Энергия установившихся вынужденных колебаний

 

Колебания энергии будут тем меньше, чем ближе частота ω к ω _о , и при ω = ω _о энергия не зависит от времени t:

.

 

 

Резонанс

Ниже приведены графики А (ω) и φ(ω) при различных значениях коэффициента затухания.

Видно, что А (ω) имеет максимум при частоте ω _Р, которую легко найти из условия (достаточно найти экстремум подкоренного выражения). Эту частоту называют резонансной

,

а существование максимума амплитуды явлением резонанса.

Если β << ω ₀ (слабое затухание), то и . При этом

, где

– логарифмический декремент;

– добротность маятника;

– статическое смещение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы F _x = F _M.

 

 

Кроме зависимостей А (ω) и φ (ω) к резонансным кривым относится и зависимость средней за период мощности вынуждающей силы от её частоты < Р (ω)>.

При ω = ω ₀ независимо от коэффициента затухания

 

< Р > = < Р _max>.

 

Важным параметром резонансной кривой < Р (ω)>, характеризующим «остроту» резонанса, является её ширина Δω на половине «высоты». При малом затухании «острота» резонанса, т.е. отношение , равно добротности осциллятора = Q.

 

 

Лекция 7

Механические волны

Механическими (или упругими) волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Тела, которые, воздействуя на упругую среду, вызывают эти возмущения, называются источниками упругих волн.

Среда называется упругой, а деформации, вызываемые внешними воздействиями, называются упругими деформациями, если они полностью исчезают после прекращения этих воздействий. При достаточно малых деформациях все твёрдые тела практически можно считать упругими.

Газу присуща объёмная упругость, т.е. способность сопротивляться изменению его объёма.

По закону Гука для объёмной деформации

, где

– изменение давления газа при малом изменении его объёма ;

– модуль объёмной упругости газа.

Для идеального газа значение зависит от вида термодинамического процесса. При очень медленном изменении объёма газа процесс можно считать изотермическим, а при очень быстром – адиабатным.

В первом случае pV = const и после дифференцирования получаем .

Во втором случае pV ^γ = const и

 

Жидкости, подобно газам, обладают только объёмной упругостью.

 

Твёрдые тела помимо объёмной упругости обладают упругостью формы, которая проявляется в их сопротивлению деформации сдвига.

 

В отличие от других видов механического движения среды (например, её течения) распространение упругих волн в среде не связано с переносом вещества.

 

Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды и поэтому могут распространяться в любой среде – твёрдой, жидкой и газообразной. Примером таких волн являются звуковые (акустические) волны.

Слышимый звук – 16 Гц < ν < 20 кГц

Инфразвук – ν < 16 Гц

Ультразвук – ν > 20 кГц

Гиперзвук – ν >1 ГГц.

Упругая волна называется поперпчная, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечные волны связаны с деформацией сдвига упругой среда и, следовательно, могут распространяться только в твёрдых телах. Например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

Поверхностные волны – волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности жидкости (или поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей).

Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении в ней рассматриваемой волны.

Для волн в твёрдом теле такой величиной может служить вектор смещения частицы среды из положения равновесия или три его проекции на оси координат. В газе или жидкости обычно пользуются избыточным давлением колеблющейся среды.

Линия, касательная к которой в каждой её точке совпадает с направлением распространения волны, т.е. с направлением переноса энергии волной, называется лучом. В однородной среде лучи имеют вид прямых линий.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц являются гармоническими. Частота этих колебаний называется частотой волны.

Волновой поверхностью или фронтом волны называется геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. В однородной изотропной среде волновые поверхности ортогональны лучам.

Волна называется плоской, если её волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ОХ, все величины ξ, характеризующие колебательное движение среды, зависят только от времени t и координаты х точки М среды. Если нет поглощения волн в среде, то колебания в т.М отличаются от колебаний в начале координат О, происходящих по закону , только тем, что они сдвинуты по времени на х/υ, где υ – фазовая скорость волны.

Фазовой скоростью волны называют скорость перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы.

Для поперечных волн

а) вдоль натянутой струны , где

F – сила натяжения струны;

ρ – плотность материала струны;

S – площадь поперечного сечения струны.

 

б) в изотропном твёрдом теле , где

G – модуль сдвига среды;

ρ – плотность среды.

 

Для продольных волн

а) в тонком стержне , где

Е – модуль Юнга материала стержня;

ρ – плотность материала стержня.

 

б) в жидкости и газе , где

χ – модуль объёмной упругости среды;

ρ – плотность невозмущённой среды.

 

в) в идеальном газе , где

γ – показатель адиабаты газа;

М – молярная масса газа;

Т – температура газа.

 

Для плоской гармонической волны, распространяющейся в не- поглощающей среде вдоль положительного направления оси ОХ, уравнение упругой волны имеет вид

или

Расстояние λ = υ^.Т, на которое распространяется гармоническая волна за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны (расстояние между двумя ближайшими точками среда, в которых разность фаз колебаний равна 2π.

Ещё одной характеристикой гармонической волны является волновое число k, которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π:

, тогда

 

.

Волновым вектором называется вектор , по модулю равный волновому числу k и направленный вдоль луча в рассматриваемой точке М среды.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль ОХ , поэтому , где – радиус вектор т.М.

Таким образом

.

 

Уравнение волны можно также записать, используя формулу Эйлера для комплексных чисел, в экспоненциальной форме, удобной для дифференцирования

, где .

Физический смысл имеет только действительная часть комплексной величины , т.е. . Пользуясь для нахождения какой-либо характеристики волны, нужно после выполнения всех математических операций отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения.

 

Волна называетсясферической, если её волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны.