Тема: Гироскоп. Работа при вращении тела. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Гироскоп

Существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения).

Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендику­лярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить сво­бодными осями (они называются глав­ными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного пря­моугольного параллелепипеда прохо­дят через центры противоположных граней (рис.).

Для устойчивости вращения боль­шое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения тела. Так, вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим мо­ментами инерции оказывается устойчи­вым, а вращение около оси со средним моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму па­раллелепипеда, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2.

 Свойство свободных осей сохранять положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью ω около своей оси симметрии, являющей свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подвесе. Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в пространстве. Силами трения в подшипникax всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Так как трение в подшипниках ма­ло, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его под­ставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью ос­новного закона динамики вращательно­го движения.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходи­мо отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращаю­щемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблю­дается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно со­стоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа 0₁0₁ (рис.) поворачивается вокруг прямой 0₃0₃, а не вокруг прямой 0₂ (O ₃ О₃ и F перпендикулярны плоскости чертежа).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент пары сил направлен вдоль прямой 0₂0₂. За время dt момент импульса гироскопа получит приращение (направление  совпадает с направлением  и станет равным . Направление вектора со­впадает с новым направлением оси вра­щения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О₃0₃. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил и велик, изменение момента импульса  гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к измене­нию ориентации оси вращения гирос­копа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Гироскопы применяются в различ­ных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гирос­копов — поддержание заданного на­правления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При вся­ком отклонении от курса вследствие ка­ких-то воздействий (волны, порыва ветра и т.д.) положение оси гироскопа в пространстве сохраняется. Следова­тельно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается от­носительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помо­щью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

 

2. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при вращательном движении

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то говорят, что оно обладает кинетической энергией вращения Т_вр. Получим выражение для этой величины. Предположим, что вращающееся тело, состоит из небольших частиц, каждая из которых имеет мас­су m _i. Если r_i - расстояние по перпендикуляру от оси вращения Oz до любой такой частицы (радиус вращения i-й частицы), то линейная скорость частицы Полная кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий всех составляющих его частиц:

   (1)             

 

Если момент  внешних сил относительно неподвижной оси враще­ния твердого тела отличен от нуля, то угловая скорость ω и кинетическая энергия Твр тела изменяются, т. е. совершается работа. Дифференциал этой работы равен:

Разделим и умножим правую часть на dt:

Учитывая , получим

(2)

Интегрируя выражение (2), получаем формулу для работы по измене­нию угловой скорости тела от начального значения  до конечного значе­ния

(3)

 

Выражение (3) можно интерпретировать и так: работа, совершаемая при вращении тела на угол вокруг неподвижной оси, равна изменению кинетической энергии его вращательного движения.

Мощность N_Bp можно записать в виде:

                                      (3)

 

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости  центра масс, и вращения с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. Но если тело вращается и при этом его центр масс перемещается поступательно (вспомните движение прыгуна в воду в одном из предыдущих примеров), то оно имеет кинетическую энер­гию как поступательного, так и вращательного движений. Полная кинети­ческая энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс и кинетической энергии его вращения относи­тельно центра масс: