Визначення момента інерції тіла неправильної геометричної форми

 

 

Мета роботи:

 

Обладнання:

вивчення законів динаміки обертового руху і їх застосування.

 

 

крутильний маятник, лінійка, штангенциркуль, досліджуване тіло.

 

Теоретичні відомості

 

 

Крутильний маятник, який використовується в даній роботі, являє собою горизонтальну платформу у вигляді диску, підвішеного на вертикальній жорсткій дротині (рис. 11.1). Якщо диск повернути в горизонтальній площині на кут φ, то в дротині, яка закрутиться, виникне пружний момент сили прямопропорційний кутові повороту φ, тобто

 

 

 

M = - k j, (11.1)

 

 

 

φ

де k – модуль кручення дротини.

Знак мінус показує, що момент сили, М протидіє повороту диска. Якщо диск відпустити, то під дією моменту М, диск набуде кутового прискорення

 

M

e = I, (11.2) де І – момент інерції. Отже, рівняння руху диска набере вигляду

 

Рисунок 11.1

j

I e = M. (11.3) Відомо, що

d

2

e = dt 2. (11.4) Підставивши в (11.3) вирази (11.2) і (11.4) одержимо

рівняння

 

j

d

2

Idt 2 = - k j. (11.5) Поділимо рівняння на І, перенесемо всі члени у ліву

частину і введемо позначення

 

I

k = w 2. (11.6)

 

Тепер рівняння руху набере вигляду

 

j

d

2

dt 2 +w j = 0. (11.7) Рівняння (11.7) - це диференціальне рівняння

гармонійного коливання. Тобто, наш диск буде здійснювати крутильні коливання з круговою частотою

 

,

I

w = k. (11.8)

 

Відповідно період коливань

 

p

k

T = 2 I. (11.9)

 

Якщо на диск покласти тіло будь-якої форми, але так, щоб центр мас тіла лежав на одній вертикалі з центром мас диска, то період крутильних коливань змінюється, тобто

 

 

p

T = 2

I + I 0 k

 

(11.10)

 

де І0 —момент інерції покладеного тіла. Розв'язавши систему рівнянь (11.9) і (11.10), знайдемо І0:

T

I 0 = IT 2 + T 2. (11.11)

 

Момент інерції диска І знайдемо, використавши формулу

 

I = 2 mR 2. (11.12) Масу диска обчислимо як добуток густини ρ на об'єм

диска

 

V = p R 2 h, (11.13)

 

 

R

2 T

де R — радіус диска, h — його товщина. Одержимо формулу: I 0 = 1 rp 4 hT 2 + T 2. (11.14)

 

n

Період коливань визначається як t, де n — кількість

 

коливань за час t. Для диска безпосередньо вимірюється його діаметр. Якщо кількість коливань, n для навантаженого і не

 

 

навантаженого маятника буде однакова, то формула (11.14), з врахуванням вищесказаного, набере вигляду

r

32 t

I 0 = 1 p D 4 ht 2 - t 2, (11.15)

 

де D – діаметр диска, t1 – час певної кількості коливань маятника, на якому лежить тіло, t – час такої самої кількості коливань не навантаженого крутильного маятника, ρ – густина матеріалу диска, h – товщина диска.

 

 

Порядок виконання роботи

 

 

1. Виміряти діаметр диска D і його товщину h.

2. Повернути не навантажений маятник на певний кут порядку 1-2° і відпустити, виміряти секундоміром час t певної кількості коливань (але не менше 10).

3. Покласти на диск досліджуване тіло так, щоб центри мас тіла і диска були на одній вертикалі і виміряти час t 1для такої ж самої кількості коливань, як і в першому випадку.

4. За формулою (11.15) обчислити момент інерції І 0тіла неправильної форми.

5. Похибки, абсолютну і відносну, обчислити за стандартною методикою.

 

 

Контрольні запитання

 

 

1. Що називається моментом сили відносно точки і відносно вісі обертання?

2. Дати означення моменту інерції матеріальної точки і твердого тіла.

3. Що називається кутовим прискоренням і в яких одиницях воно вимірюється?

4. Записати основне рівняння динаміки обертового руху. 5. В чому полягає теорема Штейнера?

 

 

6. Який зв'язок між періодом коливань і круговою частотою? 7. Чому дорівнює період коливань крутильного маятника?

8. Вивести робочу формулу.

9. Вивести формулу для знаходження абсолютної і відносної похибки.

 

Лабораторнаробота№12

 

 

ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ЗЕМНОГО ТЯЖІННЯ І КОЕФІЦІЄНТА ЖОРСТКОСТІ ПРУЖИНИ ЗА ДОПОМОГОЮ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

 

 

Мета роботи:

 

 

Обладнання:

Застосувати теорію коливань, визначити коефіцієнт жорсткості пружини і прискорення земного тяжіння за допомогою пружинного маятника.

Пружинний маятник, секундомір, терези з різноважками, лінійка.

 

 

Теоретичні відомості

 

 

Прискорення земного тяжіння залежить від географічної широти місцевості, розподілу маси в земній корі, висоти над рівням моря. Тому прискорення земного тяжіння в різних точках земної поверхні має різну величину. Одним із способів визначення прискорення земного тяжіння є спосіб, в якому використовується пружинний маятник. Підвісимо на пружині довжиною l, тіло масою m і легенько будемо його опускати до зупинки. Пружина розтягнеться і довжина її буде дорівнювати l 2. Видовження пружини з підвішеною масою m ∆l=l2-l1 називають статичним видовженням (рис. 12.1). На

 

dt

вантаж в стані рівноваги діють: сила земного тяжіння mg і сила пружності F = - k D l. В сумі вони дорівнюють нулю:

l 1 l 1

 

l 2

 

m

g - k D l = 0, (12.1)

 

де k – коефіцієнт жорсткості, а ∆ l – статичне видовження. З цього рівняння випливає, що

 

k

mgg = m D l. (12.2) Рисунок12.1 На перший погляд здається,

k

що для визначення g потрібно знати коефіцієнт жорсткості k і масу m, але з теорії коливань пружинного маятника відомо,

 

(

що відношення m дорівнює квадрату кругової частоти коливань пружинного маятника. Дійсно, якщо вантаж відтягнути на величину Y з стану рівноваги і відпустити, то на нього подіють сили тяжіння mg і пружності F = -k (Δl+Y), сума яких, згідно з другим законом Ньютона, дорівнює добутку маси тіла на прискорення:

 

mg - k D l + Y)= ma.

 

 

Знаючи, що a = dY і врахувавши рівність

 

одержимо рівняння руху пружинного маятника:

 

- kY = mdY.

 

(12.3)

 

(12.1),

 

 

(12.4)

 

 

dt

69

dt

=

.

Розділимо праву і ліву частину на масу m, перенесемо всі члени в ліву частину рівняння і введемо позначення

m

k = w 0. (12.5)

 

Тоді одержимо

 

dY +w 0 Y = 0.

 

Рівняння (12.6) є рівнянням гармонічного Розв'язок його буде, як відомо, функція

 

w

Y = A cos (0 t +j).

 

(12.6)

 

коливання.

 

 

(12.7)

 

 

k

Величина w 0 = m є циклічною частотою коливань.

 

p

p

w 0 = T, де Т – період коливань. Отже, щоб визначити відношення k/m, необхідне для знаходження g згідно рівняння (12.2), досить знати період коливань пружинного маятника:

 

 

k 4 2

 

mT 2

 

(12.8)

 

p

З врахуванням останньої рівності рівняння (12.2) набирає вигляду

2

g = T 2 D l. (12.9) Період коливань можна визначити, якщо знати

час t, протягом якого здійснюється N коливань, тобто

N

T = t. (12.10)

 

Остаточно рівняння для визначення g одержимо, підставивши в рівняння (12.9) вирази для Т і Δl згідно (12.10) і (12.1):

 

 

t

g =p 2 N 2 (l 2 - l 1). (12.11)

 

p

Якщо відома маса m тіла, підвішеного на пружині, то з формул (12.2) і (12.11) одержимо формулу для обчислення коефіцієнта жорсткості пружини:

N

2 2

k = t 2 m. (12.12)

 

 

Порядок виконання роботи

 

 

1. Виміряти довжину пружини l 1, без вантажу. Підвісити вантаж і виміряти довжину розтягнутої пружини l 2.

2. Вивести маятник з положення рівноваги, розтягнувши пружину 3-5мм і виміряти за допомогою секундоміра час 20-30 коливань.

3. За формулою (12.11) визначити прискорення земного тяжіння.

4. Виміряти масу тіла і за формулою (12.12) визначити коефіцієнт жорсткості пружини.

 

 

Контрольні запитання

 

 

1. Скласти диференціальне рівняння коливань пружинного маятника.

2. Що буде розв'язком диференціального рівняння гармонійного коливання?

3. Чому дорівнює період коливань пружинного маятника? 4. Вивести робочі формули для визначення прискорення земного тяжіння і коефіцієнта жорсткості пружини.

 

 

Лабораторнаробота№13