Устойчивость систем с запаздыванием. Критическое время запаздывания

Системы автоматического управления могут содержать звенья, и которых зависимость между входной и и выходной величинами имеет вид

где — постоянная величина, называемая временем запаздывания. Такие звенья называют запаздывающими, так как они воспроизводят изменения входной величины без искажения, но с некоторым постоянным запаздыванием.

Передаточная функция запаздывающего звена (см. § 2.6)

Рис. 3.30

Звенья с чистым запаздыванием часто встречаются в различных технологических процессах, когда материал перемещается из одной точки в другую с помощью ленточных транспортеров; в системах регулирования толщины листа при прокатке; в системах магнитной записи и воспроизведения и т. д.

Системы автоматического управления, содержащие хотя бы одно запаздывающее звено, называют системами с запаздыванием. Процессы в системах с запаздыванием описываются дифференциально-разностными уравнениями.

Во многих тепловых процессах, а также при передаче сигналов на расстояние по длинным электрическим, гидравлическим и другим линиям наблюдается запаздывание, распределенное по всей дайне линии, которое в отличие от чистого запаздывания приводит к искажению передаваемых сигналов. Системы, содержащие звенья с распределенным запаздыванием, требуют для своего описания дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях в результате решения указанных уравнений в частных производных с учетом граничных условий после некоторых упрощающих предположений для системы автоматического управления в целом получают дифференциально-разностные уравнения такого же типа, как и для систем с чистым запаздыванием.

На практике широко применяют аппроксимацию передаточных функций сложных систем с распределением параметрами с помощью передаточных функций систем с сосредоточенными параметрами и эквивалентных постоянных времени чистого запаздывания. Иногда сложные системы высокого порядка с сосредоточенными параметрами, содержащие большое количество инерционных звеньев, также можно заменить для приближенного исследования более простой системой низкого порядка, но содержащей звенья с чистым запаздыванием.

В дальнейшем будем рассматривать только системы с чистым запаздыванием.

Структурная схема одноконтурной системы автоматического управления, содержащей одно запаздывающее звено, может быть представлена либо так, как показано на рис. 3.30, а, если запаздывающее звено находится в прямой цепи, либо так, как показано на рис. 3.30, б, если запаздывающее звено находится в цепи обратной связи.

Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием равна

где — передаточная функция разомкнутой системы без учета запаздывания, представляющая собой дробно-рациональную функцию оператора

Заметим, что если в одноконтурной системе имеется несколько последовательно соединенных запаздывающих звеньев, то они могут быть заменены одним запаздывающим звеном с эквивалентной постоянной времени запаздывания, равной сумме всех постоянных времен запаздывания.

Если запаздывающее звено находится в прямой цепи, то передаточная функция замкнутой системы

Если же запаздывающее звено находится в цепи обратной связи, то передаточная функция замкнутой системы

Из (3,96 a) и (3.96 б) видно, что независимо от места включения запаздывающего звена характеристическое уравнение системы с запаздыванием имеет вид

Это характеристическое уравнение из-за наличия множителя является не полиномом, а трансцендентной функцией оператора s и в отличие от обыкновенного алгебраического уравнения имеет бесконечное множество корней. Так как

то (3.97) можно рассматривать как уравнение «бесконечной степени».

Для того чтобы линейная система с постоянным запаздыванием была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (3.97) были левыми. Нахождение корней уравнения (3.97) затруднительно, поэтому для исследования

устойчивости систем с запаздыванием используют критерии устойчивости.

Следует иметь в виду, что алгебраические критерии устойчивости Рауса и Гурвица в их обычной форме для исследования систем, с запаздыванием непригодны, причем для устойчивости линейных систем первого и второго порядков с запаздыванием только положительности коэффициентов характеристического уравнения уже становится недостаточно. Существуют различные алгебраические критерии устойчивости для систем с запаздыванием, которые являются аналогами критериев Рауса и Гурвица, однако в инженерной практике они широкого применения не нашли из-за их относительной сложности.