Оценка качества регулирования в установившемся режиме

4.3. Коэффициенты ошибок.

Точность САУ в установившемся режиме, при относительно медленно изменяющихся воздействиях, может быть оценена с помощью коэффициентов ошибок. Изображение ошибки определяется выражением

Разложим передаточную функцию системы по ошибке в степенной ряд в окрестности точки s =0. Отметим, что при s ® 0, t ® ¥ и именно поэтому мы говорим о точности в установившемся режиме.

(4.7)

Обозначим:  и получим

 (4.8)

Учитывая, что оператор s, умноженный на изображение самой величины, является символом дифференцирования, можно для оригиналов записать

     (4.9)

Выражение (4.9) определяет зависимость ошибки регулирования от различных составляющих входного воздействия и коэффициенты K_i получили название коэффициентов ошибок:

- K ₀ - коэффициент ошибки по положению;

- K ₁ - коэффициент ошибки по скорости;

- K ₂ – коэффициент ошибки по ускорению и т.д.

Из (4.8) следует, что

Численные значения коэффициентов ошибок определяются из этого выражения при s ® 0.

 (4.10)

Очевидно, что К₀=Ф _e (0).

Входное воздействие можно представить в виде степенного ряда

где g ₀ – постоянная величина, характеризующая начальное значение, g ₁ = const – скорость изменения входного воздействия, g ₂ = const – ускорение и т.д. Тогда

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

где n -порядок астатизма системы. Для передаточной функции замкнутой системы по ошибке получим

 

Изображение ошибки запишется в виде

Отсюда следует, что если порядок астатизма больше порядка старшей производной воздействия, т.е. n > m, то ошибка в установившемся режиме будет равна нулю. Если n = m, то установившаяся ошибка будет равна постоянной величине, называемой статической ошибкой. И если n < m, то при t ® ¥ и e ® ¥. В отношении коэффициентов ошибок последнее выражение позволяет сделать следующие выводы.

1). Если система статическая, т.е. n =0, то существуют все составляющие ошибки и все коэффициенты ошибок не равны нулю, т.к. К₀ = Ф _e (0) ¹ 0.

2).Система с астатизмом 1-го порядка, n =1, не имеет ошибки по

положению и К₀=0.

3).Система с астатизмом 2-го порядка, n =2, не имеет ошибок по положению и по скорости и К₀ =0, К₁=0.

Этот список можно продолжить. Таким образом, повышение порядка астатизма повышает точность системы в установившемся режиме. Но повышение порядка астатизма снижает запасы устойчивости, т.к. введение интегрирующих звеньев увеличивает фазовое запаздывание (снижает частоту w _p). Поэтому на практике порядок астатизма выше второго не применяют, а чаще всего ограничиваются астатизмом первого порядка, используя для повышения точности другие способы.