Дослідження моментів інерції тіл за допомогою закону збереження енергії.

Прилади та приладдя: установка з маховим колесом на осі, шківом для нитки і вертикальним масштабом, штангенциркуль, секундомір, тягар 0,20 кг і набір досліджуваних тіл різних мас та конфігурацій.

Мета роботи: засвоїти один із методів вимірювання моментів інерції симетричних тіл.

 

Коротка теорія і метод вимірювань

 

Кінетична енергія тіла, що обертається навколо нерухомої осі, може бути представлена як сума кінетичних енергій часток, що складають дане тіло:

W = Σ m_i v_i² / 2 (1)

Виражаючи лінійну швидкість частки через кутову швидкість тіла і радіус кола r_i, що описується часткою (v_i = ω r_i), замість (1) одержимо

W = Σ m_i r_i² ω² /2 (2)

Величина

I = Σ m_i r_i² (3)

служить мірою інертності тіла при обертальному русі і називається моментом інерції тіла. З урахуванням (3) формула (2) записується у вигляді

W = I ω² / 2 (4)

Розрахунки за (3) легко провести у випадку тіл правильної геометричної форми. Моменти інерції тіл складної геометричної форми визначають дослідним шляхом. Один із методів експериментального визначення моментів інерції тіл довільної геометричної форми вивчається в цій лабораторній роботі.

Вимірювальна установка складається з маховика з віссю (для зменшення тертя вісь знаходиться в шариковому підшипнику). На осі маховика є шків для намотки нитки з тягарем на кінці. На маховикові для установки і закріплення досліджуваних тіл є також штирі і гвинт для затискування тіл.

Нехай тягар знаходиться на висоті h над поверхнею підлоги. Якщо його відпустити, то, опускаючись, він витратить свою потенціальну енергію mgh на виконання роботи проти сил опору F, на надання кінетичної енергії обертовій системі, частина її перейде в кінетичну енергію самого тягаря -

mgh = Fh + I ω² / 2 + m v² / 2, (5)

де Fh - робота по подоланню сил опору: I ω² / 2 - кінетична енергія обертової системи; mv²/2 - кінетична енергія тягaря, що опускається. Це рівняння покладено в основу вимірювань момента інерції.

Вимірювання на установці можуть бути проведені двома методами.

Метод 1. Після опускання тягаря його кінетична енергія mv²/2 вважається малою порівняно з іншими складовими (5); обертання маховика продовжується, і за рахунок енергії маховика тягар підіймається на висоту h₁. Закон збереження енергії для опускання і підйому в таких умовах записується відповідно у вигляді mgh = Fh + I ω² / 2; I ω² / 2= Fh₁ + mgh₁. (6)

З цих рівнянь виключається сила опору F, а кутова швидкість за законами рівноприскореного руху може бути подана виразом ω = 2h/rt, де r - радіус маховика. Для момента інерції системи остаточно одержуємо

I = , (7)

Цей метод можна застосувати, якщо задовольняється умова gt² / 2h ≥ 1.

Метод 2. Може бути застосований без останнього обмеження методу 1. Застосовується рівняння (5). Після опускання тягаря нитка сприсає зі штифта на шківі, котрий продовжує сповільнено обертатися деякий час t₁ до повної зупинки. Закон збереження енергії в цьому випадку має вигляд

I ω² / 2= FL, (8)

де L = r φ - шлях точок на колі шківа при повороті на кут φ до повної зупинки.

З (5) та (8) з урахуванням того, що v = ω r та що при рівноприскореному русі ω = 2h/rt і L = ht₁/t, одержуємо розрахункову формулу для момента інерції системи:

I = mr^{2 ( - 1).} (9)

В обох методах вимірювання проводяться в однаковій послідовності: 1) Визначається момент інерції маховика I₀ за формулам: (7) або (9); 2) На маховику закріплюється досліджуване тіло і в такий же спосіб визначається сумарний момент інерції I₁; 3) Момент інерції досліджуваного тіла розраховується як різниця I = I₁ – I₀.

 

Порядок виконання роботи:

 

Метод 1.

 

1. Повертаючи маховик без досліджуваних тіл, намотують нитку на барабан і підіймають тягар на висоту h від підлоги.

2. Надають тягареві можливість опускатись і вимірюють проміжок часу t до удару його об підлогу.

3. Вимірюють висоту h₁, на яку підійметься тягар за рахунок енергії обертального руху маховика. Вимірювання роблять тричі і в розрахунках користуються середніми величинам.

4. Вимірюють радіус шківа і за (7) розраховують момент інерції I₀.

5. Міцно затискують досліджуване тіло на маховику і повторюють дії пп.1-4, визначаючи сумарний момент інерції I₁.

6. Обчислюють момент інерції тіла I = I₁ – I₀. Результати вимірювань та розрахунків заносять до таблиці 1.

Таблиця 1

m	R	h	Маховик	Маховик з тілом	І
t	h1	I0	t	h1	I1

 

Метод 2.

 

1. Тягар на нитці підвішують кільцем за штифт шківа і обертанням маховика підіймають до висоти h від підлоги та вимірюють час його опускання t.

2. Надають тягарю можливості опускатися і вимірюють час опускання t.

3. Утримують секундомір ввімкненим та вимірюють час до повної зупинки маховика t₁ і визначають час вільного вибігу маховика як t₁ = t΄ - t.

4. За формулою (9) обчислюють момент інерції маховика I₀.

5. Міцно закріплюють досліджуване тіло на маховику і повторюють дії по пп.1-4 для тієї ж висоти h та визначають момент інерції маховика з тілом I₁. Момент інерції тіла розраховують за формулою I = I₁- I₀.

Результати вимірів та розрахунків подають в таблиці 2.

Таблиця 2

m	r	h	Маховик	Маховик з тілом	І
t	h1	I0	t	h1	I1

 

Дайте відповідь на запитання:

 

1. Який з двох методів вимірювань точніший?

2. Які обмеження існують в першому методі?

3. Чи можна застосувати ці методи у випадку несиметричних тіл і чому?

 

 

Лабораторна робота № 7.