Частота колебаний плоской балочной фермы

Поставлена задача исследования собственной частоты колебаний произвольного узла фермы для любого количества панелей.

Рассмотрим простую балочную ферму (рис. 10, рис. 11). Расчет частоты колебаний груза (точечной массы), расположенного на упругой стержневой системе произведен методом индукции, описанным ранее. Целью данного исследования являлось преодоление погрешностей, связанных с использованием приближенных методов вычисления в системах с большим числом элементов, а также уменьшение энергозатрат, необходимых на подбор оптимальной конструкции под каждый конкретный случай. Расчет велся в математическом пакете Maple 17 с использованием метода математической индукции.

Расчет

Определяем усилия в стержнях i от действия единичной горизонтальной силы и усилия от действия единичной вертикальной силы. Коэффициенты податливости определяем по формуле Максвелла-Мора:

здесь , – коэффициенты податливости, – длины стержней, EF – жесткость, одинаковая для всех стержней.

Из найденных коэффициентов составляем матрицу податливости, для которой находим частоты собственных колебаний по формуле где собственные значения матрицы податливости.

 

Ферма с 11 панелями, груз закреплен поочередно в каждом свободном узле нижнего пояса.

(21)

 

Ферма с 12 панелями, груз закреплен поочередно в каждом свободном узле нижнего пояса.

(22)

Ферма с 13 панелями, груз закреплен поочередно в каждом свободном узле нижнего пояса.

(23)

Продолжая далее до n = 25, находим зависимость. Проанализировав данные зависимости, заметим, что при изменении n структура коэффициентов при , , остается неизменной, при этом меняются только численные коэффициенты в скобках. С помощью метода индукции, описанного выше определим формулу для коэффициента податливости, учитывающую как число панелей, так и местоположение груза.

(24)

Графики

Рис. 17 - Зависимость собственной частоты колебаний плоской балочной фермы от номера узла, в котором закреплен груз

 

Выводы

Для плоской балочной фермы получены значения прогиба при различных вариантах нагружения, исследована деформация центрального узла фермы в зависимости от числа панелей и номера нагруженного узла. Исследована возможность уменьшения прогиба за счет изменения жесткостных параметров системы. Исследована зависимость собственной частоты колебаний от номера узла, в котором закреплен груз и числа панелей. Все это позволяет сократить время, затрачиваемое инженерами на подбор конструкции с оптимальными параметрами для каждого конкретного случая.

Подробное исследование влияния жесткостных параметров на прогиб, а также сравнение полученных результатов с данными ГОСТ и СНиП дало возможность сделать вывод о том, что с помощью перераспределения жесткостей системы можно добиться уменьшения прогиба. Данный фактор надежности может оказаться решающим при использовании стержневых конструкций в системах, требующих повышенной безопасности и ответственности, к примеру, МКС.