ТОП 10:

Расчет балочной фермы с параллельными поясами и восходящими раскосами



 

Для определения прогибов стержневой системы, требуется найти усилия во всех стержнях. Задача определения усилий в стержнях фермы сводится к решению системы линейных уравнений, которую можно записать в матричной форме:

.

Здесь – вектор неизвестных усилий длиной , где число стержней, – вектор нагрузок, – матрица направляющих косинусов. Горизонтальные нагрузки, приложенные к узлу , записываются в нечетные элементы , вертикальные – в четные . Решение находим с помощью обратной матрицы:

.  

 

 

 

 

Этот метод хорошо реализуется в системе компьютерной математики Maple. В поставленной задаче таких нагрузок две: первая – это внешняя вертикальная нагрузка, приложенная поочередно к каждому узлу нижнего пояса фермы, начиная со второго до центрального; вторая – единичная вертикальная нагрузка в центральном узле нижнего пояса, где определяется прогиб. В первый узел нагрузка не прикладывается, так как находится в шарнирном закреплении

Введем обозначение для усилий в стержнях фермы. Усилия от внешней нагрузки обозначим усилия от единичной вертикальной нагрузки в центральном узле . Прогиб определяется по формуле Максвелла – Мора:

В первом приближении приняты жесткости всех стержней одинаковыми. Так же для упрощения выражений введены следующее обозначение , где и —геометрические параметры фермы, длина панели и высота соответственно. Применяя метод индукции, и последовательно решая в символьной форме поставленную задачу для фермы с 1, 2, 3 и т. д. панелями, для каждого варианта определен прогиб при нагрузке, приложенной поочередно в каждый узел нижнего пояса. Сначала найдены последовательности целочисленных коэффициентов перед соответствующими выражениями, а затем и их общие члены при и , где номер нагруженного узла. Однородные рекуррентные уравнения получены с помощью оператора rgf_findrecur,входящего в состав пакетаgenfuncсистемы компьютерной математикиMaple.Решение уравнения дает оператор rsolve. Имея аналитические выражения для прогибов во всех стержнях статически определимой фермы, можно определить прогиб фермы как функцию ее геометрических параметров, числа панелей и номера узла, к которому приложена нагрузка.

 

Рис. 19 - Номера стержней и узлов фермы при n = 4, j = 2

 

На рис. 19 представлены номера стержней и узлов фермы при n = 4,
j = 2. Ферма данного типа состоит из панелей; нижнего пояса, включающего в себя горизонтальных стержней длиной , верхнего пояса из горизонтальных стержней длиной и раскосов из наклонных стержней длиной и вертикальных стержней длиной . Таким образом, в рассматриваемой ферме стержней, включая три опорных, моделирующих шарнирные опоры, и узлов, дающих уравнений равновесия.

Пронумеруем шарниры фермы (нижний пояс слева направо, затем верхний пояс (рис. 19). Выбирая начало координат в левой неподвижной шарнирной опоре, зададим координаты шарниров (где половина длины одной панели, высота панели):

 
 

 

 

Стержни решетки фермы зададим условными векторами , , координатами которых являются номера шарниров по их концам. Шарнирные опоры смоделируем в виде двух стержней в неподвижной шарнирной опоре и одного вертикального в подвижной. Отметим, что направления этих векторов просто определяют структуру соединений стержней в ферме и никак не связаны со знаками усилий в стержнях.

Для стержней имеем следующие векторы:

Горизонтальные:

 

Наклонные:

 

Вертикальные стержни:

 

Опоры:

Длины стержней и проекции их векторных представлений на оси координат:

Первый индекс в номере означает номер компоненты вектора , второй – номер стержня.

Матрица направляющих косинусов имеет следующие элементы:

 

где матрица направляющих косинусов, вспомогательная переменная, приводящая к тому, что усилия опорных стержней появляются в уравнениях только один раз. Решив систему для вертикальной единичной силы, приложенной поочередно к каждому узлу нижнего пояса, получим выражения следующего вида:

(25)

Где величина нагрузки, элементы массива, содержащего коэффициенты перед соответствующими геометрическими параметрами для каждого вычисления, номер узла, к которому была приложена нагрузка в данном расчетном случае, число панелей, при котором получено это значение.

Приведем пример зависимостей, полученных с помощью оператора rgf_findrecur системы Maple для прогиба от номера нагруженного узла.

Ферма с 9 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

(26)

Ферма с 10 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

(27)

Ферма с 11 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

. (28)

Продолжая далее до n = 18, находим зависимость. Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод о том, что в формулах для прогиба с разным числом панелей n меняется только коэффициент при : 244, 301, 364, 433, 508….973. Выписав последовательность этих коэффициентов и найдя для них рекуррентное уравнение при помощи оператора rgf_findrecur,получена формула:

 

, (29)

где выражение, удовлетворяющее коэффициенту при j в формулах (3).

Далее введем замену, чтобы перейти от к , от к и т. д. соответственно. Для этого сделаем замену .

. (30)

 

Подставив (30) в (27), получена формула:

(31)

Формула (31) может быть использована для вычисления прогиба центрального узла данной балочной фермы для любого n и нагрузке, приложенной к любому из узлов нижнего пояса.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.142 (0.004 с.)