Момент количества движения твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции данного тела относительно той же оси на угловую скорость.

Из основного закона динамики вращательного движения:

    или

Таким образом                                                           (10)

Формула (10) называется основным законом динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы материальных точек равна моменту результирующих сил.

Если на тело не действуют внешние силы, то момент внешней силы 0, а момент импульса есть величина постоянная.

,                        (11)   

 Таким образом, (11) закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе момент импульса сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Примеры.

ЗАДАЧА

Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. В точке А прикладывают одну из сил

 ( ), лежащих в плоскости диска. Верным для моментов этих сил относительно рассматриваемой оси является соотношение …

ЗАДАЧА

Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. К нему прикладывают одну из сил

 ( ), лежащих в плоскости диска и равных по модулю. Верным для угловых ускорений диска является соотношение…

1. ε ₃> ε ₂>ε₁, ε ₄= 0

2. ε ₁> ε ₂> ε ₃, ε ₄= 0

3. ε ₁<ε ₂< ε ₃< ε ₄  

4. ε ₁= ε ₂= ε ₃, ε ₄= 0

ЗАДАЧА

Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и кольцо; причем массы m и радиусы R их оснований одинаковы. Верным для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение …

  1)      2)      3)      4)

Задача 1. Паук ползёт по ободу колёсика малой массы, которое может вращаться без трения вокруг неподвижной оси. Сохраняется ли момент импульса системы «паук – колёсико» относительно оси вращения, если ось колёсика закреплена: а) вертикально; б) горизонтально?

РЕШЕНИЕ:

1. При вертикальном закреплении оси вращения z сила тяжести паука всё время перпендикулярна вектору его линейной скорости, т.е. момент сил в этом случае равен нулю =0, Момент импульса в этом случае сохраняется.

2. При горизонтальном расположении оси вращения момент силы тяжести паука относительно оси вращения не остаётся постоянным, он изменяется, принимая максимальную величину, при равенстве плеча радиусу колёсика. В этом случае момент импульса не сохраняется. Даже если паук не будет перемещаться относительно колёсика, т.е. его собственный импульс будет равен нулю, то колёсико придёт в движение.

Задача 2. Человек стоит на скамье Жуковского Н.Е. (круглая, горизонтальная, вращающаяся вокруг вертикальной оси, платформа) и ловит рукой, летящий горизонтально со скоростью v = 20 м/с, мяч массой m =0,4 кг. Полёт мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от оси вращения скамьи. Определите, с какой угловой скоростью станет вращаться скамья с человеком, если суммарный момент инерции скамьи и человека относительно оси вращения известен Jz = 6 кг⋅м².

РЕШЕНИЕ: Для системы «человек – скамья Жуковского – мяч» справедлив закон сохранения импульса т.к. относительно оси вращения z сумма моментов действующих внешних сил равна нулю. Момент импульса летящего мяча должен быть равен моменту импульса скамьи, человека с пойманным мячом

Задача 3. На краю горизонтальной арены, имеющей форму диска радиусом R = 2 м и массой m₁ = 240 кг, стоит воин маcсой m₂ = 80 кг. Арена может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей

через её центр. Пренебрегая сопротивлением, определите, с какой угловой скоростью будет двигаться арена, если воин побежит по краю платформы со скоростью v = 10 м/с относительно платформы.

РЕШЕНИЕ:

1. В данном случае относительно оси вращения для системы «арена – воин» будет сохраняться момент импульса, поэтому определим вначале моменты инерции воина и платформы с воином,

которого, кстати, целесообразно принять за материальную точку,

2. Запишем далее закон сохранения момента импульса

       

ЛЕКЦИЯ № 7