2.7)

Здесь – сопротивление при 20⁰С или при 0⁰ С;  – сопротивление при температуре   t (в ⁰С).

Температурный коэффициент сопротивления , вообще говоря, отличен от  из-за теплового расширения кристалла, но в рамках данной работы это отличие не учитывается. Из (6.2.7)

.                                       (6.2.8)

Размерность . Заметим, что классическая электронная теория проводимости металлов, где электронный газ рассматривается как классический газ, находящийся в термодинамическом равновесии с кристаллической решёткой, не смогла объяснить температурную зависимость сопротивления металла (6.2.5). Согласно классической теории, средняя тепловая скорость электронов  пропорциональна , что даёт . Квантовая теория электропроводности металлов устранила эту трудность классической теории.

Рис. 6. 2. 6

Полупроводники. Собственные полупроводники – это химически чистые, без примесей. Точнее, примеси присутствуют, но их мало, так что они не влияют на проводимость. При  собственные полупроводники похожи на диэлектрики: электронов проводимости нет. При  электроны с верхних уровней валентной зоны переходят на нижние уровни ближайшей свободной зоны – зоны проводимости (рис. 6.2.6). Во внешнем поле электроны перемещаются в зоне проводимости. Это – электронная проводимость.

Возникающие в валентной зоне вакансии называются дырками. Дырка – это отсутствие электрона, разорванная ковалентная связь. Когда на вакантное место переходит какой-либо электрон с соседнего уровня, ковалентная связь восстанавливается, а дырка возникает там, откуда пришёл электрон (рис. 6.2.7). Таким образом, дырка ведёт себя как положительный свободный заряд: может перемещаться под действием внешнего электрического поля. Дырки перемещаются в валентной зоне; валентная зона является зоной дырочной проводимости.

В собственном полупроводнике действует два механизма проводимости: дырочный и электронный, причём концентрация дырок  равна концентрации электронов :

.                                      (6.2.9)

В полупроводнике существует динамическое равновесие между двумя процессами (рис. 6.2.6): 1) генерации свободных электронов и дырок под действием теплового движения; 2) рекомбинации, при которой дырки и электроны, встретившись, взаимно уничтожаются как свободные носители заряда (рис. 6.2.6).

Ток в чистом полупроводнике складывается из тока электронов и дырок, а удельная электропроводимость пропорциональна концентрации n свободных носителей и их подвижности u:

.                                 (6.2.10)

Концентрации свободных электронов и дырок определяются произведением числа уровней, имеющихся в единице объёма полупроводника, на вероятность их заполнения. Вероятность заполнения энергетических уровней выражается функцией распределения Ферми-Дирака (6.2.1а):

.                                        (6.2.1а)

При обычных (комнатных) температурах энергия теплового возбуждения много меньше ширины  запрещённой зоны полупроводника (6.2.3): . Это значит, что электроны находятся в зоне проводимости практически у её дна (рис. 6.2.8), здесь величина  сильно преувеличена). Функция распределения затрагивает зону проводимости лишь своим «хвостом», её значение . Энергия электронов отличается от энергии Ферми на половину ширины запрещённой зоны:

,

Рис. 6.2.7

причём . Поэтому единицей в знаменателе (6.2.1а) можно пренебречь, и тогда для чистого полупроводника

;

.                       (6.2.11)

Это – классическое больцмановское распределение. Электронный газ в полупроводнике можно считать классическим, невырожденным. Число «2» в знаменателе показателя степени можно интерпретировать так: за счёт энергии  появляются два свободных носителя – дырка и электрон, то есть в расчёте на один свободный носитель тока должна быть затрачена энергия, равная половине . Для удельной электропроводимости из (6.2.10) получим:

.                                  (6.2.12)

Здесь учтено, что концентрация носителей тока от температуры зависит гораздо сильнее (по экспоненте), чем подвижности электронов  и дырок . Получим зависимость удельного сопротивления ρ и сопротивления R полупроводника от температуры:

.                                  (6.2.13)

.                                    (6.2.14)

Рис. 6. 2. 8

Сопротивление полупроводника с повышением температуры сильно уменьшается за счёт увеличения концентрации свободных носителей тока – дырок и электронов – при переходе электронов из валентной зоны в зону проводимости.

Рис. 6. 2. 9

Рис. 6. 2. 10

Приведенные соображения верны лишь постольку, поскольку электропроводность полупроводника определяется переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости, то есть пока основной вклад в электропроводность вносит собственная проводимость полупроводника. При небольших температурах это обычно не имеет места, так как полупроводники всегда содержат примеси. Если примеси поставляют существенную часть электронов проводимости и (или) дырок валентной зоны, то мы имеем дело с несобственным (примесным) полупроводником. Есть два типа примесных полупроводников: 1) донорные (n- тип); 2) акцепторные (p- тип).

Примеси, которые вносят вклад в концентрацию носителей тока, называются донорными, если они поставляют дополнительные электроны в зону проводимости, и акцепторными, когда они поставляют дополнительные дырки в валентную зону (то есть захватывают оттуда электроны). Самая важная информация о донорных и акцепторных уровнях заключается в том, что они лежат вблизи границ запрещенной зоны. Рассмотрим подробнее механизм проводимости и энергетические диаграммы донорного и акцепторного полупроводников.

Донорные (полупроводники n- типа) получают, добавляя в полупроводник примесь с б о льшей валентностью, чем вещество-матрица. Например, в 4-валентный германий добавили 5-валентный мышьяк (рис. 6.2.9). У атома примеси 5 валентных электронов. Он встраивается в решётку германия, где у каждого атома 4 соседа. Атом примеси образует четыре ковалентные связи с соседними атомами германия, а пятый валентный электрон оказывается «лишним». Он слабо связан со своим атомом, способен от него уйти уже при достаточно низких температурах. Атом примеси при этом превращается в положительный ион, а дырки не возникает – ковалентные связи не нарушены.

За счёт атомов примеси, отдавших свои «лишние» электроны, возникает преимущественно электронная проводимость. Свободных электронов много; электроны – основные носители. Неосновные носители – дырки, их существенно меньше, поскольку они образуются при разрыве ковалентных связей между двумя атомами вещества-матрицы, на что требуется больше энергии, чем на отрыв «пятого» электрона.

Из-за наличия атомов примеси энергетические уровни изменяются (рис. 6.2.10): возникает примесный (донорный) уровень в запрещённой зоне вблизи зоны проводимости.

Рис. 6. 2. 11

Рис. 6. 2. 12

Акцепторный полупроводник (полупроводник p -типа) получают добавлением примеси с м е ньшей валентностью, чем вещество-матрица. Атом примеси, например, 3-валентный индий (рис. 6.2.11), образует три ковалентные связи с тремя соседними атомами германия, а для образования четвёртой связи захватывается электрон, освободившийся при разрыве связи между двумя атомами германия. Таким образом, получается дырка, а атом примеси превращается в отрицательный ион. В полупроводниках p-типа основные носители – дырки, неосновные – электроны (их мало). Примесь называется акцепторной. Дополнительный акцепторный уровень (пустой) образуется в запрещённой зоне вблизи валентной зоны (рис. 6.2.12).

Энергия активации  примесных уровней много меньше ширины запрещённой зоны:

.

При тепловом возбуждении гораздо легче вызвать переход электрона в зону проводимости с донорного уровня или на акцепторный уровень из валентной зоны, чем переход через всю запрещенную зону из валентной зоны в зону проводимости. Поэтому при низких температурах именно примеси определяют температурный ход электропроводности полупроводника.

При низких температурах преобладает примесная проводимость. Уровень Ферми при  находится посередине между примесным уровнем и ближайшей разрешённой зоной (рис. 6.2.10 и 6.2.12). С повышением температуры примесные уровни истощаются (все атомы примеси отдали/захватили электроны, превратившись в ионы). При дальнейшем повышении температуры тепловой энергии достаточно, чтобы заметное количество электронов перебросить через всю запрещённую зону, и будет преобладать собственная проводимость. Уровень Ферми перемещается к центру запрещённой зоны, как в собственных полупроводниках (рис. 6.2.10 и 6.2.12).

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: исследуемый образец – полупроводниковое термосопротивление (термистор), нагреватель, термометр, универсальный измерительный прибор, выпрямительный мост, потенциометр.

Экспериментальная установка

Рис. 6.2.13

Объектом исследования является полупроводниковое термосопротивление (ПТС), иначе называемое термистором. ПТС вместе со ртутным термометром Т помещены в нагреватель Н, питание которого осуществляется от сети переменного тока через потенциометр П. Для измерения сопротивления термистора служит универсальный цифровой измерительный прибор УИП, также питающийся от сети; термометр позволяет контролировать температуру в зоне нагрева.

Методика измерений

Зависимость сопротивления полупроводника от температуры – экспоненциальная; см. формулу (6.2.14). После её логарифмирования получим:

.                              (6.2.15)

График зависимости  от  является прямой линией с угловым коэффициентом, равным  (рис. 6.2.14). Определив тангенс угла наклона

 

Рис. 6.2.14

прямой к оси абсцисс, можно найти энергию активации (ширину запрещённой зоны) полупроводника:

,             (6.2.16)

.           (6.2.17)

Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с лабораторной установкой. Определите цену деления шкалы термометра и снимите по ней начальное показание . Результат (в градусах Цельсия) занесите таблицу 6.2.1.

3. Поместите ПТС и термометр в нагреватель. Включите в сеть цепь питания нагревателя Н.

4. Через каждые 5 градусов (согласно рекомендациям) снимайте показания приборов; значения температуры t и сопротивления R заносите в таблицу 6.2.1. Общее количество измерений n должно быть не менее семи.

5. Переведите значения температуры в кельвины.

6. Вычислите значения  и . Все данные занесите в таблицу 6.2.1.

7. По экспериментальным данным постройте зависимости   от  и рассчитайте энергию активации  либо по (6.2.17), либо по (6.2.18). Выразите энергию активации в эВ.

Замечание. Для построения графика  и дальнейших расчётов выбираем один из способов: используя программу Excel или строим график на миллиметровой бумаге. Подробно о построении графиков смотрите в начале методических указаний, с. 11-16, а также ниже в примечании.

 

Таблица 6.2.1

№	,^0 C	, Ом	, K	,
1	=
2
3
4
5
6
7

 

8. Все полученные данные занесите в таблицу 6.2.2. Сделайте выводы. Какой тип полупроводника получился в работе?

Таблица 6.2.2

Обработка зависимости
В программе Excel	Построение графика на миллиметровой бумаге
Уравнение зависимости: …	=………
a =…                K	=……….…..
Дж
эВ

Примечание. При построении графика на миллиметровой бумаге нанесите на график экспериментально полученные точки. По точкам проведите сглаживающую прямую (рис. 6.2.14). Выбрав на сглаживающей прямой две достаточно удалённые друг от друга точки, определите  и  (с учётом масштаба графика) и рассчитайте энергию активации по формуле (6.2.17).

Целесообразно использовать программу Excel как для построения графика, так и для предварительных вычислений значений  и . При этом рекомендуется использовать линейный тренд и требование показать уравнение зависимости . Программа выдаёт уравнение в виде , где  и  – конкретные числа, при этом ; см. (6.2.15). Отсюда получим энергию активации:

.                                       (6.2.18)

Не забудьте записать уравнение, величину  и  в таблицу 6.2.2.