Рівняння площини за трьома точками

 

Нехай задані три точки , і , що не лежать на одній лінії. Довільна точка відмінна від , буде знаходитись в площині точок тоді і тільки тоді, коли вектори

компланарні, тобто коли їх мішаний добуток .

В координатній формі запишеться:

 

– рівняння площини за трьома точками.

Приклад. Скласти рівняння та побудувати площину, яка проходить через точки .

Розв’язання. За формулою (20)

площина паралельна (рис.19).

Рис. 19.

 

3.13. Кут між двома площинами. Умова паралельності та перпендикулярності площин

 

Якщо для однозначності кутом між двома площинами називати один з менших двогранних кутів між ними, а відповідно до цього менший із кутів назвемо кутом між двома векторами, то кут між двома площинами є кутом між їх нормальними векторами (див. рис. 20),

 

Рис. 20.

де , – нормальні вектори площин , .

 

Якщо , то

– умова перпендикулярності двох площин.

Коли ж , то отримуємо

(23)

– умову паралельності двох площин.

 

Відстань від точки до площини

 

Відстань від точки до площини : , виражається формулою:

Дійсно, із рисунка 21

 

 

Рис. 21.

 

бачимо, що для довільної точки

,

де . Оскільки

бо із а , то формула (21), таким чином, доведена.

Задачі для самостійного розв’язання

1. Дано точки Скласти рівняння площини та знайти висоту піраміди

2. Знайти точку перетину трьох площин

Вказівка. Розв’язати систему рівнянь.

 

3. Побудувати площини: 1) 2) 3) 4) 5)

4. Скласти рівняння площини, яка перпендикулярна осі ОУ і проходить через точку М(-6,7,10).

5. Написати рівняння площини, яка проходить через вісь ОХ і точку М(4,-5,6).

6. Написати рівняння площини, яка паралельна осі OZ і проходить через точки М(-1,4,-8) і N(2,-3,-1).

7. Записати рівняння площини у відрізках.

8. Знайти об’єм піраміди, утвореної координатними площинами та площиною .

9. Дано площину . Необхідно знайти: 1) об’єм піраміди, обмеженої цією площиною та координатними площинами; 2) відстань до цієї площини від початку координат; 3) площу бічної грані, яка відтинається координатними площинами від заданої площини.

10. Дві грані куба лежать на площинах і .

11. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох площин і

12. Знайти гострий кут між площинами і

13. Дано вершини піраміди А(1,-2,2), В(2,-3,-6), С(5,1,4) і . Знайти довжину висоти, яка проведена із вершини В.

14. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки і В(1,-2,8) і перпендикулярна площині .

Відповіді: 1. 2.

4. у-7=0. 5. 6. 7.

8. 96. 9. 1) 243; 2) 6; 3) 121,5. 10. 8. 11.

12. 60°. 13. 4. 14.

 

Пряма в просторі

3.15. Канонічне та параметричне рівняння прямої в просторі

 

Аналогічна задача вже розв’язувалась для прямої на площині. Отже, необхідно скласти рівняння прямої , що проходить через дану точку паралельно напрямному вектору

Нехай, – довільна точка прямої, тоді вектори і колінеарні, а це значить, що координати їх пропорційні, тому отримуємо

– канонічні рівняння прямої. Прирівнюючи кожний з дробів (25) до параметра , запишемо параметричні рівняння прямої

Приклад. За точкою М(1,5,2) і напрямним вектором необхідно: 1) скласти канонічне рівняння прямої ; 2) побудувати цю пряму.

Розв’язання. 1) За формулою (25) запишемо канонічне рівняння прямої :

2) Розглянемо два способи побудови прямої .

Перший спосіб. В системі координат XYZ будуємо вектор і точку М(1,5,2) і проводимо через точку М пряму паралельну вектору

Другий спосіб. За формулою (26) записуємо рівняння прямої в параметричному вигляді:

 

При довільних значеннях t із системи знаходимо координати відповідних точок, які належать прямій . Так при t=1 знаходимо координати М₁(4,5,6). Через дві точки М і М₁ проводимо пряму (див. Мал.)

 

 

Задачі.

 

1. На прямій знайти точки, які знаходяться на відстані 10 одиниць від точки .

Відповідь: .

2. Точка рухається рівномірно з величиною швидкості ^м/_с в напрямку вектора від початкової точки . Знайти координати точки через с від початку руху.

Відповідь: .

Вказівка. Скористатись методикою відповідних задач, розв’язаних в 3.7.