Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Гурвица
Необходимое условие устойчивости Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде D(p) = aopn + a1pn-1 + a2pn-2 +... + an = ao(p-p1)(p-p2)...(p-pn) = 0, где p1, p2,..., pn - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как ai = -|ai| < 0. Подставим их в уравнение: a0 (p + |a1|) (p + |a2| - j 2) (p + |a2| + j 2) ... = 0. Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим: a0 (p + |a1|) ((p + |a2|)2 + ( 2)2) ... = 0. После раскрытия скобок должно получиться выражение a0 pn + a1 pn-1 + a2 pn-2 +... + an = 0. Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a0,a1,...,an не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a0> 0, a1 > 0,..., an> 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a0> 0. В противном случае уравнение домножается на -1. Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерииРауса и Гурвица. Критерий Гурвица Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму: 1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an; 2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз; 3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули. Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица. Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица: 1) n = 1 => уравнение динамики: a0p + a1 = 0. Определитель Гурвица: = 1 = a1 > 0 при a0 > 0, то есть условиие устойчивости: a0> 0, a1 > 0; 2) n = 2 => уравнение динамики: a0p2 + a1p + a2 = 0. Определители Гурвица: 1 = a1> 0, D2 = a1a2 - a0a3 = a1a2 > 0, так как a3 = 0, то есть условие устойчивости: a0> 0, a1> 0, a2 > 0; 3) n = 3 =>уравнениединамики: a0p3 + a1p2 + a2p + a3 = 0. ОпределителиГурвица: 1 = a1> 0, 2 = a1a2 - a0a3 > 0, 3 = a3 2 > 0, условиеустойчивости: a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, a1a2 - a0a3 > 0;
Таким образом при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия. Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя n = an n-1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо an = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя n-1. Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным (рис.67). Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой. Принцип аргумента Запишем характеристический полином САУ в виде D(p) = a0(p - p1)(p - p2)...(p - pn) = 0. Егокорни pi = i + ji = |pi|ejarg(pi), где arg(pi) = arctg(i/ai) + k, . Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - pi изобразится разностью векторов (рис.68б), где p - любое число. Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - pi будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как pi - это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой, то p = j, а характеристический полином принимает вид: D(j) = a0(j - p1)(j - p2)...(j - pn). При этом концы векторов j - pi будут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от - до +, то каждый вектор j - pi будет поворачиваться относительно своего начала pi на угол +p для левых и - p для правых корней (рис.68г).
Характеристический полином можно представить в виде D(j) = |D(j)|ejarg(D(j)), где |D(j)| = a0|j - p1||j - p2|...|j - pn|, arg(D(j)) = arg(j - p1) + arg(j - p2) +.. + arg(j - pn). Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j) при изменении от - до + равен = (n - m) - m, или при изменении от 0 до + получаем = (n - 2m)(/2). Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на, а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2. Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 128; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.191.169 (0.007 с.) |