Тема: Механическое движение. Скорость.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Глава № 1. Кинематика

 

ЛЕКЦИЯ 1, 2

Третий закон Ньютона справедлив не всегда. Вполне строго он выполняется при непосредственном соприкосновении тел, а также при взаимодействии находящихся на некотором расстоянии друг от друга покоящихся тел.

2.4 Закон сохранения импульса

Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими к данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с кото­рыми на данное тело воздействуют остальные тела системы, внешними - силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. В случае, когда внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Рассмотрим систему, состоящую из n точечных частиц. В частности, 1 в виде так:₀й системы можно представить и твердое тело Присвоим частицам номера от 1 до n и обозначим силу, действующую со стороны i-й частицы на j-ю через F_ij. Кроме того, на частицы могут действовать внешние силы. Обозначим результирующую силу, действующую со стороны внешних тел на i-ю частицу, через Ф_i.

Напишем уравнение движения для каждой из частиц системы:  

 

………………………………..

                             (2.13)

 

Сложим почленно все n выписанных уравнений (2.13). Заметим, что в сумму справа войдет, например, такая пара: F₂₁ из первого уравнения и F₁₂ - из второго, Но согласно третьему закону Ньютона:                                   

.                                                      

Поэтому все внутренние силы уничтожаются при суммирова­нии. С другой стороны, после такого суммирования слева будет стоять производная от суммы импульсов всех частиц, т. е. от полного импульса системы

В итоге получаем                                 

                                                     (2.14)

Напомним, что Ф _i - это результирующая внешняя сила, действующая на i-ю частицу системы.

Или              

В незамкнутой системе изменение импульса системы равно импульсу внешней силы.

Импульс системы материальных тел не может быть изменен внутренними силами, а может быть изменен только внешними силами.

Предположим, что векторная сумма внешних сил равна нулю , т.е. система частиц замкнута. В этом случае   и, следовательно, , т. е. в замкнутой системе полный импульс системы частиц сохраняется. Это утверждение называют законом сохранения импульса.

2.5 Цент масс

 

Импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называет­ся воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы.

Найдем ее координаты. Запишем уравнение для изменения импульса материальных точек:

              (2.15)

Здесь мы вначале учли определение импульса одной  час тицы, затем домножили и разделили выражение на полную массу всей системы (при этом величина дроби не изменилась), ввели некоторый вектор Полученное выражение показывает, что полный импульс системы частиц может быть представлен как .  

Преобразуем выражение (2.15) дальше:

 

             (2.16)

Выражение (2.16) - уравнение движения центра масс. Масса сосредоточена в точке с радиусом-вектором

Эта точка и называется центром масс или центром инерции системы частиц. В проекции на ось Х, например,

                          (2.17)

Итак: если всю массу системы частиц (или в частном случае твердого тела) сосредоточить в ее центре масс, то импульс этой воображаемой частицы будет равен полному импульсу системы.

Работа. Мощность

Если на частицу в каждой точке пространства действует определенная сила, то всю эту совокупность сил в пространстве называют силовым по­лем. Силовое поле называется однородным и постоянным, когда силы поля имеют повсюду одинаковую величину и неизменное направление и не зависят от времени.

Изменение механического движения тела происходит в процессе силового взаимодействия этого тела с другими телами. Для количественной характеристики этого процесса в механике вводят понятие работы.

Рассмотрим движение материальной точки в некотором силовом поле . Если под действием силы  материальная точка прошла бесконечно малый путь d , тогда элементарная работа:                     

                          (2.23)

где α - угол между векторами F и dS (рис.).

Работа, совершаемая силой  на конечном пути , равна сумме работ на отдельных бесконечно малых участках пути, эта сумма приводится к интегралу:

                                  (2.24)

 

Вспоминая геометрический смысл интеграла, получаем, что работа А численно равна площади криволинейной фигуры на графике зависимости F_s от S (рис.). В ча­стном случае перемещения частицы по прямо­линейному участку пути под действием посто­янной силы  выражение (2.24) дает хорошо из­вестную со школы формулу

А = FScosα.                                        (2.25)

Если сила и перемещение образуют острый угол (cosα> 0), то работа положительна. В этом случае составляющая Fs силы совпадает по направле­нию с вектором dS. Поэтому силу  называют движущей. Например, тя­желое тело падает вниз; сила тяжести здесь направлена в сторону переме­щения; работа силы тяжести положительна.                                                      

Если угол α тупой (cosα< 0), работа отрицательна. В этом случае Fs и dS противоположны по направлению, поэтому силу  называют силой сопротивления (например, сила трения скольжения).

При α = π/2 работа равна нулю. В этом случае сила лишь искривляет траекторию движущего­ся тела. Таково, например, действие центростремительной силы на матери­альную точку, равномерно движущуюся по окружности.       

Если на тело одновременно действуют несколько сил ₁, ₂,..., _n, то под силой  в выражении (2.23) понимается их равнодействующая (  = ∑ _i), а под углом α - угол, который она составляет с направлением перемещения. Иными словами: работа результирующей силы равна ал­гебраической сумме работ составляющих сил.

В качестве единицы работы в СИ принято, согласно определению (2.25), произведение единицы силы на единицу перемещения, т. е. Н • м. Эта величина называется джоулем (Дж):

Дж = Н∙м.

Практически часто важно знать не только работу, совершенную силами, но и то время, за которое работа произведена. Из двух механизмов, совер­шающих одну и ту же работу, обычно ценнее тот, который совершает эту работу за меньший промежуток времени. Поэтому наряду с работой вводит­ся в рассмотрение величина, называемая мощностью. Мощность N - это работа, производимая в единицу времени.

Если сила действует на движущуюся частицу, то  , а

                                         (2.26)

Размерность мощности в СИ - ватт:

 

Закон сохранения энергии

 

Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной энергией.

Пусть дана изолированная замкнутая система, состоящая из точек массами m ₁, m ₂, … m_n, движущихся со скоростями v ₁, v ₂, … v_n и взаимодействующих между собой.Тогда уравнение движения для каждой точки:

……………………………….

 

Домножим каждое уравнение на , учитывая

 

……………………………….

 

Так как получаем

 

………………..

 

Величину    можно представить как , а  тогда

……………………..

Или

 – сумма - полная кинетическая энергия всех точек

 – полная потенциальная энергия всех точек

                                      (2.36)   

Закон сохранения энергии: Для замкнутой изолированной системы, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия остается постоянной. Она переходит из одного вида в другой.

То, что полная энер­гия остается неизменной демон­стрируется на примере свободного па­дения тела без учета сопротив­ления среды. Этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превра­щения энергии, выражающий и каче­ственную сторону взаимного превраще­ния различных форм движения друг в друга.

 

Гироскоп

Существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения).

Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендику­лярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить сво­бодными осями (они называются глав­ными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного пря­моугольного параллелепипеда прохо­дят через центры противоположных граней (рис.).

Для устойчивости вращения боль­шое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения тела. Так, вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим мо­ментами инерции оказывается устойчи­вым, а вращение около оси со средним моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму па­раллелепипеда, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2.

 Свойство свободных осей сохранять положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью ω около своей оси симметрии, являющей свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подвесе. Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в пространстве. Силами трения в подшипникax всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Так как трение в подшипниках ма­ло, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его под­ставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью ос­новного закона динамики вращательно­го движения.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходи­мо отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращаю­щемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблю­дается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно со­стоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа 0₁0₁ (рис.) поворачивается вокруг прямой 0₃0₃, а не вокруг прямой 0₂ (O ₃ О₃ и F перпендикулярны плоскости чертежа).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент пары сил направлен вдоль прямой 0₂0₂. За время dt момент импульса гироскопа получит приращение (направление  совпадает с направлением  и станет равным . Направление вектора со­впадает с новым направлением оси вра­щения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О₃0₃. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил и велик, изменение момента импульса  гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к измене­нию ориентации оси вращения гирос­копа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Гироскопы применяются в различ­ных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гирос­копов — поддержание заданного на­правления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При вся­ком отклонении от курса вследствие ка­ких-то воздействий (волны, порыва ветра и т.д.) положение оси гироскопа в пространстве сохраняется. Следова­тельно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается от­носительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помо­щью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

 

2. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при вращательном движении

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то говорят, что оно обладает кинетической энергией вращения Т_вр. Получим выражение для этой величины. Предположим, что вращающееся тело, состоит из небольших частиц, каждая из которых имеет мас­су m _i. Если r_i - расстояние по перпендикуляру от оси вращения Oz до любой такой частицы (радиус вращения i-й частицы), то линейная скорость частицы Полная кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий всех составляющих его частиц:

   (1)             

 

Если момент  внешних сил относительно неподвижной оси враще­ния твердого тела отличен от нуля, то угловая скорость ω и кинетическая энергия Твр тела изменяются, т. е. совершается работа. Дифференциал этой работы равен:

Разделим и умножим правую часть на dt:

Учитывая , получим

(2)

Интегрируя выражение (2), получаем формулу для работы по измене­нию угловой скорости тела от начального значения  до конечного значе­ния

(3)

 

Выражение (3) можно интерпретировать и так: работа, совершаемая при вращении тела на угол вокруг неподвижной оси, равна изменению кинетической энергии его вращательного движения.

Мощность N_Bp можно записать в виде:

                                      (3)

 

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости  центра масс, и вращения с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. Но если тело вращается и при этом его центр масс перемещается поступательно (вспомните движение прыгуна в воду в одном из предыдущих примеров), то оно имеет кинетическую энер­гию как поступательного, так и вращательного движений. Полная кинети­ческая энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс и кинетической энергии его вращения относи­тельно центра масс:

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Глава № 1. Кинематика

 

ЛЕКЦИЯ 1, 2

Тема: Механическое движение. Скорость.

1.1 Введение

Физика – это наука о природе. Она возникла из стремления понять и описать окружающий нас мир. Мир наш необычайно сложен и интересен: Солнце, Луна, приливы, отливы, землетрясения, день, ночь, море, облака, горы, ветер, животный и растительный мир. Человек – часть этого мира пытается понять как устроен он. Возможно ли это? Из нашего общего опыта мы знаем, что мир познаваем и что многое известно о физических законах, которые приводят к тому многообразию явлений, которые окружают нас. Физические законы образуются в результате обобщения экспериментальных данных и выражают объективные закономерности, существующие в природе.

Физика – это раздел естествознания, который изучает наиболее общие свойства и формы материи. Материя – это философская категория, изображающая объективную реальность, существующую вне сознания человека, которая отображается, копируется, фотографируется чувствами человека и существует независимо от них.

Известно два вида материи: вещество и поле. К веществу относятся, например, атомы, молекулы, и все построенные из них тела. Второй вид материи образуют электромагнитные, гравитационные поля. Эти виды материи неразрывно связаны друг с другом и могут превращаться друг в друга. Например, электрон и позитрон (представляют собой вещество) могут превращаться в фотоны (т.е. электромагнитное поле).

Механика – раздел физики, изучающий наиболее простое движение материи. Движение материи происходит в пространстве и времени, т.о. пространство и время – формы существования материи.

 

1.2 Механическое движение. Система отсчета. Кинематические уравнения движения

Что такое движение и как его описать? На этот вопрос отвечает кинематика, описывающая движение тел.

Механическое движение – это изменение положения тел или их частей в пространстве с течением времени относительно друг друга. Тело, по отношению к которому рассматривается движение какого-то другого тела, называется тело отсчета.

Движение тел принято разделять на несколь­ко простых видов: поступательное, вращатель­ное и колебательное.

При поступательном движении прямая, соединяющая две произвольные точки тела, перено­сится параллельно себе самой. Для изучения поступательного движения тела достаточно изучить движение какой-либо одной из его то­чек, т. к. все точки тела движутся совершенно одинаково.

 

При вращательном движении тела все его точки описывают окружности в параллельных плоскостях, причем центры этих окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вра­щения.

 

Колебаниями называются движения, повторяю­щиеся во времени, в окрестности некоторого поло­жения равновесия. Например, если мы подтолкнем шарик, висящий на ни­ти, то он будет совершать колебания около своего первоначального отвесного положения.

Изучение поведения тел в механике основано на двух основных моделях тел: материальной точке и абсолютно твердом теле.

Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой.

Тело, конечных размеров называется абсолютно твердым, если в ус­ловиях данной задачи можно пренебречь его деформацией.

Для описания положения материальной точки вводится система координат. Совокупность тела отсчета, системы координат и часов, отсчитывающих время, называется системой отсчета. Число независимых движений, которые может совершать тело, называют числом степеней свободы. Число степени свободы – это число, которое можно задать для описания положения тел системы. Например, материальная точка имеет три степени свободы если она двигается в пространстве: поступательное движение вдоль оси x, y, z; при движении на плоскости достаточно две координатные оси, следовательно в этом случае число степеней свободы равно двум, а при движении вдоль прямой – число степеней свободы равно одному.Абсолютно твердое тело может обладать тремя степенями свободы поступательного движения, тремя степенями свободы вращательного движения, если тело не абсолютно твердое и его части могут смещаться друг относительно друга, то необходимо вводить еще дополнительные три степени свободы колебательного движения.

 Выбор системы отсчета позволяет описать движение рассматривае­мых тел. Координаты – это функции времени:

x (t) = x; y (t) = y; z (t) = z                         (1.1)

Уравнения (1), с помощью которых можно предсказывать положение точки, называется кинематическим уравнениемдвижения тела.

Если указать не только начальное положение точки, но и указать направление движения, то задача упрощается (вместо трех уравнений – получится одно уравнение):

                        (1.2),

где  - радиус вектор, проведенный из начала координат в точку М.

Уравнения (1) и (2) равносильны. Если ввести единичные векторы характеризующие направление осей координат, то положение точки можно выразить через данные вектора.

Свойства векторов:

, ,

Сумма трех векторов: равна радиус-вектору  :

                 (1.3)

Линия, описывающая движение тела, называется траекторией. Длина траектории от точки М₁до точки М₂ – это путь. Путь – это скалярная физическая величина равная сумме длин отрезков траектории. Вектор, соединяющий начальное положение тела с конечным, называется перемещением .

Модуль малого приращения равен длине соответствующей ему дуги траектории:

или

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки.

 

 

1.3 Скорость

Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину – скорость.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории так, что в момент t₁ она находилась в точке М₁, а в момент времени в точке М₂

При движении материальной точки относительно системы отсчета меняется направление перемещения:

Время, потраченное на перемещение : 

Вектором средней скорости называют отношение приращения  радиус-вектора точки за интервал времени Δ t к его величине:

                             (1.4)

Если известно  и, то можно найти перемещение точки:

 

Вектор средней скорости характеризует только быстроту движения материальной точки за минимальный промежуток времени. Направление вектора совпадает с направлением перемещения  . Если в выражении (1.4) перейти к пределу, устремляя  к нулю, то получим выражение для мгновенной скорости:

                                        (1.5)

По мере уменьшения  длина пути  все больше будет приближаться к модулю радиус-вектору  , поэтому модуль мгновенной скорости

                                                                             (1.6)

Если за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным движением. В этом случае пользуются скалярной величиной, называемой средней путевой скоростью. Она равна отношению пройденного пути к интервалу времени, в течение которого был совершен этот путь:

                                   (1.7)

Если численное значение мгновенной скорости остается во время движения точки неизменным, то такое движение называют равномерным.

Длина пути, пройденного точкой за время :

                                                                                    (1.8)

Путь равен площади криволинейной фигуры в случае неравномерного движения и площади прямоугольника, при равномерном движении.

 

1.4 Ускорение.

При движении материальной точки её скорость может непрерывно меняться как по величине (модулю), так и по направлению.

Пусть за время  движущаяся точка перешла из положения А в положение В, и вектор ее скорости изменился на , тогда отношение вектора  к  называется средним ускорением неравномерного движения:

                                   (1.9)

Ускорением или мгновенным ускорением, точки в момент времени t называют векторную величину  , равную пределу, к которому стремиться среднее ускорение этой точки в промежуток времени от t до  при неограниченном уменьшении

(1.10)           

Ускорение измеряется в м/с².

Ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю, называется тангенциальным ускорением:

 

                             (1.11)

 

Таким образом, тангенциальная составляющая ускорения описывает изменение модуля скорости и направлена вдоль скорости, т. е. по касательной к траектории.

 

Ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю, называется тангенциальным ускорением. Нормальная составляющая ускорения возникает только при криво­линейном движении.

(1.12)

Величину R называют радиусом кривизны траектории.. В частном случае вектор нормального ускорения направлен к центру и называется центростремительным.

Полное ускорение равно сумме тангенциального и нормального ускорений:

(1.13)

Тангенциальное и нормальное ускорения взаимно перпендикулярны между собой, поэтому модуль полного ускорения:

                                               (1.14)

 

1. Равномерное прямолинейное движение.. Это движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

(скорость по направлению и модулю остается постоянной) При равномерном прямолинейном движении полное перемещение равно пройденному пути Кинематическое уравнение движения:

 

2. Неравномерное прямолинейное движение. Это движение, при котором направление скорости остается постоянным, а модуль изменяется.

Полное ускорение Скорость При равномерном прямолинейном движении полное перемещение равно пройденному пути Кинематическое уравнение движения:

 

3. Равномерное криволинейное движение. Это движение, при котором модуль скорости остается постоянным, а вектор скорости меняет свое направление.

 ,

 

1.6 Равномерное движение материальной точки по окружности

При описании вращательного движения тела величинами S, v и а (путь, скорость, ускорение) пользоваться неудобно, т. к. различные точки (с разными радиусами вращения R) тела за один и тот же промежуток вре­мени совершают разные перемещения и движутся с различными скоростями и ускорениями. Поэтому здесь вводятся специальные, так называемые угловые величины: угол поворота φ, угловая скоростьω, угловое ускоре­ние ε. Для различных точек вращающегося тела они одинаковы.

Рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса R (рис.). Положение частицы на окружности можно характеризовать уг­лом φ, отсчитывая его от фиксированного радиуса, например, совпадающего по направлению с осью х (ОА на ри­сунке). Тогда аналогом перемещения AS вдоль окружности будет соответствующее этому перемещению изменение угла Δφ. По аналогии со скоростью прямолинейного движения введем угловую скорость точки:

                                         (1.15)

Угловая скорость определяет изменение угла φ (т. е. Δφ) в единицу времени. Измеряя углы в радианах, а время в секундах, в качестве единицы уг­ловой скорости выбирают угловую скорость такого движения, при кото­ром угол φ меняется на один радиан за одну секунду, эту единицу угловой скорости можно обозначить рад/с; обычно ее обозначают просто 1/с или с ^-1.                                   

При равномерном вращении (ω= const) зависимость угла от времени определяется формулой:

                                      (1.16)

Пусть Т - период обращения частицы, т. е. время совершения ею од­ного оборота вокруг центра вращения О. За время Δt = Т угол φ возрастает на 2π, т. е. Δφ = 2π. Поэтому

                                                          (1.17)