Уравнение расходящейся сферической волны

, где

r – расстояние от центра волны до т.М.

Для гармонической сферической волны

и ,

где A (r) – амплитуда волны; φ_о – начальная фаза колебаний вцентре волны.

Реальные источники волн можно считать точечными (источниками сферических волн), если расстояние r от источника колебаний до рассматриваемых точек среды значительно больше размера источника.

Если r очень велико, то любые малые участки волновых поверхностей можно считать плоскими.

 

В однородной, изотропной, непоглощающей среде волны плоские и сферические описываются дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением, и имеет вид

, где

– оператор Лапласа или Лапласиан.

 

Энергия волны

 

Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией.

Выбрав малый объём среды dV можно записать для плотности энергии

, где

– скорость колебаний частиц в среде;

– фазовая скорость волны;

– плотность среды;

– относительная деформация.

Для продольной плоской волны и , т.е.

.

Для плоскойгармонической волны

.

 

Для сферической гармонической волны

.

 

Среднее за период значение плотности энергии

.

Скорость переноса энергии равна фазовой скорости υ.

 

Потоком энергии через малую площадку называется отношение .

Так как , то

, где

– вектор плотности потока энергии или вектор Умова.

т.е. поток энергии через произвольную поверхность S, мысленно проведённую в среде, охваченной волновым движением, равен потоку вектора Умова через эту поверхность.

Скалярная величина I, равная модулю среднего значения вектора Умова, называется интенсивностью волны:

 

Принцип суперпозиции волн: результирующее возмущение в какой либо точке линейной среды при одновременном распространении в ней нескольких волн равно сумме возмущений, соответствующей каждой из этих волн в отдельности.

.

Интерференция волн

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. Гармонические упругие волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

Рассмотрим наложение двух гармонических волн, возбуждаемых в однородной и изотропной среде точечными источниками S₁ и S₂, с циклическими частотами ω ₁ = ω ₂ = ω и начальными фазами φ ₁и φ _2..

По принципу суперпозиции

.

А и Ф определяем по методу векторных диаграмм

.

– геометрическая разность хода волн от С₁ и С₂ до точки М.

Амплитуда результирующих колебаний максимальна если или

. Если то.

Амплитуда результирующих колебаний минимальна если т.е. или

. Если то .

Число т называют порядком интерференционного максимума.

 

Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны, которые образуются в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу и имеющих одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн ещё и одинаковую поляризацию.

Тогда

.

Амплитуда стоячей волны является периодической функцией от координаты х.

Точки, в которых А _СТ = 0 называются узлами стоячей волны, а точки, где А _СТ = 2 А называются пучностями стоячкй волны.

Положение узлов и пучностей находится из условий

– узлы;

– пучности (т = 0; 1; 2; …).

Длиной стоячей волны называют расстояние между двумя соседними узлами или двумя соседними пучностями

.

В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), т.к. аргумент синуса в уравнении стоячей волны не зависит от координаты х.

В стоячей волне скорость колебательного движения частиц среды

,

а относительная деформация среды

 

Таким образом, в отличие от бегущей волны, в стоячей волне опережает υ ₀ по фазе на π/ 2, так что в те моменты времени, когда υ ₀ достигает амплитудного значения, обращается в нуль, и наоборот.

В пучностях стоячей волны располагаются пучности скорости частиц и узлы деформации среды.

Если l – длина струны, стержня или столба газа, υ – фазовая скорость волны, а λ – её длина, то для струн или стержней, закреплённых на обоих концах, и столбов газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине l укладывается целое число длин стоячей волны λ_СТ = λ /2.

Отсюда вытекает условие

– собственные частоты колебаний таких систем (гармоники).

– основной тон;

– первый обертон.

Для стержней, один конец которых закреплён, а другой свободен, и для труб, закрытых с одного конца и открытых с другого,

.

Лекция 8