Визначення головних осей інерції

 

 

Мета роботи: на досліді переконатись, що момент інерції тіла залежить від вибору осі обертання, а також встановити, які з осей обертання є головними, до якого типу дзиґ належить кожне з досліджуваних тіл.

 

 

Обладнання: установка РМ-05.

 

 

Установка РМ-05 складається з стержня 1, рамки в якім закріплене досліджуване тіло 2, електромагніту 3, електродного блоку відліку часу і кількості коливань 4 (рис.7.1).

 

 

Теоретичні відомості

 

 

Інерціальні властивості тіла при обертовому русі визначаються моментом інерції відносно заданої осі обертання. При зміні осі обертання момент інерції тіла змінюється.

 

 

З другого боку, якщо якесь тіло привести в обертання навколо довільної осі і після цього залишити це тіло само на себе, то положення осі обертання в

просторі буде змінюватись. В той же час існують осі, орієнтація яких в просторі зберігається без дії на тіло

2 зовнішніх моментів сил. Такі осі називаються вільними осями обертання або головними осями інерції.

В теоретичній механіці показано, що для будь-якого тіла з довільним розподілом мас, існують три головні осі інерції. Вони обов’язково проходять через центр інерції і є взаємно перпендикулярними. Момент інерції відносно однієї з них буде

Рисунок7.1 найбільший, а відносно другої найменший, порівняно з моментом інерції відносно всіх інших осей, що проходить через центр інерції цього тіла. Відносно третьої з головних осей момент має проміжне значення. Головні осі інерції, відносно яких момент інерції є максимальний або мінімальний є осями стійкого обертання. Обертання же навколо головної осі, відносно якої момент інерції має проміжне значення, є нестійким. Це означає, що при незначному відхиленні осі обертання, виникають сили інерції, які, в першому випадку, повертають її в попереднє положення, а в другому випадку відхиляють її ще більше від попереднього положення.

У симетричних тілах головними осями інерції є осі симетрії. Так, в тілах з осьовою симетрією (наприклад, у однорідного циліндра) одна з головних осей є фіксована. Це вісь осьової симетрії ОО, дві інші - це будь які дві взаємно перпендикулярні осі, що лежать у площині перпендикулярній до вісі симетрії і проходять через центр мас (рис. 7.2). У тіла з

 

.

центральною симетрією, наприклад, кулі, будь яка вісь, що проходить через центр мас, буде головною віссю інерції.

О

В загальному випадку момент інерції тіла відносно головних осей різні I 1 ≠ I 2 ≠ I 3. Таке

О

О

О1 тіло називають асиметричною дзиґою. Тіло, в якого I 1 ≠ I 2 = I 3(як у випадку циліндра), називають симетричною дзиґою. І, нарешті,

О

якщо момент інерції відносно всіх

О

1 головних осей однакові I 1 = I 2 = I 3, (як у випадку кулі), таке тіло називають кульовою дзиґою. Слід зауважити, що при певному

Рисунок7.2 розподілі мас не тільки куля, а і тіло довільної форми може бути

кульовою дзиґою.

Момент інерції твердого тіла відносно будь якої вісі обертання можна визначити за допомогою крутильного маятника. З теорії коливань відомо, що період коливань крутильного маятника Т зв'язаний з моментом його інерції співвідношенням

 

p

k

T = 2 I, (7.1)

 

де І — момент інерції крутильного маятника, k — коефіцієнт кручення дротини. Якщо досліджуване тіло закріплене в рамці, яка має момент інерції І 0, то формула (7.1) набере вигляду

 

 

p

T = 2

I 0 + Ik

 

(7.2)

 

З цього рівняння можна визначити момент інерції тіла закріпленого в рамці:

 

 

p

I = 4 k 2 T 2 - I 0. (7.3)

 

З рівняння (7.2) випливає, що в разі збільшення моменту інерції збільшується і період коливань крутильного маятника.

Отже, якщо закріплювати тіло в рамці так, щоб воно здійснювало крутильні коливання відносно різних осей) то внаслідок зміни моменту інерції, буде мінятись і період коливань. Таким чином, для визначення головних осей інерції не обов'язково порівнювати моменти інерції відносно різних осей, обчислюючи їх за формулою (7.3), досить порівняти періоди коливань. Більші періоди коливань будуть відповідати більшим значенням моментів інерції і навпаки.

 

 

Порядок виконання роботи

 

 

1. Закріпити тіло в рамці відносно якоїсь вісі обертання.

2. Відхилити рамку від положення рівноваги і зафіксувати електромагнітом.

3. Натиснути кнопку "пуск". Електромагніт звільнить рамку і вона разом з тілом почне коливатись,

4. Натиснути кнопку "сброс". Почнеться відлік часу і кількість коливань.

5. Коли на екрані (кількість коливань) з'явиться цифра ”9” натиснути кнопку "стоп". Відлік часу продовжується до „10” коливань.

6. Поділити зафіксований час на 10, визначити період коливань.

7. Дослід повторити три рази і визначити середнє значення періоду. Похибки обчислити згідно методичних вказівок.

8. Пункти 1-7 виконати для кожного з трьох тіл відносно осей, вказаних на рис. 7.3 (для паралелепіпеда, в малому перерізі якого є прямокутник, осі, відносно яких потрібно

 

визначити період коливань, позначені цифрами. Для тіла, в малому перерізі якого квадрат, з міркувань симетрії, не потрібно визначати періоди коливань відносно вісі 33, бо він 4 1 6 3 буде такий же, як і

5 відносно вісі 11 не потрібно визначати

2 2 період коливань і 7 відносно вісі 77,. так як він буде таким

же, як і відносно вісі

6 1 4 66; для куба, з

міркувань симетрії,

Рисунок7.3 визначити період лише відносно осей 11, 44, 66).

9. Результати досліджень занести в таблицю.

 

 

Вісь Т

Тіло 1 Тіло 2 Тіло 3

ΔТ Т ΔТ Т ΔТ

 

1.1

 

середнє значення

 

2.2

10. Показати, виходячи із зв'язку між періодом коливань і моментом інерції, які осі є головними осями інерції кожного тіла.

11. Вказати, котрі з осей є осями стійкого обертання тіла і до якого типу дзиґ належить кожне тіло.

 

 

Контрольні запитання

 

 

1. Що називають моментом інерції тіла і матеріальної точки? 2. Які осі називають вільними осями обертання або головними осями інерції?

 

3. Які типи дзиґ розрізняють і за якими ознаками?

4. Чи залежить величина моменту інерції, відносно вісі обертання, від вибору вісі?

5. Які з осей називаються осями стійкого обертання?

 

 

Лабораторнаробота№8