Графическое представление энергии

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенци­альная энергия которого является фун­кцией лишь одной переменной (например, координаты х), т.е. П = П(х). График зависимости потенциальной энер­гий от некоторого аргумента называется потенциальной кривой.

Рассмот­рим графическое представление потен­циальной энергии для тела в однород­ном поле тяжести и для упругодеформированного тела. Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли . График данной зависимости П = П(h) — прямая линия, проходящая через нача­ло координат, угол наклона которой к оси h тем больше, чем боль­ше масса тела.

Пусть полная энергия тела равна Е (ее график — прямая, параллельная оси h). На высоте h тело обладает потен­циальной энергией П, которая опреде­ляется отрезком вертикали, заключен­ным между точкой h на оси абсцисс и графиком П(h). Естественно, что кине­тическая энергия Т задается ординатой между графиком П(h) и горизонтальной прямой ЕЕ. Из рис. следует, что если

h=h_max, то T=0 и П= E = mgh_max т.е.

потенциальная энергия становится мак­симальной и равной полной энергии.

Тело брошено вертикально вверх с поверхности Земли. На каком из графиков показана зависимость потенциальной энергии взаимодействия тела с Землей от времени? За нуль потенциальной энергии принять поверхность Земли.

1. 2. 3. 4.

1. На первом

2. На втором

3. На третьем

4. На четвертом

 

 

Зависимость потенциальной энергии упругой деформации от дефор­мации х имеет вид параболы (рис.), где график заданной полной энергии тела Е — прямая, параллельная оси аб­сцисс x. Из рис. сле­дует, что с увеличением деформации х потенциальная энергия тела возраста­ет, а кинетическая — уменьшается. Аб­сцисса х_mах определяет максимально возможную деформацию растяжения тела, а -х_тах — максимально возмож­ную деформацию сжатия тела.

Из анализа графика на рис. выте­кает, что при полной энергии тела, рав­ной Е, тело не может сместиться вправо от x_max и влево от -x_max, так как кинети­ческая энергия не может быть отрица­тельной и, следовательно, потенциаль­ная энергия не может быть больше пол­ной энергии. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальной яме с координатами — x_max< х < х_maх.

 

Пусть в замкнутой системе действуют кроме консервативных сил F_i действуют диссипативные силы f_i, кроме того на систему действуют внешние силы Ф _i, тогда уравнение движения будет иметь вид:

Домножим на

(2.37)

 

Если в системе действуют диссипативные силы и кроме того на систему действуют внешние силы, то закон сохранения энергии не выполняется (энергия не остается постоянной величиной); энергия тратится на совершение работы против диссипативных и внешних сил.

                                                      

Выражения (2.37) и (2.38) называются законам изменения механической энергии.

Коэффициент ом полезного действия (КПД) называется отношение полезной (для какой-то практической цели) совершенной работы (энергии) ко всей работе, совершенной системой (к поступившей в систему энергии):

                                                           

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в ней будут протекать совершенно одинаково. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжес­ти его скорость и пройденный путь за­висят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного паде­ния тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

 

 

3.5Упругий и неупругий удары

 

Удар (или соударение) — это стол­кновение двух или более тел, при кото­ром взаимодействие длится очень ко­роткое время. Силы взаимодействия между стал­кивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что вне­шними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет сис­тему тел в процессе их соударения при­ближенно рассматривать как замкну­тую систему и применять к ней законы сохранения.

Твёрдые тела при столкновениях подвергаются деформациям, между сталкивающимися телами происходит обмен энергией и импульсом. Некоторая часть первоначальной энергии переходит в потенциальную энергию упругих деформаций, возбуждение колебаний и волн, а так же на совершение работы против сил внутреннего трения. Другая часть энергии расходуется на увеличение внутренней энергии тела, т.е. на увеличение температуры.

Плоскость контакта называется плоскостью удара, а прямую, ей перпендикулярную и пересекающую ее в точке соприкосновения, называют линией удара. Если линия удара параллельна скоростям сталкивающихся тел, удар называется прямым; если эта линия проходит через центры сталкивающихся тел, удар называют центральным. При исследованиях явлений столкновения тел важное значение имеют законы сохранения импульса и механической энергии.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно неупругий и аб­солютно упругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при кото­ром механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, ви­ды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетиче­скую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями - сохранением полной механиче­ской энергии и сохранением полного импульса системы тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столк­нувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения им­пульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается; имеет место закон сохранения суммарной (полной) энергии различных видов -механической и внутренней.

Рассмотрим вначале абсолютно упругое взаимодействие. Наиболее показательным примером, является центральный удар шаров, на которые не действуют внешние силы, в этом случае справедливы законы сохранения импульса и энергии. Пусть два абсолютно упругих шара массами и движутся до удара поступательно со скоростями и  и после удара и

Требуется определить скорости шаров и  после соударения. До удара шаров и после него они не деформированы, поэтому потенциальную энергию системы можно считать неизменной и равной нулю.Запишем уравнения законов сохранения энергии и импульса:

(1)

                   (2)  

 

Пусть скорости шаров до удара направлены вдоль оси х, тогда уравнение закона сохранения импульса в скалярном виде будет иметь вид:

                          (3)

 

Умножим уравнение (2) на «2» и перенесем в уравнениях (2) и (3) в левую часть члены, относящиеся к первому телу, а в правую часть – ко второму телу:

 

 

Или

       (4)

 

                  (5)

 

Разделим уравнение (5) на (4):

 

                                    (6)

 

Выразим из (6) u ₁ и подставим в (3):

 

 

                    (7)

 

Аналогично из (6) u ₂ и подставим в (3):

 

 

                  (8)

 

Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар двух частиц, обра­зующих замкнутую систему. Пусть массы частиц равны m ₁ и m ₂, а их ско­рости до удара  и . В силу закона сохранения суммарный импульс частиц после удара должен быть таким же, как и до удара:

 (9)

где - одинаковая для обеих частиц скорость после удара (частицы сли­паются).

Из (9) следует, что

                                            (10)

 

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, мы имеем дело с силами, подобны­ми силам трения, поэтому закон сохра­нения механической энергии не выполняется. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую энергию.

(11)

 

Рассмотрим частные случаи.

Пусть массы тел равны . Тогда после удара имеем ,

При абсолютно упругом соударении одинаковых тел они просто обмениваются скоростями. В частности, если на неподвижный бильярдный шар налетает другой шар, то налетающий шар останавливается, а покоящийся приобретает его скорость.

Другой частный случай - соударение тела с неподвижной стенкой (которую можно понимать как тело бесконечной массы), т. е. v₂ = О и т₂ = ∞. После удара u₁ = - v_1, u₂ = 0.

Глава № 4 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

ЛЕКЦИЯ № 6