Специальная теория относительности.

 

В классической физике до появления теории относительности (1905 г.), предполагалось, что любой физический процесс, использо­ванный (как «эталонный») для измерения времени, выявляет одно и то же течение «мирового» или абсолютного времени. Предполагалось также, что течение времени, измеренное при помощи любых часов, не зависит от того, покоятся или движутся эти часы относительно данной системы отсчета. А. Эйнштейн прежде всего указал на недостаточную обоснован­ность этих предположений и на необходимость предварительного вы­бора строго определенного (однозначного) способа измерения времени, пригодного (без изменений) для всех условий, в которых произво­дятся эти измерения. Для того чтобы более отчетливо изложить его физические идеи, рассмотрим подробнее способы измерения длин, расстояний и времени.

Допустим, что нам необходимо измерить расстояние между точ­ками А и В, отмеченными на каком-нибудь твердом предмете. Измере­ния будем относить к системе отсчета S, связанной с поверхностью Земли. Вначале предположим, что предмет покоится относительно Земли. Для производства измерения необходимо прежде всего выбрать эталон длины (например, металлическая линейка), а затем указать, какие операции необходимо произвести с этим эталоном, чтобы полу­чить результат измерения (перекладывание эталона вдоль измеряемой длины). Если эталоном является длина световой волны, то необходимо указать, каким образом должно быть произведено сравнение измеряе­мой длины с длиной световой волны; для этой цели, очевидно, понадо­бятся соответствующие приборы, например — интерферометры.

Однако каждый «способ измерения» должен содержать в себе ука­зание о том, как следует измерять данную физическую величину во всех условиях, в которых приходится производить измерение. В част­ности, приходится измерять размеры не только покоящихся (относи­тельно системы отсчета), но и движущихся тел. В этой весьма важной части «способа измерения» возможны два приема:

1) можно каждый раз сообщить измерительному прибору (напри­мер, эталону длины или интерферометру) такие же скорости, какие имеет измеряемый предмет. В этом случае измерительный прибор в процессе измерений всегда покоится относительно предмета, но дви­жется относительно системы отсчета. Нам необходимо знать, не изме­няется ли эталон длины вследствие своего движения и не зависят ли результаты измерения от скорости этого движения;

2) можно отметить те точки A' и B' системы отсчета, в которых одновременно находятся точки А и В движущегося предмета, и затем определить расстояние между А' и В'. В этом случае измерительный прибор в процессе его использования всегда покоится относительно системы отсчета. Это удобно, но оно связано с необходимостью до­полнительно измерять время, так как одновременность совпадения точек А и А', В и В' должна быть отмечена по часам. Поэтому, если имеется однозначный способ измерения времени (а следовательно, способ установления одновременности совпадений точек А и А', В и В'), то второй прием будет иметь преимущество перед пер­вым.

Заметим, что оба приема не применимы, если необходимо измерять расстояние между двумя точками пространства, например, атомного или космического масштаба. Расстояние, не фиксированное твердыми телами, не может быть измерено эталонными линейками. Поэтому это расстояние либо вообще не может быть основной величиной (т. е. величиной, для которой выбран эталон), либо же для него должен быть указан новый способ измерения, который необходимо отдельно про­анализировать, чтобы выявить все содержащие в нем предположения.

Рассмотрим измерение времени; для этого необходимо выбрать часы, т. е. физические системы, в которых происходит какой-нибудь периодический процесс. Результатом измерения времени в данном ме­сте является подсчет числа возвращений часов и одно и то же фи­ксируемое состояние. Для измерения времени в различных местах возможны два приема:

1) можно изготовить некоторое множество совершенно одинаковых часов, отрегулировать их ход в определенном месте (и при определен­ной ориентировке их осей) и затем расставить их в интересующих нас местах, где должно производиться измерение времени. При этом необходимо знать, не изменяется ли ход часов при их переносе и ра­ботают ли они синхронно в местах назначения. Вполне возможно, что, например, в различных местах поля тяготения Земли часы имеют различный ход;

2) можно предварительно расставить эти часы и затем уже согла­совать их ход между собой при помощи каких-нибудь «сигналов вре­мени» — световых вспышек и т. д. В этом случае необходимо заранее знать законы распространения сигналов в данной системе отсчета.

Для измерения времени в движущихся физических системах можно, опять-таки, либо пользоваться часами, которые движутся вместе с системой и, следовательно, неподвижны относительно нее (в этом случае нужно знать, как зависит ход часов от скорости их движения); либо же пользоваться «сигналами времени» (в этом случае необхо­димо знать законы распространения этих сигналов относительно лю­бой физической системы, в которой производится измерение времени). Нет уверенности в том, что результаты измерения времени при по­мощи всех этих способов будут совпадать.

Таким образом, при рассмотрении способов измерения физических величин, в частности — длины и времени, обнаруживается следую­щая проблема: при производстве измерений необходимо заранее знать, как изменяются измерительные приборы и, в частности, эталоны фи­зических величин (линейка, часы и т. п.) в процессе измерений. Сами результаты измерений — число перекладываний линейки или под­счет числа колебаний в часах и т. д. — не могут решить этой проб­лемы.

Можно было бы выяснить поведение эталонов в различных условиях их применения, если были бы известны необходимые для этого законы физики, но они могут быть установлены только после производства и обработки измерений; заранее они не могут быть известны. Особен­но отчетливо выявляется возникающее здесь затруднение при изме­рении времени при помощи «сигналов», например, световых вспышек. Для измерения времени, прошедшего с момента выхода сигнала из одной точки до момента прихода сигнала в другую точку, должны быть заранее известны законы распространения света, но эти законы могут быть получены только после экспериментального изучения распространения света, для чего способ измерения времени уже дол­жен быть выбран.

Очевидно, указанную выше проблему можно разрешить, если удастся найти такие законы физики, установление которых не требует производства измерений. Тогда способы измерения физических ве­личин могли быть основаны на таких законах; остальные законы физики получатся в результате обработки измерений. Таким (не за­висящим от способов измерения физических величин) законом физики является следующий результат:

движение физических систем относитель­но пространства («мирового эфира») не обнаружи­вается.

Такого рода движение являлось бы абсолютным движением.

Обсудим это подробнее.

Допустим, что пассажир смотрит из окна своего поезда па проходящий мимо него другой поезд. Если при этом поезд движется равномерно и в поле зрения нет никаких ориентиров, то пассажиру не удастся установить, что же в действительности движется: его собственный или тот, другой поезд, а может быть, оба поезда. Эго знакомый всем опыт. Относительную ско­рость двух поездов можно измерить легко, но, чтобы определить то, что мы называем истинной скоростью поезда, необходимо хотя бы мельком взглянуть на землю, которая послужит системой отсчета для из­мерения скорости.

Теперь предположим, что два воздушных шара движутся друг относительно друга над облаками. На­блюдателю на одном из шаров будет казаться, что сам он стоит на месте, а движется другой шар. Полу­чив данные наблюдений с Земли, он сможет вычис­лить лишь свою скорость по отношению к Земле. Аст­роном мог бы продолжить эту работу, сообщив ему скорость данной точки Земли относительно Солнца, а затем скорость Солнца по отношению одной из «не­подвижных звезд». Однако и это все не поможет наблюдателю определить его действительную, или аб­солютную, скорость. Есть ли основание считать какие-либо звезды неподвижными? Ведь известно, что звез­ды также движутся друг относительно друга. Какой смысл вообще имеет в действительности слово «непо­движный»? Есть ли что-либо во Вселенной, что можно было бы считать неподвижным? Ученым не по душе представление о том, что все измерения, относящиеся к движению, должны быть относительными. Это как бы свидетельствует о том, что сооружение, олицетворяю­щее механику Вселенной, выстроено на зыбком фунда­менте. Поэтому в тот момент, когда физикам потребо­валась среда, заполняющая все пространство, на сце­не появился эфир, и не только как действующее лицо в теории света и электричества, по и как стандартная система отсчета для измерения абсолютной скорости. Ученые же приступили к измерению скорости Земли относительно эфира. В 1887 г. Майкельсон и Морли поставили классический опыт, который имел отношение к этой проблеме и который можно взять в качестве исходного пункта для изложения специальной теории относительности Эйнштейна. Идею этого опыта легко уяснить на следующей аналогии.

Пусть скорость воды в реке с прямолинейными па­раллельными берегами, отстоящими друг от друга на 90 м, составляет 4 м/сек. Двое гребцов отправ­ляются из пункта А на одном берегу, причем один Т направляется поперек реки к противоположному берегу в пункт В, а другой L, кпункту С, расположен­ному на 90 м ниже по течению, а затем обратно в А. Каждый гребет со скоростью 5 м/сек по отношению воды. Сравните время, затраченное каждым из них.

Итак, гребец L, чтобы попасть в пункт В, должен направить свою лодку вверх по течению вдоль ли­нии АР, причем если АР = 5 м (путь, который лодка проходит относительно воды за 1 сек), то его снесет на 4 м вниз по течению из Р в Q (расстояние, на ко­торое сносит течение в 1 сек). При этом точка Q лежит на прямой АВ, а угол AQP прямой. По теореме Пифагора (AQ)² + 4² = 5², откуда (AQ)² = 25—16 = 9, а AQ = 3 м. Таким образом, лодка ежесекундно проходит вдоль А В расстояние 3 м, и, чтобы попасть из А в В, гребцу придется затратить 90/3=30 сек.

Аналогично на обратный путь из В в А потребуется еще 30 сек, так что весь путь в оба конца займет 60 сек.

Гребец L, плывя к пункту С, движется относительно воды со скоростью 5 м/сск, течение сносит его ежесекундно еще на 4 м. Таким образом, он делает ежесекундно 9 м. Время, которое потребуется для того, чтобы попасть из пункта А в пункт С, равно 90/9=10 сек. Однако, возвращаясь из С против течения, гребец будет делать всего 5 - 4= 1 м/сек. Следовательно, из С в А он будет плыть 90/1=90 сек, а полное время вниз и вверх по течению составит 10 + 90 = = 100 сек. Отношение времени, которое потребуется гребцу L, ко времени, которое затратит гребец Т, равно 100/60 = 5/3.

Таким образом, плавание вверх и вниз по течению связано с затратой большего времени, нежели плавание на такое же расстояние поперек течения. Разбор этого примера показывает также, что если известно отношение промежутков времени, занимаемых поездкой на равное расстояние в двух направлениях, то это позволяет вычислить скорость течения реки.

Из опыта известно, что свет всегда распространяется в эфире с постоянной скоростью 300000 км/сек. Предположим, что в определенный момент Земля движется в эфире скоростью и км/сек в направлении от С к А. С точки зрения земного наблюдателя, эфир проносится мимо точки А в направлении от А к С со скоростью и км/сек. Допустим, что к концам двух жестких перпендикулярных друг другу стержней АС и АВ прикреплены зеркала, обращенны е к точке А. В один и тот же момент времени из А посылаются два световых сигнала вдоль отрезков АС и АВ. Эти сигналы попадают на зеркала и отражаются обратно к А. Распространение световых сигналов аналогично движению лодок в приведенном выше примере. Так как распространение света представляет собой волновой процесс в эфире, то каждый сигнал распространяется со скоростью 300000 км/сек относительно эфира, подобно тому как каждая из лодок движется со скоростью 5 м/сек относительно воды. Кроме того, эфир перемещается в направлении от А к С со скоростью и км/сек, аналогично воде, которая течет со скоростью 4 м/сек.

Итак, чтобы проплыть любое заданное расстояние вверх и вниз по течению, требуется больше времени, чем на то же расстояние поперек течения и обратно. Следовательно, сигнал из точки С должен вернуться в А позже сигнала, посланного в точку В. Если затем вычислить отношение промежутков времени, затрачен­ного обоими сигналами, то это позволит оцепить ско­рость эфира и равную но величине и противополож­ную по направлению скорость Земли в эфире.

Опыт Майкельсона — Морли должен был измерить отношение этих промежутков времени. Детальное опи­сание использованного в этом опыте прибора можно найти в любом учебнике по оптике. К удивлению экспериментаторов, в этом состяза­нии не оказалось победителя: оба сигнала вернулись в А одновре­менно.

Так как Земли движется по своей орбите вокруг Солнца со скоростью приблизительно 30 км/сек, то в моменты времени, отстоящие друг от друга на 6 месяцев, разница в скоростях относительно эфира со­ставит 60 км/сек. Следовательно, если бы Земля ока­залась в один из моментов времени покоящейся отно­сительно эфира, то этого уже не могло случиться пол­года спустя. Однако повторение опыта через 6 меся­цев по-прежнему не дало никакого результата.

Чтобы исключить возможные ошибки, связанные с различием длин плеч прибора АВ и АС, опыт был повторен с поворотом плеч так, что направление АВ совпало с предполагаемым направлением потока, а направление АС оказалось перпендикулярным ему. Но и в этом случае не удалось обнаружить никакой разницы. В дальнейшем в качестве АВ были испро­бованы различные направления, и снова безрезуль­татно. Позднее эксперимент повторялся с усовершен­ствованной методикой, позволявшей. малые скорости до 0.2 км/сек. И в этом случае был по­лучен результат, противоречивший выводам теории. Стало ясно, что в теории что-то неблагополучно. Уче­ные оказались вынужденными искать объяснение или модификацию теории, которые позволили бы согласо­вать расчеты с результатами наблюдений.

Вернемся к примеру с лодками, которые аналогич­ны световым сигналам в опыте Майкельсона — Морли. В этом случае обе лодки отправятся одновременно и, ко всеобщему изумлению, одновременно возвратятся. Как можно совместить подобный результат с выводами, получен­ными с помощью выкладок? Первое предположение заключается в том, что L гребет быстрее (относительно воды), нежели T; одна­ко его следует отбросить, ибо этой скорости в опыте Майкельсона — Морли соответствует скорость распро­странения свела в эфире, которая, как мы знаем, постоянна и равна 300 000 км/сек.

Следующее предположение заключается в неравенстве путей: длина АС может оказаться меньше длины АВ из-за небрежности измерения. Однако оно несостоятельно, так как в опыте Майкельсона — Морли перемена местами жестких плеч АС и АВ по-прежнему не приводила к появлению разницы во времени.

Затем Фитцджеральд предположил, что неравенство плеч АВ и АС связано не с ошибкой в измерении расстояния, а с автоматическим сокращением длины стержня при его перемещении из положения, перпендикулярного течению, в положение вдоль течения. Подобное сокращение нельзя обнаружить с помощью измерений, поскольку линейка, которой измеряется длина плеча АС, сокращается в той же самой пропор­ции, что и плечо.

Это гипотетическое явление носит название «фитцджеральдово сокращение». Величина его, конечно, за­висит от скорости течения. Если скорость течения со­ставляет 4 м/сек, а скорость лодки 5 м/сек, то коэф­фициент сжатия оказывается равным . Из этой записи видно, какой будет величина коэффициента сжатия в других случаях, Иное объяснение было предложено и 1905 г. Эйн­штейном.

Эйнштейн выдвинул два общих принципа, или аксиомы:

1. Равномерное движение через эфир не поддается обнаружению.

2. При любом волновом процессе скорость распро­странения полны не зависит от скорости источника.

Остановимся на смысле этих аксиом.

Измерить скорость одного тела по отношению дру­гого не представляет труда. Все наши представления о скорости по существу являются представлениями об относительной скорости: речь идет либо о скоростях различных предметов относительно нас самих, либо о нашей собственной скорости по отношении) к чему-либо еще. Например, водитель, глядя на дорогу, по которой он ведет машину, по всей вероятности, оцени­вает свою собственную скорость относительно дороги. Но бессмысленно ставить вопрос о скорости относи­тельно эфира, ибо нет никакой возможности отличить один участок эфира от другого. Можно опознать ве­щество, находящееся в эфире, но сам эфир не под­дается отождествлению. И поскольку эфир, образно выражаясь, нельзя разметить верстовыми столбами, то утверждение, что тело движется через эфир, не со­держит никакой информации о движении, или, иными словами, не имеет смысла по отношению эфира.

Смысл второй аксиомы, по-видимому, более про­зрачен. Представим себе паровоз, идущий по прямо­линейному участку пути с постоянной скоростью в со­вершенно тихую погоду. Если машинист бросит вперед камень, то человек, стоящий у железнодорожного по­лотна, увидит, что скорость камня равна скорости, ко­торую ему сообщил машинист, плюс скорость паро­воза. Чем быстрей идет поезд, тем быстрей будет дви­гаться камень, хотя усилие машиниста останется прежним. Таким образом, скорость камня в воздухе зависит от скорости источника, в данном случае ма­шиниста. Допустим, что паровоз дает гудок, который слы­шен человеку, оставшемуся далеко позади. Мы знаем, что звук распространяется в воздухе в виде волн со скоростью примерно 340 м/сек. Движение звуковой волны не похоже на движение камня: скорость рас­пространения звука в воздухе не зависит от скорости паровоза в момент, когда дается гудок, т. е. не зави­сит от скорости источника. Скорость поезда повлияет на высоту звука, т. е. на музыкальный тон. Однако время, через которое волна достигнет наблюдателя, не зависит от скорости движения паровоза. Если теперь движущееся тело испускает свет, то скорость распро­странения световых волн в эфире никак не будет свя­зана со скоростью тела.

Можно было ожидать, что движение тел относительно «мирового эфира» повлияет на форму и размеры тел, на распределение зарядов в них, на форму эквипотенциальных поверхностей силовых полей (электрических, гравитационных), на форму волновых поверхностей света, испускаемого телами, и т. д. Большая группа экспериментов была поставлена с целью обнаружить влияние орбитального движения Земли на свойства тел или на течение физических процессов.

Напри­мер, расчеты показывали, что при повороте интерферометра Майкельсона должно было наблюдаться заметное смещение интерференционных полос, пропорциональное скорости движения этого прибора вместе с Землей; однако это смещение не было обнаружено. При измерении сопротивления прямолинейного провод­ника (например, при помощи мостика Уитстона) ориентировали его по направлению движения Земли и перпендикулярно к этому направле­нию; ожидаемое изменение сопротивления также не было обнаружено. На основании многочисленных подобных экспериментов было установ­лено, что направление и скорость движения тел относительно «миро­вого эфира» обнаружить невозможно.

Среди других законов физики этот экспериментально установлен­ный результат выделяется тем, что он не связан с производством ка­ких-либо измерений, в которых было бы необходимо употребление эталонов или других измерительных приборов.

Действительно, для того чтобы показать, что движение физичес­ких систем, установленных на Земле, относительно «мирового эфира» обнаружить невозможно, нужно только констатировать отсутствие регистрируемых изменений в экспериментальных установках при их повороте. Например, чтобы отметить отсутствие интерференционного эффекта в приборе Майкельсона при его поворотах, вовсе нет необхо­димости измерять расстояния до зеркал или время распространения света в различных направлениях. Точно так же и в других экспери­ментах фиксируется только отсутствие ожидаемого эффекта при дви­жении измерительной установки относительно «мирового эфира»; никаких измерений производить не приходится, поэтому в предварительном выборе способов измерения физических величин нет необ­ходимости.

Окружающее нас пространство («мировой эфир»} играет исключи­тельную роль в физических явлениях; в нем существуют гравитацион­ные, электрические, магнитные поля, распространяются электромаг­нитные волны, через него осуществляются всевозможные взаимо­действия между телами и т. д. Поэтому, если движение тел относи­тельно «мирового эфира» не обнаруживается, то это означает, что наблюдаемые нами физические явления происходят совершенно одина­ково в системах покоящихся или как угодно движущихся относительно мирового эфира. Из этого утверждения можно сделать вывод, что законы физики должны иметь одинаковый вид по отношению к раз­личным системам отсчета. В частности, если измерение времени производится при помощи «сигналов», то закон распространения этих сиг­налов можно выбрать одинаковым для всех систем отсчета.

Эти результаты были использованы А. Эйнштейном в разработанной им теории относительности. В первой части этой теории — в так на­зываемой специальной теории относительности — утверждается сле­дующее:

1) законы физических явлений имеют одинаковый вид по отноше­нию ко всем инерциальным системам отсчета (принцип относительности);

2) скорость распространения света одинакова по всем направлени­ям для всех инерциальных систем отсчета (принцип постоянства скорости света). Как показал А. Эйнштейн, на этих основных принципах его теории могут быть обоснованы спо­собы измерения всех физических величин. Важнейшая физическая величина, характеризующая все изменения в природе, — время — измеряется при помощи световых сигналов, вследствие чего ско­рость света вошла во все формулы теории относительности.

§ 2. Преобразования Лоренца.

 

Допустим, что один из законов физики, полученный относительно системы отсчета S, имеет вид

f (x, y, z, t...)= 0,

 

а относительно системы отсчета S ' имеет вид

 

. f' (x', y', z', t'...)= 0

 

Согласно принципу относительности, функции f и f ' должны иметь одинаковый вид. Это возможно, если между результатами измерения физических величин относительно S и S ' существуют определенные соотношения. А. Эйнштейн показал, что из двух принципов его теории следует, что координаты движущихся тел и время, измеренные отно­сительно S и S ', связаны между собой преобразованиями Лоренца.

Действительно, возьмем две координатные системы: нештрихованную XYZ (условно неподвижную) и штрихованную X 'Y ' Z' (условно подвижную, рис.), находящиеся в относительном движении. Оси обеих систем возьмем параллельными, постоянную относительную скорость υ системы X 'Y 'Z' относительно системы XYZ направим вдоль оси ОХ и предположим, что в исходный момент времени (t= 0; t' =0) начала координат обеих систем совпадают.

При этих условиях легко показать, что координаты у и г преобразуются очевидным соотношением:

у'=у; z’ = z,

и мы ими заниматься не будем. Рассмотрим, как преобра­зуются координата x: и время t. Возьмем точку, соответ­ствующую началу координат подвижной системы; ее коор­дината х', очевидно, равна нулю:

x’= 0 (1)

Координата х этой же точки (в неподвижной системе) в момент времени t (отсчитанный в неподвижной системе) равна:

x=υt

Это равенство перепишем в виде:

x - υt = 0 (2)

 

Сопоставляя равенства (1) и (2), замечаем, что в одной и той же точке пространства обращаются в нуль величины х’ (в штрихованной системе) и x - υt (в нештрихованной), по­этому естественно предположить, что х' и x - υt для любых моментов времени отличаются друг от друга лишь постоян­ным множителем а:

x’ = а(x - υt) (3)

Теперь рассмотрим точку, соответствующую началу коор­динат неподвижной системы; ее координата х в этой системе равна нулю:

x = 0 (4)

В подвижной системе эта же точка в момент времени t’ (отсчитанный в подвижной системе) имеет координату x’, равную:

x’= - υt

откуда для этой точки имеет место равенство:

x’ + υt’ = 0

Сопоставляя последнее равенство с равенством (4), характери­зующим ту же точку в другой системе, положим, как и выше:

х =a (x’ + υt’). (5)

То, что коэффициенты пропорциональности а формул (3) и (5) должны быть одинаковыми, легко показать, основываясь на опытном положении об эквивалентности обеих систем, т. е. на невозможности установить, какая из систем нахо­дится в абсолютном движении.

Для нахождения закона преобразования надо определить коэффициент а. Используем для этого опытный факт, согласно которому скорость светового сигнала, измеренная в обеих системах, даст одно и то же значение с. Пустим световой сигнал в момент совпадения обоих начал координат (этот момент в обеих системах будем считать начальным: t = t’ = 0) в направлении оси ОХ (О'Х'}. В произвольные моменты t(t’) сигналы в обеих системах будут доходить до точек, коор­динаты которых определятся соответственно равенствами:

x=ct; x’=ct’ (6)

Перемножим уравнения (3) и (5) и подставим в получен­ный результат вместо х и х' их значения по (6); после сокра­щения найдем:

c ²= a ²(c ² – υ ²);

для а возьмем положительное значение корня этого уравнения:

Найденное значение а позволяет написать преобразование координат в виде:

;

Отсюда легко найти и преобразование времени. Из второго равенства получаем:

Подставляя х' из первого соотношения, найдем:

Решая это равенство относительно t’, получим:

Аналогичным приемом получим для t:

Объединяя все полученные соотношения, напишем выражение координат и времени в подвижной системе через координаты и время в неподвижной:

y’=y; z’=z; (7)

и выражение координат и времени в неподвижной системе через координаты и время в подвижной:

y=y’; z=z’ (8)

Формулы (7) и (8) выражают преобразование координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой. Преобразования такого вида называются преобразованиями Лоренца. Преобразования Лоренца (7) и (8) переходят в преобра­зования Галилея при стремлении к нулю отношения β = υ/c. Заметим, что штрихованная и нештрихованная системы экви­валентны и преобразование (7) получается из преобразова­ния (8) заменой знака относительной скорости. Преобра­зования Лоренца выведены из опытных положений. Теория относительности обобщает этот вывод и считает, что всякий физический закон должен удовлетворять преобразованием Лоренца. Это означает, что закон природы, выраженный математически в координатах одной системы, должен сохра­нять свой вид при переходе к координатам другой системы по формулам (7) или (8), т. е. должен быть инвариан­тен по отношению к преобразованию Лоренца. Уравнения механики Ньютона, будучи инвариантными по отношению к преобразованию Галилея, не инвариантны по отношению к преобразованию Лоренца. Развитие идей теории относи­тельности привело к изменению уравнений Ньютона в том смысле, что были установлены уравнения механики, инва­риантные по отношению к преобразованию Лоренца и перехо­дящие в уравнения Ньютона в предельном случае бесконечно малого отношения β = υ/c. Проверка следствий новых урав­нений механики на опыте показала правильность этих новых уравнений. Что же касается уравнений электродинамики (ура­внений Максвелла), то они оказались инвариантными относи­тельно преобразований Лоренца. Таким образом, выяснилось, что законы классической физики в области электромагне­тизма удовлетворяют требованиям теории относительности, а в области механики (ньютоновской) справедливы лишь для скоростей υ «c и в общем случае требуют изменений. Обратим внимание на то, что для скоростей υ > с преобразования Лоренца теряют смысл. Это соответствует тому, что тела не могут двигаться со скоростями, превышающими скорость света.

 

§ 2. Следствия из преобразований теории относи­тельности.

 

Рассмотрим наиболее важные следствия преобра­зований Лоренца.

 

а) Длина тел в разных системах.

Преобразова­ния Лоренца показывают, что одно и то же тело имеет раз­ные линейные размеры в системе, в которой оно покоится, и в системе, находящейся в движении по отношению к этому телу. Предположим, что некоторый стержень, покоящийся в системе ХУZ, расположен в направлении оси ОХ и имеет в этой системе длину l (равную разности координат его конца и начала):

l=x ₂ – x ₁ .

Какова длина этого стержня в штрихованной коорди­натной системе, движущейся относительно стержня со скоро­стью υ в направлении его длины?

Для того чтобы найти эту длину l, нужно ее выразить как разность координат конца и начала стержня в штрихо­ванной системе х ₂ ’ и x ₁ ’, при этом, пользуясь преобразова­ниями Лоренца, надо координаты х ₂ ’ и x ₁ ’ взять в один и тот же момент времени, определенный в штрихованной, системе. Таким образом, связывая х ₂ ’ и x ₁ ’ с x ₂ и x ₁надо брать фор­мулу (8), содержащую время штрихованной системы; полагая это время постоянным, имеем:

;

откуда следует:

x ₂ ’ – x ₁ ’= (x ₂ – x ₁) или l’=l

Стержень в координатной системе, движущейся отно­сительно него, короче, чем в системе, где стержень по­коится: Если бы мы взяли стержень, покоящийся в штрихован­ной системе, длина его была бы l’= x ₂ ’ – x₁’; в нештрихо­ванной системе его длина будет l= x ₂ – x ₁; теперь надо измерения вести в один к тот же момент времени нештрихо­ванной системы l. Пользуясь преобразованиями Лоренца (7), выражаем x ₂ и x ₁через x ₂ ’ и x₁’. Имеем:

x₂ – x₁= (x₂ ‘– x₁ ‘) или l=l’

т. е. снова стержень длиннее в системе, в которой он по­коится. Заметим, что размеры тел в направлении осей ОУ и ОZ одинаковы в обеих системах.

Этот вывод теории относительности заменяет гипотезу о сокращении размеров тел, движущихся относительно эфира. По теории относительности стержень имеет наибольшую длину в той системе, относительно которой он покоится.

 

б) Длительность события в разных системах.

Длительность события также различна в разных координатных системах. Предположим, что в точке А с координатой х в нештрихованной координатной системе ХУZ, происходит некоторое событие, длительность которого равна τ = t₂ – t₁, где t₂ и t₁ моменты времени конца и начала этого события, отсчитанные в координатной системе ХУZ. Какова будет длительность τ ‘= t₂ ‘– t₁’ этого события в штрихованной координат­ной системе Х'У’Z’. Мо­ментам t₁ и t₂, отмеченным в координатной системе ХУZ, соответствуют моменты, t₂’ и t₁’ отмеченные в координатной системе Х'У'Z' для точки А, т. е. для од­ного и того же значения координаты х. Нам, следо­вательно, надо применить формулу преобразования (8), свя­зывающую t’ и t при одном и том же значении х. Таким образом, имеем:

t₁’ = t₁ – xυ/c²; t₂’ = t₂ – xυ/c²

откуда следует

(t’₂ – t’₁) = t₂ – t₁ или τ’ = τ /

Промежуток τ ' будет больше τ.

Можно поставить и обратную задачу. Пусть в штрихо­ванной системе (х’ постоянно) длительность некоего события τ ' = t’₂ – t’₁ . Какова будет длительность этого события в не­штрихованной системе?

Для ответа используем преобразование (8), в котором х' положим постоянным. Тогда получим:

τ = τ’ /

Теперь промежуток τ будет больше τ’. Отсюда полу­чаем следующее заключение: длительность события, про­исходящего в некоторой точке А, меньше по отношению к той координатной системе^ относительно которой точка А покоится.