Составляющие восстанавливающего момента. Остойчивость формы и остойчивость веса

Подставим в формулу (2.14а) значение начальной метацентрической высоты из формулы (2.18):

                             .

Первая составляющая называется моментом остойчивости формы,

                                       ,                                               (2.26)

так как поперечный метацентрический радиус зависит только от формы корпуса, а вторая составляющая - моментом остойчивости веса

                                     ,                                                       (2.27)

так как , т.е. момент зависит от положения центра тяжести.

Тогда

                                            .                                              

Проиллюстрируем выражение (2.27) соответствующим графическим примером (рис.2.13). Приложив условно в точке С ₀ две взаимно уравновешивающиеся силы d, получим один момент с плечом , т.е. , направленный против наклонения, и второй , направленный в сторону наклонения, с плечом , т.е.

 

 

Рис.2.13. Составляющие восстанавливающего момента

Изменение посадки и остойчивости судна при переносе, приеме и расхо-довании груза. Понятие о нейтральной плоскости. Метацентрическая диа-грамма

Перенос, прием и расходование грузов являются повседневными операциями в процессе эксплуатации судна. Такие операции приводят к изменению посадки (средней осадки, углов крена и дифферента) и остойчивости судна. Как правило, это изменение с достаточной для практики точностью можно оценить по формулам начальной остойчивости. Пересчет диаграмм статической и динамической остойчивости проводят лишь в случаях, связанных главным образом с обеспечением безопасности плавания.

 

Перенос груза

Пусть на судне некоторый груз p массой m перенесен так, что ЦТ этого груза переместился из точки с координатами x ₀, y _{­ 0}, z ₀ в точку с координатами x ₁, y _{­ 1}, z ₁. Тогда масса всего судна не изменится, но изменится положение его ЦТ. Раскладывая фактическое перемещение ЦТ груза на три взаимно перпен-дикулярных перемещения, параллельные координатным осям, рассматриваем продольное перемещение l _x = x ₁— x ₀, поперечное перемещение l _у = y ₁ — y ₀ и вертикальное перемещение l_z = z ₁ — z ₀ (рис. 2.14).

Исследование одновременного воздействия всех трех перемещений на посадку и остойчивость судна приводит к сложным выкладкам, поэтому вначале разберем перенос груза по вертикали на расстояние l_z, а затем перенос груза в горизонтальной плоскости на расстояния l _у   и l _х.

Перенос груза по вертикали. Перемещение ЦТ судна можно найти с помощью теоремы теоретической механики о статических моментах, согласно которой

                                          .                                              (2.28)

 

 

Рис. 2.14. Наклонение судна при переносе малого груза в поперечной плоскости

 

Согласно (2.17) и (2.21) метацентрические высоты равны

                                                      ;

.

Для приращений метацентрических высот по аналогии можно записать

;

                                                      .                                     (2.29)

Однако при вертикальном переносе груза изменения водоизмещения, осадки и формы подводной части судна нет, поэтому первые два слагаемых в каждой из формул (2.29) равны нулю. Таким образом, изменения метацентрических высот будут одинаковы

                                                       .                                          (2.30)

Подставляя в эту формулу выражение (2.28), получим

                                                ,                                          (2.31)

Если груз переносится вниз, то ,  и согласно формуле (2.31) , т. е. начальная остойчивость увеличивается.

Если же груз переносят вверх, то ,  и , т. е. начальная остойчивость снижается. Очевидно, возможен случай, когда при переносе грузов вверх поперечная метацентрическая высота станет равной нулю или даже отрицательной. На практике таких случаев следует избегать, поскольку они запрещены правилами безопасной эксплуатации судов.

Для большинства судов продольная метацентрическая высота намного больше поперечной. Поэтому в практических расчетах поправкой  почти всегда можно пренебречь по сравнению с .

Таким образом, новые метацентрические высоты будут равны

   ;

                                            .                                      (2.32)

Восстанавливающие моменты будут соответственно равны

                                            ;                                           (2.33)

                                                            .                                                     (2.34)

Перенос груза по горизонтали. При переносе груза по оси Оу на расстояние l _у возникает кренящий момент . Статическое равновесие наступает при равенстве кренящего и восстанавливающего моментов , или с учетом (2.33)

                                                  .                                              (2.35)

Из этой формулы можно получить угол крена, с которым будет плавать судно    

                                                .                                            (2.36)                          

В случае переноса груза на правый борт  и , а в случае переноса на левый и .

При переносе груза по оси Ох возникает дифферентующий момент   и все рассуждения относительно равенства дифферентующего и восстанавливающего моментов можно повторить. Окончательно получим угол дифферента

                                                        .                                           (2.37)                             

Если груз переносится в нос, то , , а значит и , т. е. судно получает дифферент на нос. Если же груз переносится в корму, то , , , т. е. судно дифферентуется на корму. Изменение осадок носом и кормой можно определить, используя теорему Эйлера. Проведем через точку F — ЦТ площади ватерлинии В₀Л₀ судна в прямом положении — наклонную ватерлинию В Л  под углом дифферента  (рис. 2.15). Тогда для изменения осадок носом  и кормой  можно записать:

                               ;    ,                  (2.38)

где положительные значения  и  соответствуют увеличению осадок носом T _н и кормой T _к, а отрицательные – их уменьшению. Дифферент (в метрах) определяется выражением:

                                         .                         (2.39)

 

 

Рис. 2.15. Определение осадок носом и кормой при приеме малого груза

 

Если , т.е. груз переносится только по горизонтали

                                                                ;                                                 (2.36^’)

                                                   .                                             (2.37)

 

Прием и расходование груза

Расчетные оценки изменения посадки и остойчивости судна при приеме и расходовании грузов существенно различаются для относительно малого и относительно большого грузов. В первом случае можно получить достаточно простые расчетные формулы, во втором пользуются графическими зависимостями. Напоминаем, что решение вопроса о том, какой груз следует считать относительно малым, а какой большим, зависит от формы обводов судна в районе изменения осадки. Чем больше протяженность вертикальных бортов в этом районе, тем выше пределы применимости формул для приема малого груза. Как правило, груз считается относительно малым, если вес его не превышает (5—10) % от веса судна D.

Прием и расходование относительно малого груза. Предположим, что на судно принят относительно малый груз p. Обозначим через x_p, y_p, z_p координаты ЦТ принятого груза. В результате приема груза изменятся средняя осадка и остойчивость, могут возникнуть крен и дифферент судна. Для упрощения вывода расчетных формул разобьем рассматриваемую операцию на две части. Сначала примем груз таким образом, чтобы не возникало ни крена, ни дифферента. Эта задача нами уже решалась в п. 1.14.1. Затем перенесем в горизонтальной плоскости груз в место его фактического приема. При этом могут появиться крен и дифферент.

Как следует из п.1.14.1, чтобы при приеме малого груза не возникало крена и дифферента, ЦТ груза должен располагаться на одной вертикали с ЦТ площади ватерлинии. Поэтому примем вначале груз в точку с координатами x _{­ f}, 0, z_p, где аппликата z _p может быть любой. Изменение средней осадки определится формулой (1.93)

                                              .

Найдем изменение поперечной метацентрической высоты. В соответствии с первой формулой (2.29)

               .                                         

Изменение аппликаты ЦТ судна определяется формулой (1.97)

                                                ,

а изменение аппликаты ЦВ - формулой (1.100)

  .

Изменение поперечного метацентрического радиуса равно , где  — метацентрический радиус после приема груза;  — метацентрический радиус до его приема. В формулах для r ₁ и r ₀ величина , а I _{x 1}, и I _x — моменты инерции площади ватерлинии после и до приема груза соответственно. Поскольку принятый груз полагаем малым и борта судна в пределах изменения осадки считаются вертикальными, площадь действующей ватерлинии неизменна и, следовательно, . Тогда после несложных преобразований получится

                                                .                                       (2.40)

Подставляя значения  и  из формул (1.97), (1.100) и (2.40) в (2.39) с учетом выражения для  найдем

                                   .                            (2.41)

Отсюда поперечная метацентрическая высота после приема груза равна

                                     .                  (2.42)

Аналогичным путем определяется изменение продольной метацентрической высоты

                                .                     

Изменение продольного метацентрического радиуса находим аналогично (2.42), считая судно прямобортным

                                              .                                    (2.43)

После подстановки значений ,  и  согласно формулам (1.97), (1.100) и (2.43) в  и несложных преобразований получим

                                             .                          (2.44)

Для большинства судов величина  намного меньше H ₀. Поэтому приближенно можно положить

                                                       .                                (2.45)

Тогда продольная метацентрическая высота после приема груза будет равна

                                       .                    (2.46)

В случае расходования груза величину p следует вводить в формулы (2.42) и (2.46) со знаком минус.

Найдем изменение коэффициентов остойчивости, входящих в выражения (2.14а) и (2.15). Умножая (2.42) и (2.47) на величину , получим для коэффициента поперечной остойчивости

                                          .                         (2.47)

и для коэффициента продольной остойчивости

                                      .                               (2.48)

Следовательно, для большинства надводных судов приближенно можно считать, что при приеме и расходовании малого груза коэффициент продольной остойчивости не изменяется.

Перейдем ко второй части операции: переместим груз в горизонтальной плоскости так, чтобы его ЦТ оказался в точке с координатами x_p и y_p. Изменение посадки судна вследствие такого перемещения определим по формулам (2.36) и (2.37), в которых следует положить l_y = y_p; l_x = x_p — x_f. Тогда с учетом (2.47) и (2.48) углы крена и дифферента будут равны

                                  ;                                     (2.49)

                                            ,                                     (2.50)

а дифферент судна (в метрах)

                                  .                            (2.51)

Изменения осадок носом и кормой найдем как алгебраическую сумму изменений средней осадки и осадки каждой из оконечностей, обусловленных малым равнообъемным наклонением на угол . Учитывая, что такое наклонение судна согласно теореме Эйлера происходит относительно поперечной оси, проходящей через ЦТ площади ватерлинии прямого положения для средней осадки, изменившейся на , аналогично (2.37) получим

                                                                                (2.52)

Отсюда изменение осадки на мидель-шпангоуте равно

                                            ,                            (2.53)

где  — изменение средней осадки, отсчитываемое в плоскости, проходящей через ЦТ площади начальной ватерлинии.

После приема груза средняя осадка равна

                                      ,                                       (2.54)

а осадка на миделе

                                              ,                                                (2.55)

где

                                           ;  .                        (2.56)

Проанализируем, как изменяются начальные метацентрические высоты при приеме (расходовании) малого груза в разные места по высоте судна. Рассматривая формулу (2.41), видим, что при аппликате ЦТ груза, равной

                                           .                                             (2.57)

изменение поперечной метацентрической высоты  как в случае приема груза , так и в случае его расходования . Выражение (2.58) представляет собой уравнение горизонтальной плоскости, расположенной на высоте  над основной. При приеме (расходовании) груза, ЦТ которого окажется на этой горизонтальной плоскости, поперечная метацентрическая высота не изменится. Такая горизонтальная плоскость называется нейтральной (иногда ее называют предельной). Если груз принят ниже нейтральной плоскости, т. е. , то согласно формуле (2.41)  — поперечная метацентрическая высота увеличится. Если же груз принят выше нейтральной плоскости, т. е. , то  — поперечная метацентрическая высота уменьшится. В случае расходования груза получается наоборот — снятие его с плоскости, лежащей ниже нейтральной плоскости, приводит к уменьшению поперечной метацентрической высоты, снятие же груза, расположенного выше нейтральной плоскости — к ее увеличению.

Рассматривая приближенную формулу (2.45), определяющую изменение продольной метацентрической высоты, видим, что для большинства надводных судов прием любого малого груза приводит к уменьшению продольной метацентрической высоты, а любое расходование — к ее увеличению. Это объясняется расположением соответствующей нейтральной плоскости, которая согласно (2.44) приближенно описывается уравнением

                                                   ,                                         (2.58)

и, следовательно, практически всегда лежит ниже основной плоскости. Значит, груз, принятый или израсходованный в любом месте на судне, оказывается выше нейтральной плоскости, что должно приводить к уменьшению метацентрической высоты в случае приема и к ее увеличению в случае расходования груза.

Посмотрим, как изменяется при приеме или расходовании груза в разных местах по высоте коэффициент поперечной остойчивости. Приравнивая нулю второй член правой части (2.47), определяющий это изменение, получим аппликату ЦТ груза

                                                ,                                              (2.59)

прием или расходование которого не вызовет изменения коэффициента остойчивости. Прием груза выше плоскости  приведет к уменьшению коэффициента остойчивости, прием ниже — к его увеличению. Сопоставив (2.59) и (2.57), видим, что нейтральная плоскость для коэффициента остойчивости располагается выше на величину h ₀, чем нейтральная плоскость для поперечной метацентрической высоты. Следовательно, говоря о нейтральной плоскости, необходимо указывать, об изменении какой из характеристик остойчивости при приеме груза идет речь: метацентрической высоты или коэффициента поперечной остойчивости, определяющего восстанавливающую способность судна при крене. Поскольку коэффициент продольной остойчивости для большинства надводных судов в результате приема или расходования малого груза согласно (2.54) фактически не изменяется, вопрос о различии нейтральных плоскостей для этого коэффициента и продольной метацентрической высоты практического значения не имеет.

Прием и расходование относительно большого груза. Расчет изменения посадки и остойчивости при приеме или расходовании большого груза (превышающего 5 - 10% от водоизмещения) в первом приближении проводится с помощью метацентрической диаграммы и метацентрических формул остой-чивости.

Как и в случае приема малого груза, операцию приема большого груза условно разбиваем на две части. Вначале считаем, что груз принят таким образом, что не возникает ни крена, ни дифферента. Это будет иметь место, если ЦТ принятого груза располагается на одной вертикали с ЦВ дополнительно вошедшего в воду объема толщиной , равной приращению средней осадки. Координаты этого ЦВ следующие:  где  и  — абсциссы ЦТ площадей ватерлиний прямого положения судна до приема груза (осадка T) и после его приема (осадка ). Они легко определяются по кривым элементов теоретического чертежа.

Изменение средней осадки  и характеристик начальной остойчивости находим с помощью метацентрической диаграммы, которая представляет собой совокупность следующих кривых (рис. 2.16): 1 — грузового размера M (T); 2 — аппликат ЦВ z_c (Т); 3 — возвышения поперечного метацентра над основной линией ; 4 — продольного метацентрического радиуса . Откладывая по оси абсцисс водоизмещение М, находим по грузовому размеру исходную осадку Т; откладывая M + m, находим изменение осадки  и среднюю осадку T ₁ после приема груза. В случае расходования груза значение m вычитается из M и средняя осадка уменьшится. Исходное значение поперечной метацентрической высоты h ₀ определяем, откладывая на горизонтальной прямой, отвечающей осадке T, в масштабе, принятом для z_m, значение аппликаты ЦТ z_g. Разность отрезков z_m и z_g даст . Снимая с диаграммы значения z_c и R ₀ для осадки T, исходную продольную метацентрическую высоту вычисляем по формуле .  

 

 

Рис. 2.16. Метацентрическая диаграмма

 

Чтобы найти метацентрические высоты после приема груза, рассчитываем измененную аппликату z_{g 1} ЦТ судна. Используя теорему о статических моментах, имеем

,

откуда

                                             .                                  (2.60)

Откладывая на горизонтальной прямой, отвечающей осадке T ₁, в масштабе z_m вычисленное значение z_{g 1}, поперечную метацентрическую высоту получаем как разность: . Сняв с диаграммы для осадки T ₁ значения z _{с 1} и R ₁ продольную метацентрическую высоту после приема груза рассчитываем по формуле .

Переходим ко второй части операции — переносу груза в горизонтальной плоскости в заданную точку с координатами x_p и y_p. Поперечное перемещение груза будет равно l_y = y_p, а продольное - l_z = x_p — x_cp,. В первом приближении углы крена и дифферента можно определить по формулам (2.36), которые в данном случае примут вид

     ;

                                            .                          (2.61)

Эти формулы можно несколько уточнить, если возникающие при переносе большого груза углы крена и дифферента считать конечными и плечи кренящего и дифферентующего моментов определять с учетом их изменения пропорционально  и ‚ а восстанавливающие моменты рассчитывать по метацентрическим формулам остойчивости, в которые вместо углов  и  входят их синусы. Тогда условия равновесия примут вид

;

,

откуда для углов крена и дифферента получаем

                                     ;       .        (2.62)

Формулы (2.62) дают значения только двух параметров: углов  и , определяющих положение наклонной ватерлинии равновесия. Третьим параметром является осадка на миделе

                                                           ,                                   (2.63)

вычисленная в предположении, что наклонение судна на угол  происходит относительно центральной оси, лежащей в плоскости ватерлинии прямого положения, отвечающего осадке T ₁. Если найденные углы  и  достаточно малы, то можно ограничиться первым приближением. В практических расчетах обычно на нем и останавливаются.