Амплитудная и фазовая частотные характеристики. Логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ, ЛФЧХ). Методика построения логарифмических частотных характеристик

Частотные характеристики описывают вынужден­ные движения системы, вызванные гармоническим воздействием на входе , где – амплитуда; – угловая частота входных колебаний с периодом . Если , то входное воздей­ствие – единичное гармоническое.

По окончании переходного процесса на выходе линейной системы устанавливаются гармонические колебания той же частоты ω, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний на угол .

Изменения амплитуды и фазовый сдвиг являются функциями частоты ω и выражают динамические свойства системы. Если изменять частоту входных колебаний от 0 до ∞ и определять установившиеся амплитуду и фазу выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость соотношения амплитуд от частоты – амплитудно–частотную (АЧХ) и сдвига фазы – фазово–частотную (ФЧХ).

Проведение такого исследования можно представить, например, так (рис. 7.1): в трубопровод подачи топлива вмонтирована дроссельная заслонка, которую можно открывать и закрывать с определенной частотой при помощи специального механизма. При этом можно обеспечить синусоидальное изменение расхода топлива, являющегося входной величиной . Если измерять температуру в печи – выходной сигнал , то увидим, что в установившемся режиме она будет изменяться с той же частотой, а максимумы и минимумы расхода и температуры будут сдвинуты по фазе (рис. 7.2).

Для каждой частоты входного сигнала (расхода газа) одной и той же амплитуды будут получены определенные амплитуда и фазовый сдвиг выходного сигнала (температуры в печи).

Если изобразить зависимость отношения амплитуд от частоты, получим амплитудно-частотную характеристику (рис. 7.3). Заметим, что у обычных инерционных звеньев АЧХ по мере увеличения частоты падает.

Хотя АЧХ теоретически продолжается до бесконечности, практическое значение имеет полоса пропускания, т.е. диапазон частот, в котором амплитуда колебаний выходного сигнала составляет не менее 5 % амплитуды колебаний максимума выходного сигнала. Если у АЧХ звена имеется максимум при , то соответствующую частоту называют резонансной.

 

 

 

Рис. 7.1. Схема экспериментального определения частотных характеристик

 

Рис. 7.2. Входной и выходной сигналы в установившемся режиме

 

Изобразив на графике зависимость фазового сдвига от частоты (рис. 7.4), получим фазово–частотную характеристику. ФЧХ у обычных инерционных звеньев отрицательна, т.е. выходные колебания отстают по фазе от входных, причем это отставание увеличивается до полупериода с ростом частоты ω до бесконечности.

 

Рис. 7.3. Построение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ)

 

 

Рис. 7.4. Построение фазовой частотной характеристики (ФЧХ)

 

Логарифмические частотные характеристики   При практических расчетах АСР удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (логарифмические частотные характеристики – ЛЧХ). Они характеризуются большей линейностью и на определенных участках изменения частот могут быть заменены прямыми линиями и в целом представлены ломаными линиями. Причем отрезки прямых в большинстве случаев можно построить при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, т.к. умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик. За единицу длины по оси частот ЛЧХ принимается декада. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением и его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной декаде, равен 1. Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) , дБ, (86) ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (0,1 бела), сокращенно дБ (рис. 23). Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше мощности другого в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б (lg10 = 1). Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды ,то или . При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс. Рис. 23. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

 

Построение

 

Частотные методы исследования линейных систем автоматического регулирования существенно упростились, после того, как для построения графиков частотных характеристик были введены логарифмические шкалы. Частотные характеристики, построенные в логарифмических шкалах, называется логарифмическими частотными характеристиками.

Чаще всего строятся характеристики - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и - логарифмическая фазовая характеристика. (ЛФХ)

Для построения ЛАЧХ используется модуль АЧХ выраженный в децибелах

Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д.

Децибел равен одной десятой части бела. Если модуль был бы отношением мощностей, то в правой части (1) находился бы множитель 10. Т.к. модуль представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, токов и т.п.), то увеличение этого отношения в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует 2 белам или 20 децибелам. Поэтому в правой части (1) находится множитель 20. Один децибел соответствует изменению амплитуды в раз.

Усилению соответствуют положительные децибелы, а ослаблению – отрицательные.

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е. откладывается десятичный логарифм частоты, а около отметки указывается само значение частоты.

При построении ЛАЧХ на оси ординат наносится шкала модулей в децибелах.

При построении ЛФХ на оси абсцисс используется логарифмическая шкала частот, а на оси ординат откладывается фазовый сдвиг, т.е. в град.

Для удобства одновременного построения ЛАЧХ и ЛФХ шкалы частот совмещаются, а шкала фазовых сдвигов наносится так, чтобы совместить фазовый сдвиг – 180⁰ с нулем шкалы модулей. При этом отрицательные фазовые сдвиги откладываются вверх.