Кривая водоизмещения и грузовой размер. Грузовая шкала

Для определения осадки по водоизмещению или, наоборот, водо­измещения по осадке используют кривую водоизмещения V (z). Чтобы ее построить, необходимо вычислить интеграл с переменным верхним пределом:

                                       ,

где х_н и х_к — абсциссы точек пересечения ватерлиний с линиями форштевня и ахтерштевня соответственно при осадке z.

Вид кривой V (z) представлен на рис. 1.15, где также изображены кривые V _в (z) и М (z) = ρ V _в (z). Кривая V _в (z) характеризует объем­ное водоизмещение с учетом выступающих частей (обшивки, выкру­жек гребных валов, дейдвудных труб, килей и т. п., определение их объемов см. п. 1.11), а М (z) — водоизмещение с учетом плотности воды (масса).

Кривая М (z) называется грузовым размером. Плотность воды за­висит от района плавания, а также от температуры воды (т. е. от се­зона), поэтому иногда строят ряд кривых М (z) для различных ρ.

Рассмотрим некоторые свойства кривой водоизмещения.

1. Из равенства (1.32) следует, что . Эта производная численно равна тангенсу угла наклона ε  касательной СВ к кривой во­доизмещения, т. е. tg ε  = АС / АВ = S. Так как АС = V, получим АВ = AC / S = V / S. С учетом того, что АО = Т, отношение АВ / АО будет равно коэффициенту вертикальной полноты. Действительно АВ / АО = V / (ST) = χ.

2. Площадь криволинейного Δ OCD под кривой водоизмещения представляет собой статический момент водоизмещения относительно ОП в соответствующем масштабе:

                                              ,

т. е.

                                            .                               (1.46)

3. Площадь криволинейного Δ АСО над кривой водоизмещения равна стати-ческому моменту водоизмещения относительно плоскости ватерлинии в соответ-ствующем масштабе:

               .    (1.47)

Как мы отметили в начале настоящего параграфа, между V (z) и S (z)  су-ществует интегральная связь, поэтому поведение S (z) как производной, во многом определяет поведение V (z).                                                                                          

Большинство судов имеет площадь нулевой ватерлинии, либо рав­ную нулю, либо очень малую (т.е. при V = 0 dV / dz → 0), поэтому кривая водоизмещения вблизи начала координат идет почти верти­кально, а затем постепенно отходит от вертикальной оси. На участке, где судно имеет вертикальные борта, S практически не зависит от осадки, и кривая водоизмещения становится наклонной прямой ли­нией.

В последние годы появились суда с подповерхностными корпусами (трисеки, плавучие буровые установки и т. д.). Для таких судов значение z_c может быть гораздо меньше половины осадки (рис. 1.24).

 

 

Рис. 1.15. Кривая водоизмещения и грузовой размер для обычного судна

 

Рис. 1.16. Строевая по ватерлиниям и кривая водоизмещения для судна с                                                                                            резким изменением формы

     

Зависимость М (z) можно пред­ставить не в виде кривой, а в виде грузовой шкалы (рис. 1.17). По­строение ее производят следующим образом: в произвольном масштабе строят равномерную шкалу осадок, а рядом - шкалу соответствую­щих этим осадкам водоизмещений (масс). Так как грузовой размер - кривая линия, грузовая шкала будет неравномерной. На грузовой шкале дополнительно наносят шкалы дедвейта, высоты надводного борта, числа тонн на 1 см осадки. Все суда транспортного флота снабжаются грузовой шкалой, так как по ней удобно проводить контроль загрузки при грузовых операциях.

 

 

Рис. 1.17. Грузовая шкала

 

Элементы площади ватерлинии

Чтобы определить V, х_с , z_с ,необходимо знать площади ватер­линий S и абсциссы х_f   центров тяжести этих площадей. Для расчета остойчивости следует вычислить моменты инерции площадей ватерлиний относи­тельно координатных осей Ох, Оу и оси ff, проходящей через центр тяжести пло­щади ватерлинии.

Вначале найдем элементы площади ватерлинии для судна, сидя­щего прямо и на ровный киль. Выделим элементарную площадь, (рис. 1.18) длиной dx и шириной 2у: dS = 2 ydx, тогда

                                                   .                                            (1.48)

                         

 

Рис. 1.18. К определению элементов площади симметричной ватерлинии

 

Абсцисса ЦТ площади ватерлинии равна

                                                х _f = M_y / S,                                               (1.49)

где M_y — статический момент площади ватерлинии относительно оси Оу. Для определения М_у выпишем сначала выражение для ста­тического момента элементарной площади dS:

                                             dM_y = xdS = x 2 ydx,

откуда

                                       .                                         (1.50)

Получим формулы для определения осевых моментов инерции площади ватерлинии относительно главных центральных осей, од­ной из которых является ось Ох (в силу симметрии ватерлинии отно­сительно Ох), другой — ось ff, параллельная оси Оу и проходящая через точку F — центр тяжести площади ватерлинии.

Найдем момент инерции dI_x элементарной площади dS,для чего воспользуемся известной из теоретической механики формулой для момента инерции площади прямоугольника относительно главной центральной оси: , где b = dx,   h = 2 y, т. e.

                                                 ,

тогда

                                                 .                                         (1.51)

  Момент инерции площади ватерлинии S относительно оси равен

                                                       ,                              (1.52)
где   Sx ² _f — переносный момент инерции;

1_у - момент инерции площади ватерлинии относительно оси Оу, определенный по формуле

                                                  ,        (1.53)                                                                        так как элементарный момент инерции площади dS равен  .  

В процессе эксплуатации судно может плавать с начальным кре­ном, когда ватерлиния несимметрична относительно ДП. Чтобы рас­считать для данного случая площадь, статические моменты, моменты инерции и другие элементы, надо несколько изменить формулы (1.36)— (1.43). С этой целью введем правые у_п и левые у_л ординаты (рис. 1.19).

Согласно рис. 1.19 выражение для площади элемента с учетом того, что у_л   отрицательна, можно записать в виде dS = y_n dx — у_л dx =(у_п - у_л) dx, а пло-щадь ватерлинии как

                                              .                                             (1.54)

 

 

 

Рис. 1.19. К определению элементов площади несимметричной ватерлинии

 

Аналогично для статического момента площади S относительно оси Оу получим

                                                .                                (1.55)

Тогда

                                      .                (1.56)

Для несимметричной ватерлинии статический момент площади относительно оси Ох не равен нулю. Статический момент для правой элементарной площадки равен

                                                        ,

для левой –

                                                     ,

 

суммарный -

                                                       .

Тогда формула для полного статического момента запишется в виде

                                                 .                           (1.57)

Центр тяжести F площади ватерлинии будет находиться от ДП на расстоянии

                                       .             (1.58)

Для моментов инерции элементарной  площадки можно записать следующие выражения:

                            ;           .

Следовательно, моменты инерции относительно осей координат бу­дут равны

                                               ;                           (1.59)

                                                .                         (1.60)

Но в дальнейших расчетах нам потребуются моменты инерции относительно осей, проходящих через ЦТ F площади ватерлинии. Они определяются с учетом соответствующих переносных моментов инерции по формулам

                                                   ;

                                               .                                       (1.61)

Формулы (1.54) - (1.61) имеют более общий характер, чем соответствующие формулы, полученные для симметричного судна. Для него у_п = - у_л ивыражения (1.54) - (1.61) переходят в (1.46) - (1.53).

Формула (1.57) позволяет вычислить также статический момент погруженного объема М _xz несимметричного судна относительно ДП, а затем и ординату ЦВ  у_с. Статический момент может быть представлен как интегральная сумма статических моментов элементарных объемов

                                                     ,

или с учетом (1.57)

                                               .

Ордината ЦВ

                               .         (1.62)

Необходимо отметить, что использование формул (1.54) - (1.62) предполагает незначительную несимметрию относительно ДП, поэтому можно пре-небречь центробежным моментом инерции, т.е. I _xy 0.

При вычислениях элементов площади ватерлиний многокорпусных плавучих объектов (плавучие буровые установки, трисеки и т.д.) используются два основных метода, применение каждого из которых зависит от особенностей формы площадок, составляющих ватерлинию.

Если ватерлиния состоит из площадок сложной формы, в том числе и характерной для ватерлиний обычных судов (например, рис. 1.20), можно использовать подход, продемонстрированный при выводе формул (1.54) - (1.62). Тогда получим:

                                  S = ;                   (1.63)

                                       M_x =  ;                 (1.64)

 

                                   M_y =                         (1.65)

                                  I _x = ;           (1.66)

                                         I_y = .               (1.67)

Величины x_f , y_f , I _xf и I_yf определяются по формулам (1.56), (1.58) и (1.61).

При большом числе корпусов формулы (1.63) - (1.67) можно обобщить.     

Тогда получим:

                          S = ;                          (1.68)

                 M_x = ;             (1.69)

                 M_y = ;             (1.70)

                      I_x = ;                   (1.71)

                   I_y = .        (1.72)

Здесь m - число правых ординат, k – текущий номер правой ординаты, n - число левых ординат, l – текущий номер левой ординаты. Величины x_f , y_f , I_xf   и I_yf определяются по формулам (1.56), (1.58) и (1.61).

 

 

Рис. 1.20. К определению элементов площади ватерлинии, состоящей из

площадок сложной формы

                                        

Если же ватерлиния состоит из площадок простой формы (круг, эллипс, прямоугольник и т.д.), для которых можно заранее рассчитать характеристики площади относительно собственных центральных осей (s_k - площадь, i_xk - момент инерции площади относительно собственной центральной оси O_k ^¢ х_k ¢, параллельной главной оси Ox; i_yk - момент инерции площади относительно собственной центральной оси O_k ¢ у_k ¢, параллельной главной центральной оси Oy (см. рис. 1.21), то получатся следующие формулы:

S = ; I_x = ;  I_y = ;                                                          

                      M_y  = ;          M_x = ,                      (1.73)       

где n - число площадок, составляющих площадь ватерлинии.

    Здесь также предполагается, что центробежный момент инерции I_xy = 0.

    Величины x_f , y_f , I_xf , I_yf определяются по формулам (1.56), (1.58) и (1.61).

 

 

Рис. 1.21. К определению элементов площади ватерлинии, состоящей из

площадок простой формы