Дифференциальные уравнения. Уравнения динамики и статики. Формы записи дифференциальных уравнений. Линеаризация

На определенном этапе разработки и исследования автоматической системы управления (канала) получают ее математическое описание—описание процессов, проистекающих в системе, на языке математики. Математическое описание может быть аналитическим (с помощью уравнений), графическим (с помощью графиков, структурных схем и графов) и табличным (с помощью таблиц).

Для получения математического описания системы (канала) обычно составляют описание ее отдельных элементов. В частности, для получения уравнений системы составляют уравнения для каждого входящего в нее элемента. Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнения системы.

Уравнения (а также структурные схемы) автоматической системы управления (канала) называют ее математической моделью. Такое название обусловлено тем, что при математическом описании (составлении уравнений) физических процессов всегда делают какие-либо допущения и приближения. Математическая модель одной и той же системы или канала в зависимости от цели исследования может быть разной. Более того, иногда полезно при решении одной и той же задачи на разных этапах принимать разную математическую модель: начать исследование с простейшей модели, а затем ее постепенно усложнять, с тем чтобы учесть дополнительные явления и связи, которые на начальном этапе были отброшены как несущественные. Сказанное обусловливается тем, что к математической модели предъявляются противоречивые требования: она должна, с одной стороны, как можно полнее отражать свойства оригинала, а с другой стороны, быть по возможности простой, чтобы не усложнять исследование.

Система управления и любой ее элемент производят преобразование входного сигнала х(t) в выходной сигнал у(t). С математической точки зрения они осуществляют отображение у(t)=A х(t),

согласно которому каждому элементу х(t) из множества Х входных сигналов (х(t)X) ставится в соответствие единственный, вполне определенный элемент у(t) из множества Y выходных сигналов [y(t)Y]. В приведенном соотношении А называется оператором. Оператор, определяющий соответствие между входным и выходным сигналами системы управления (элемента), называется оператором этой системы (элемента). Задать оператор системы — это значит задать правило определения выходного сигнала этой системы по ее входному сигналу.

Рассмотрим математическое описание непрерывных систем управления (каналов) с помощью дифференциальных уравнений. В большинстве случаев каналы или системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями произвольного порядка. Здесь под каналом понимается математическая модель элемента. Для примера рассмотрим канал (рис. 7.3), который можно описать дифференциальным уравнением второго порядка

F(y, y’, y’’,u, u’)+f=0, (7.3)

где у — выходная величина; и и f— входные величины; у'и и' — первые производные по времени; у'' — вторая производная по времени.

Уравнение (7.3), описывающее процессы в канале при произвольных входных воздействиях, называют уравнением динамики. Пусть при постоянных входных величинах и=и⁰ и f=f⁰ процесс в канале с течением времени установится: выходная величина примет постоянное значение у=у⁰. Тогда (7.3) примет вид

F(y⁰,0,0,u⁰,0)+f⁰=0. (6.4)

Это уравнение описывает статический или установившийся режим и его называют уравнением статики.

Статический режим можно описать графически с помощью статических характеристик. Статической характеристикой канала или элемента (а также системы) называют зависимость выходной величины от входной в статическом режиме. Статическую характеристику можно построить экспериментально, подавая на вход элемента постоянное воздействие и измеряя выходную величину после окончания переходного процесса, или расчетным путем, используя уравнение статики.

Если канал имеет несколько входов, то оно описывается с помощью семейства или семейств статических характеристик.

Линеаризация. Обычно автоматические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. Но во многих случаях можно их линеаризовать, т. Е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системе. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.

В автоматических системах должен поддерживаться некоторый заданный режим. При этом режиме входные и выходные величины звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенные постоянные значения. Но из-за различных возмущающих факторов фактический режим отличается от требуемого (заданного), поэтому текущие значения входных и выходных величин не равны значениям, соответствующим заданному режиму. В нормально функционирующей автоматической системе фактический режим немного отличается от требуемого режима и отклонения входных и выходных величин входящих в нее звеньев от требуемых значений малы. Это позволяет произвести линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора. Линеаризацию можно производить по каналам.

Для примера линейное уравнение для формулы (7.3) выглядит

a_0y’’+a_1y’+a_2y-b_0u-b_1u-c_0f=0 (7.5)

где a₀=( F/ y’’); a₁=( F/ y’); a₂=( F/ y); b₀= -( F/ u’); b₁= -( F/ u); c₀= -1.

Каналы и системы, которые описываются линейными уравнениями, называют соответственно линейными каналами и линейными системами.

Уравнение (7.5) было получено при следующих предположениях:

1. отклонения выходной у и входной u величин достаточно малы;

2. функция F обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих заданному режиму. Если хотя бы одно из условий не выполняется, то линеаризацию производить нельзя. По поводу первого условия необходимо отметить следующее: нельзя раз и навсегда установить, какие отклонения считать малыми. Это зависит от вида нелинейности.

Часто нелинейную зависимость между отдельными переменными, входящими в уравнение канала, задают в виде кривой. В этих случаях линеаризацию можно произвести графически.

Геометрически линеаризация нелинейной зависимости между двумя переменными (рис. 7.4) означает замену исходной кривой АВ отрезком ее касательной А'В' в точке О', соответствующей заданному режиму, и параллельный перенос начала координат в эту точку.

В зависимости от того, входит или нет время явно в уравнение, системы разделяют на стационарные и нестационарные.

Автоматические системы управления (каналы) называют стационарными, если они при постоянных внешних воздействиях описываются уравнениями, не зависящими явно от времени. Это означает, что свойства системы со временем не изменяются. В противном случае система называется нестационарной. Для линейных систем можно дать также следующее определение: стационарными линейными системами (каналами) называют системы (каналы), которые описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами; нестационарными линейными системами (каналами) или системами с переменными параметрами — системы (каналы), которые описываются линейными уравнениями с переменными коэффициентами.

 

 

Передаточные функции

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамическиесвойства системы. Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(р) к изображению входного X(р) при нулевых начальныхусловиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

где:

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).
Из формулы (2.6) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных обьектов управления. В частности, использование моделей инерционных звеньев первого или второго порядка с запаздыванием для расчета настроек регуляторов обеспечивает в большинстве случаев качественную работу реальной системы управления. В зависимости от вида переходной характеристики (кривой разгона) задаются чаще всего одним из трех видов передаточной функции обьекта управления:

1. В виде передаточной функции инерционного звена первого порядка:

где: К - коэффициент усиления,
Т - постоянная времени,
- запаздывание, которые должны быть определены в окрестности номинального режима работы обьекта.

2. Для обьекта управления без самовыравнивания передаточная функция имеет вид:

3. Более точнее динамику обьекта описывает модель второго порядка с запаздыванием:

 

4.