Точка перетину прямої з площиною

Якщо пряма не паралельна площині , то вони перетинаються в одній точці. Щоб знайти точку перетину необхідно розв’язати систему їх рівнянь

Це зручніше зробити, якщо рівняння записати в параметричній формі

і підставити ці вирази в рівняння , тоді одержимо

За знайденим значенням із (34) знаходимо координати точки перетину.

Приклади

1.Знайти точку перетину прямої з площиною .

Розв’язання. Запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді: Підставимо вирази для x, y, z в загальне рівняння площини

Звідки

2. Знайти точку N симетричну з точкою М(-1,4,2) відносно площини

Розв’язання. Спочатку складемо рівняння прямої, яка проходить через точку М(-1,4,2) перпендикулярно до площини. За напрямний вектор можна взяти нормальний вектор даної площини (див. умову (33) попереднього параграфа ). Отже, маємо

Знайдемо точку перетину знайденої прямої з площиною. З рівняння прямої виражаємо і підставляємо у рівняння площини

– точка перетину прямої і площини. Ця точка є серединою між двома симетричними відносно площини точками М(-1,4,2) і N(X_N, Y_N, Z_N), тобто

Отже, симетричною з точкою М(-1,4,2) відносно заданої площини є точка N(5,6,4).

 

Задачі для самостійного розв’язання

1. Довести, що пряма паралельна площині а пряма перпендикулярна цій площині.

2. Знайти точку перетину прямої з площиною, яка проходить через точку М(0,3,-5), перпендикулярно до цієї прямої.

3. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А(-2,3,3) і перпендикулярна прямій

4. Через точку М₀(1,-3,5) провести пряму, перпендикулярно до площини

5. Знайти координати основи перпендикуляра, опущеного з точки М(5,0,8) на площину

6. Знайти точку А₁ симетричну з точкою А(7,5,-8) відносно площини

7. Довести, що прямі та перетинаються, та скласти рівняння площини, на якій вони лежать.

8. Довести, що прямі і паралельні, та знайти рівняння площини, в якій вони лежать.

9. Знайти точку А_1, яка симетрична з точкою А(4,-2,1) відносно прямої

10. Дано дві мимобіжні прямі: і . Необхідно: 1) скласти рівняння площини, яка проходить через пряму ₁ і паралельна прямій ₂; 2) знайти відстань між прямими.

Вказівка. 1) Знайти вектор Рівняння площини знаходиться за точкою М₁(6,-1,0) та нормальним вектором . 2) Відстань між прямими збігається з відстанню від точки М₂(1,7,5) до знайденої в п. 1) площини.

Відповіді: 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. .

 

Криві другого порядку

 

Рівняння вигляду

де хоча б один з коефіцієнтів або відмінний від нуля, називається алгебраїчним рівнянням першого порядку, або першого степеня відносно змінних і .

Рівняння (35) завжди описує пряму лінію.

Алгебраїчним рівнянням другого порядку називається всяке рівняння вигляду

де хоча б один з коефіцієнтів .

Лінії, координати точок яких задовольняють рівняння (36) називаються лініями другого порядку. До ліній другого порядку відносяться: еліпс (зокрема коло), гіпербола, парабола. Вони описуються рівнянням вигляду (36). Однак не кожне рівняння другого порядку завжди описує одну із згаданих ліній. Може, наприклад, вийти так, що рівняння вигляду (36) описує пару прямих ліній або не визначає жодного реального об’єкту.

 

Приклади.

1. Рівняння описує коло.

2. Рівняння описує параболу.

3. Рівняння розпадається на дві прямі і , що перетинаються.

4. Рівняння , тобто розпадаються на дві паралельні прямі і .

5. Рівняння , тобто розпадається на дві прямі, що збігаються.

6. Рівняння має своїм розв’язком тільки одну точку .

7. Рівняння не описує в області дійсних чисел ніякого геометричного місця точок.

Додамо ще, що при відповідному виборі декартової системи

координат рівняння (36) для кривих другого порядку набувають простий, так званий канонічний вигляд. Далі розглянемо коротко кожну із кривих другого порядку.

 

Коло

 

Означення. Колом називається множина точок площини, які знаходяться на відстані R від заданої точки .

Нехай – центр кола, – довільна точка кола. За умовою , а за формулою відстані між двома точками маємо

 

– рівняння кола радіуса з центром в точці .

Якщо ж центр кола збігається з початком координат, , то отримуємо

-канонічне рівняння кола.

Розкриємо дужки в (37) і зведемо його до вигляду (36)

.

 

Отже загальне рівняння (36) може описувати коло, якщо а . За цих умов, щоб знайти центр кола і його радіус, потрібно виділити повний квадрат.

 

Приклад. Знайти центр кола і радіус, якщо

1.

Розв’язання. Згрупуємо відносно і , а тоді виділимо повні квадрати

Отже, центр кола в точці , а радіус . Пропонуємо побудувати це коло.

 

2.

Розв’язання.

Сумма квадратів в лівій частині рівності не може бути від’ємною.

Дане рівняння не описує кола.