Некоторые теоремы, основанные на равенстве площадей фигур

1. Умея вычислять площадь треугольника, ребенок понимает, что все треугольники с одинаковыми основаниями и высотами равны по площади.

Для осознания этой теоремы мы приготовили специальный материал. Равные по площади ромб и прямоугольник. Каждая фигура разделена на два равных треугольника. Эти треугольники разные по форме, но равные по площади. Равенство их оснований и высот можно проверить и измерениями, и наложением фигур. Равенство площади треугольников очевидно, ибо эти треугольники представляют половины равных по площади фигур. (Равенство ромба и прямоугольника уже было доказано и проверено.)

2. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного тре

угольника равен сумме квадратов двух катетов.

1) два катета равны между собой;

2) катеты относятся друг к другу как 3:4;

3) общий случай.

1) Два катета равны между собой. На рамке — прямоугольный равнобедренный треугольник. Каждая сторона треугольника одновременно является стороной квадрата. Квадраты катетов по диагонали поделены на два треугольника каждый. Квадрат гипотенузы двумя диагоналями разделен на 4 треугольника. Получается всего 8 треугольников совершенно одинаковых. Треугольники катетов могут быть уложены в квадрат гипотенузы и наоборот. Эти перемещения увлекают детей, особенно если учесть, что треугольники квадратов катетов выкрашены в один цвет, а 4 треугольника квадрата гипотенузы — в другой.

2) Катеты относятся друг к другу как 3: 4. Квадраты сторон треугольника делятся не на треугольники, как в первом материале, а на квадраты. Квадрат первого (меньшего) катета поделен на 9 квадратиков (3 в квадрате) одного цвета, квадрат второго катета разделен на 16 (4 в квадрате) квадратиков другого цвета, квадрат гипотенузы разделен на 25 (5 в квадрате) квадратиков третьего цвета. Игра с перемещениями очевидна. Квадраты двух катетов могут быть заполнены квадратиками из квадрата гипотенузы. А квадрат гипотенузы можно красиво выложить разноцветными квадратиками квадратов катетов.

3) Общий случай. Рамка вкладышей — это большой прямоугольник размером 44x24 см. Ее можно сравнить с шахматной доской, где перемещаемые фигурки создают самые разные комбинации.

Понимание теоремы строится на нескольких уже освоенных принципах. Во-первых, два четырехугольника с одинаковым основанием и высотой равны по площади. Во-вторых, две фигуры, равные по площади третьей, равны по площади между собой.

Квадрат гипотенузы в данном материале разделен на два прямоугольника. Разделительная линия начинается в той точке, куда падает высота треугольника, опущенная из противолежащего угла. Кроме того, среди вкладышей есть два ромбоида. У одного сторона равна стороне квадрата большего катета, у второго — стороне квадрата меньшего катета. И у каждого ромбоида вторая сторона равна стороне квадрата гипотенузы. Меньшая высота этих ромбоидов равна высоте прямоугольников (части квадрата гипотенузы), большая высота равна сторонам квадратов катетов. Ребенку не обязательно заранее знать все эти соотношения величин. Он видит фигуры-вкладыши, красные и желтые, и просто перекладывает их, размещая в ячейках рамки. Кроме ячеек треугольной и квадратной формы (3 квадрата у каждой стороны треугольника) на той же рамке есть прямоугольные углубления для понимания соотношения высот и сторон ромбоидов. Материальное размещение подвижных фигурок на белом пространстве дает ученику возможность понять суть теоремы. Это не абстрактное заучивание соотношения величин, а простое и очень интересное упражнение.

Тот же материал может быть использован и для других целей.

 

 

Замена фигур

Возьмем вкладыши для изучения теоремы Пифагора, уже размещенные на рамке. Сначала снимем два прямоугольника (части квадрата гипотенузы) и положим их в прямоугольные углубления. Опустив треугольник, положим на пустые места ромбоиды. Сначала это пространство было заполнено треугольником и двумя прямоугольниками, теперь — треугольником и двумя ромбоидами. Итак, сумма двух прямоугольников равна сумме двух ромбоидов. Теперь мы можем продемонстрировать равенство площадей ромбоидов и квадратов катетов. Опять уложим все вкладыши в исходном порядке и обратим внимание на пространство, занятое треугольником и квадратом большего катета. Для этого снимем уложенные в него фигуры и заполним другими:

– снова треугольником и большим квадратом;

– треугольником и большим ромбоидом.

То же можно проделать с пространством, заполненным треугольником и квадратом меньшего катета. Только придется взять меньший ромбоид.

 

 

Равенство площадей фигур

Можно убедиться в равенстве площади ромбоидов и соответствующих прямоугольников и квадратов. Для этого фигуры помещаем в боковые прямоугольники на рамке и убеждаемся в равенстве высот фигур. Равенство оснований проверяется их наложением друг на друга. Следовательно, фигуры равны по площади.

Наша геометрическая система включает в себя и другие материалы, но менее значимые.

Четвертая серия вкладышей: деление треугольника.

Четыре одинаковые рамки с одинаковыми углублениями треугольной формы (равносторонними, сторона 10 см) и треугольниками-вкладышами. Один треугольник — цельная фигура. Второй — 2 равных разносторонних прямоугольных треугольника. Они получились разделением равностороннего треугольника линией высоты. Третий треугольник состоит из трех тупоугольных равнобедренных треугольников, получившихся от деления углов биссектриссами. Наконец, четвертый разделен на 4 равносторонних треугольника, подобных большому треугольнику.

Ребенок может измерять углы, научиться отличать прямой угол от острого и тупого. Измеряя все углы треугольника, ученик узнает, что сумма углов треугольника всегда составляет 180°, то есть два прямых угла. Он может заметить, что углы равностороннего треугольника равны (60°). В равнобедренном треугольнике два угла, прилегающие к основанию, равны между собой. В разностороннем треугольнике все углы разные. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°, то есть прямому углу. Ученик может самостоятельно вывести определение: треугольники подобны, если их соответствующие углы равны.

Материал для изучения вписанных и описанных фигур

Этот материал напоминает уже описанный. На белом фоне можно располагать фигуры вписанные или описанные. К примеру, в центре большого равностороннего треугольника расположим маленький красный равносторонний треугольник (четвертая часть большого). Каждая вершина маленького треугольника касается средней точки каждой стороны большого треугольника.

Еще есть квадраты разной величины. В рамках для них сделаны соответствующие белые углубления. Квадрат со стороной 7 см может быть уложен в центр квадрата со стороной 10 см так, чтобы каждая вершина касалась середины каждой стороны. То же можно сделать с квадратами со стороной 7 и 5 см, 5 и 3,5 см.

Есть еще и круги разного диаметра. Их можно накладывать друг на друга, накладывать на них треугольники. Круг с диаметром 10 см вписывается в квадрат со стороной 10 см.

Все эти соотношения делают разноцветные вкладыши чрезвычайно удобными для рисования различных красивых сочетаний.

В этот материал мы включили и звезды, которые обычно служат для декоративного рисования, и цветы, образованные пересечением кругов и полукружий.

Беглое изложение перспектив развития геометрических знаний

 

 

Геометрия тел

Приходит момент, когда дети с удовольствием и знанием дела вычисляют площади правильных геометрических фигур. К этому их подготовили упражнения с бусинами, с квадратами и кубами чисел. Теперь им нетрудно научиться высчитывать объем геометрического тела. Тем более полезно после упражнений с кубом чисел (при помощи бусин) узнать, что произведение площади основания на высоту равно объему призмы.

Материал состоит из трех геометрических тел: призмы, пирамиды (ее основание и высота равны основанию и высоте призмы) и призмы, чье основание равно основанию пирамиды, а высота втрое меньше. Фигуры полые. Призмы закрыты крышкой и являются, по существу, коробочками. У пирамиды нет крышки снизу, с ее помощью можно набирать и перекладывать разные субстанции. Мы наполняем тела разными субстанциями (песок или зерна проса) так, чтобы заполнить их целиком и чтобы содержимое оставалось всегда в том же количестве. Это нелегко. Часто вещество насыпают не доверху, получается меньший объем, чем присущ телу на самом деле. Нужно научиться заполнять пустоту так же, как нужно научиться укладывать вещи максимально компактно. Покачивать тело, чтобы утрясти содержимое, разглаживать и приминать поверхность — детям это очень нравится.

Тело можно наполнить и жидкостью. В этом случае придется научиться переливать жидкость, не теряя первоначального объема, не проливая ни капли.

Это техническая подготовка к измерительной процедуре. Ученики узнают, что объем пирамиды равен объему маленькой призмы, то есть трети объема большой призмы. Следовательно, объем пирамиды равен произведению площади основания на треть высоты.

Наполнив глиной маленькую призму, мы получим достаточный объем, чтобы заполнить пирамиду. Из этой глины можно сделать два тела, равные по объему, по форме совпадающие с телами нашего материала. Пять равных частей глины, достаточных, чтобы заполнить маленькую призму, станут материалом для пяти тел.

Из этой идеи вытекают все остальные действия: объяснения почти не нужны. Часто исследования возникают как следствие детских вопросов.

– Как найти площадь круга?

– Как найти объем цилиндра?

– А конуса?

Вычисление площади поверхности тела — прекрасная задача для ребенка. Иногда ребенок спонтанно находит ответ. Материал для этого такой: деревянные геометрические тела, у которых основное измерение — 10 см:

– четырехугольный параллелепипед (10, 10, 20 см);

– четырехугольный параллелепипед, равный трети первого;

– четырехугольная пирамида (10,10, 20 см);

– треугольная призма (10, 20 см);

– треугольная призма, равная трети предыдущей;

– пирамида (10, 20 см);

– цилиндр (диаметр 10 см, высота 20 см);

– цилиндр, втрое меньше предыдущего;

– конус (диаметр 10 см, высота 20 см);

– сфера (ось 10 см);

– овал (большая ось 10 см);

– эллипсоид (большая ось 10 см).

А также тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Эти тела раскрашены в разные цвета.

 

 

Наложение

Сила чисел

Материал: два равных куба с ребром 2 см, призма вдвое больше куба, призма вдвое больше предыдущей, 7 кубов с ребром 4 см. Два кубика, рядом стоящие, — 2. Два кубика и призма вдвое больше куба — 2². Все то же и самая большая призма -2³. Два кубика с гранью 4 см — 2⁴

Добавить к ним еще 2 кубика — 2⁵.

Добавить к ним еще 4 кубика — 2⁶.

Итак, 2³, 2⁶— фигуры располагаются в форме куба.

2², 2⁵— фигуры располагаются в форме квадрата.

2, 2⁴— фигуры располагаются в одну линию.

(а + b)³= a³+ b³+ За²b + 3b²a

Материал: куб (ребро 6 см), куб (ребро 4 см), 3 призмы с квадратным основанием (сторона 4 см, высота 6 см), 3 призмы с квадратным основанием (сторона 6 см, высота 4 см).

Вес и размер

В распоряжении детей всегда есть много предметов для взвешивания и измерения. Например, еще в Доме ребенка ученики пользовались счетными штангами для измерения длины. Эта система имела свой метр и более мелкие деления, дециметры. Сейчас в распоряжении младших школьников десятиметровая лента, которой можно измерить пол, а значит, вычислить его площадь. Есть метровые измерители в разных формах (линейка, металлическая лента, швейный сантиметр и штанга торговца). Дети измеряют всем подряд и все подряд, с удовольствием высчитывают площади нарисованных геометрических фигур или вкладышей.

Устанавливается связь между длиной, площадью и объемом, соединяются в систему три измерения: длина, высота и ширина. Более глубоко изучаются хорошо знакомые материалы, вроде розовой башни.

Дети учатся пользоваться различными научными приборами: термометром, весами, осваивают систему мер и весов. Наполним водой кубический дециметр (полый куб со стороной 10 см) — получим литр. Теперь можно измерить объем бутылки и маленького пузырька.

Ученики измеряют температуру воды в различных состояниях. Здесь не стоит останавливаться на частностях. Большая часть предложенных нами задач придумана детьми. Вот ясное свидетельство легкости достижения внешних результатов при готовности внутреннего состояния.

 

Рисунок

 

 

Рисунок геометрический и чертеж

 

Украшение

Раньше мы уже говорили, что материалы-вкладыши можно использовать для рисования. Именно в процессе рисования ребенок сумеет внимательно разглядеть все геометрические фигуры, которыми научился манипулировать, перекладывать, составлять из них разные комбинации, рассуждать об их свойствах. Делая чертежи геометрических фигур, ученик осваивает множество инструментов (линейка, угольник, транспортир, циркуль, рейсфедер). В комплект геометрических материалов входит альбом, где даны изображения фигур и краткие пояснения относительно их свойств. Ребенок может не только перерисовывать изображения, но и списывать пояснения, таким образом аккуратно копируя альбом. Эти пояснения очень просты, например:

Квадрат: сторона основания разделена на 10 сантиметровых отрезков. Остальные стороны равны ей, то есть в каждой по 10 см. У квадрата 4 равных стороны и 4 равных прямых угла. У него всего по 4, равных сторон и углов.

Дети измеряют расстояние и чертят фигуры с огромным усердием и вниманием. Им нравится работать с циркулем, они гордятся, что владеют таким хитрым инструментом.

Маленькая девочка просит у мамы в качестве рождественского подарка «последнюю куклу и циркуль», словно речь идет об окончании одного периода жизни и начале нового.

Маленький мальчик просит маму взять его с собой в магазин, чтобы самому выбрать циркуль. Продавец удивлен, что чертежный инструмент понадобился такому малышу, и сначала достает самые простые циркули. «Нет, нет! — протестует мальчик. — Мне нужны инженерные циркули». Вот почему он так настаивал наличном присутствии в магазине!

Рисуя, ученики осваивают важные геометрические термины: угол, сторона, основание, центр, медиана, луч, диаметр, сектор, сегмент, диагональ, апофема, периметр и др.

Это работа нескучная, дети не ограничиваются копированием, они украшают свои альбомы дополнительными рисунками. Если копии фигур выполняются на обычной белой бумаге тушью, то собственные рисунки делаются на цветной бумаге цветными чернилами (красными, серебряными, золотыми). На своих рисунках ученики украшают геометрические фигуры различными узорами, выполненными пером и тушью или кисточкой и акварелью. Эти узоры подчеркивают, выделяют отдельные части фигуры (центр, угол, диагональ и т. п.). Узор либо выбирается ребенком (мотив, цвет фона, линии), либо свободно придумывается.

Наблюдения за природой (листья, тычинки, стебельки, увиденные под микроскопом, семена, насекомые, раковины) дают пищу детской художественной фантазии. Кроме того, в распоряжении учеников есть профессиональные рисунки, репродукции классических картин.

Дети способны рисовать часами. Это время мы используем для чтения вслух, и практически весь курс истории осваивается учениками в эти часы рисования, часы предельной сосредоточенности и концентрации внимания.

Копирование, декоративное рисование, вдохновленное наблюдениями над природными объектами, выбор красок, затачивание карандашей, подготовка листа, настройка циркуля — все это занятия, требующие терпения и точности, но не слишком интеллектуальные. Заняты скорее руки, чем голова. Однако голове отвлекаться все же нельзя, ей необходимо следить за руками. Спокойная работа, в течение которой сознание загружено лишь отчасти. Представьте семейный отдых у камина долгими зимними вечерами, когда руки заняты несложным домашним рукоделием, не требующим умственного напряжения. Каждый следит глазами за игрой мерцающих языков пламени, проникается мирной прелестью момента. Но удовольствие кажется неполным, если никто ничего не рассказывает или не читает вслух. Самое подходящее время!

Именно в часы рисования наши ученики прослушали множество художественных произведений, книг по психологии, по истории. Дети живо интересуются содержанием прочитанного, занимаясь одновременно собственными рисунками. Словно одна деятельность поддерживает другую. Рисунок удерживает внимание, не давая увлечься далекими мечтами, и сознание наиболее подготовлено к восприятию книги. С другой стороны, удовольствие от слушания придает силы рукам и глазам. Линии становятся точнее, краски изысканнее.

Когда интерес к чтению достигает своей наивысшей точки, дети начинают обмениваться впечатлениями, обсуждать услышанное, не отрываясь при этом от рисования. Впрочем, иногда ученики бросаюандаши, чтобы разыграть сцену из комедии или исторической драмы, затронувшей их сердца. Восхищение поэтическим словом, сочувствие герою могут заставить ребенка отложить рисунок и замереть в ожидании продолжения.