Дифференцирующие звенья и их характеристики.

Идеальное дифференцирующее звено.

Передаточная функция данного звена
АФХ, АЧХ и ФЧХ имеют вид
ЛАХ звена равна
Переходная функция звена

Реальное дифференцирующее звено.

Передаточная функция звена
АФХ, АЧХ и ФЧХ равны соответственно
ЛАХ звена определяется выражением	Переходная функция звена

 

 

 

Апериодические звенья первого и второго порядка. Их уравнения, передаточные функция, временные и частотные характеристики.

 

1 Порядка

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка

 

Апериодическим называется такое звено, у которого выходная величина после подачи на вход ступенчатого воздействия изменяется монотонно, достигая некоторого установившегося значения.

1.70

 

Дифференциальное уравнение в операторной форме

1.71

 

Апериодические звенья первого порядка наиболее часто применяются в практике автоматического регулирования.

Примеры звеньев:

1)нагрев тела

 

2)RC-цепь

 

 

 

 

Передаточная функция

1.72

 

Переходная функция

 

1.73

 

Функция веса

 

1.74

 

Для рассматриваемого звена временной характеристикой может служить решение дифференциального уравнения (1.70).

1.75

 

Из выражения (1.75) можно перейти к выражению (1.73), если на вход подать ступенчатое воздействие, а начальные координаты принять равные нулю.

Теоретически, переходный процесс у звеньев рассматриваемого типа, длится бесконечно долго. Практически же, для апериодического звена, переходный процесс может быть завершенным, если выходная величина достигает значения 0,95-0,99 от установившегося. Такой промежуток времени определяется значениями (3Т…5Т).

Частотные характеристики

1.76

1.77

 

 

Вид частотных характеристик

АФХ АЧХ ФЧХ

 

Выражение для ЛАЧХ

1.78

 

Выражение для аналитической ЛАЧХ

1.79

 

Вид логарифмических характеристик

 

Второго порядка

Уравнение звена

. (3.13)

Уравнение в операторной форме

. (3.14)

Характеристическое уравнение звена

. (3.15)

Имеем два корня

(3.16)

Общее решение дифференциального уравнения, определяющее свободное движение (решения однородного дифференциального уравнения), имеет вид

. (3.17)

Характер переходного процесса звена зависит от вида корней, которые могут быть действительными или комплексными числами.

Если Т ₁>2 Т ₂, то корни характеристического уравнения будут действительными числами, которые можно представит в виде:

, , (3.18)

где Т ₃ и Т ₄ – некоторые условные постоянные времени, причем Т ₃> Т ₄.

Тогда динамическая характеристика звена имеет монотонный апериодический характер и звено называется апериодическим звеном второго порядка. Из уравнения (3.14) получается передаточная функция звена, знаменатель которой можно разложить на два множителя и представить передаточную функцию в следующем виде

, (3.19)

где ; .

Из (3.19) следует, что инерционное звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических (инерционных) звеньев первого порядка с постоянными времени Т ₃ и Т ₄:

, (3.20)

где ; .

Решение уравнения (3.13) с использованием условных постоянных времени Т ₃ и Т ₄ при нулевых начальных условиях и однократном ступенчатом воздействии х _вх(t)=const имеет вид

. (3.21)

Временная характеристика (кривая разгона) представлена на рис. 3.7.

Частотные характеристики звена удобно получить из представления последовательного соединения двух апериодических звеньев первого порядка. Частотная передаточная функция, получаемая при замене оператора р величиной j w, также представляется произведением частотных передаточных функций составляющих звеньев

(3.22)

 

Рис. 3.7. Кривая разгона апериодического звена второго порядка

Используя выражение W (j w) через амплитудно-частотную А (w) и фазо-частотную j(w) характеристики, имеем

(3.23)

Следовательно, амплитудно-частотные характеристики последовательно соединенных звеньев перемножаются, а фазочастотные – складываются:

, . (3.24)

Частотные характеристики апериодических звеньев первого порядка известны. Тогда амплитудно-частотная характеристика апериодического звена второго порядка будет

; (3.25)

афазочастотная

. (3.26)

Из уравнений (3.25) и (3.26) следует, что при изменении частоты w от 0 до ¥ А (w) изменяется от k (w=0) до 0 (w=¥), а фазовый сдвиг изменяется от 0 (w=0) до –p (w=¥).

Апериодическое звено второго порядка так же, как и звено первого порядка, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты.

 

Инерционными звеньями второго порядка являются обычно такие конструктивные элементы автоматических систем, которые содержат два накопителя вещества или энергии: последовательное соединение двух гидравлических емкостей (рис. 3.8, а) или последовательное соединение двух цепей RС (рис. 3.8, б).