Расчет балочной фермы с параллельными поясами и восходящими раскосами

 

Для определения прогибов стержневой системы, требуется найти усилия во всех стержнях. Задача определения усилий в стержнях фермы сводится к решению системы линейных уравнений, которую можно записать в матричной форме:

.

Здесь – вектор неизвестных усилий длиной , где число стержней, – вектор нагрузок, – матрица направляющих косинусов. Горизонтальные нагрузки, приложенные к узлу , записываются в нечетные элементы , вертикальные – в четные . Решение находим с помощью обратной матрицы:

.

Этот метод хорошо реализуется в системе компьютерной математики Maple. В поставленной задаче таких нагрузок две: первая – это внешняя вертикальная нагрузка, приложенная поочередно к каждому узлу нижнего пояса фермы, начиная со второго до центрального; вторая – единичная вертикальная нагрузка в центральном узле нижнего пояса, где определяется прогиб. В первый узел нагрузка не прикладывается, так как находится в шарнирном закреплении

Введем обозначение для усилий в стержнях фермы. Усилия от внешней нагрузки обозначим усилия от единичной вертикальной нагрузки в центральном узле . Прогиб определяется по формуле Максвелла – Мора:

В первом приближении приняты жесткости всех стержней одинаковыми. Так же для упрощения выражений введены следующее обозначение , где и —геометрические параметры фермы, длина панели и высота соответственно. Применяя метод индукции, и последовательно решая в символьной форме поставленную задачу для фермы с 1, 2, 3 и т. д. панелями, для каждого варианта определен прогиб при нагрузке, приложенной поочередно в каждый узел нижнего пояса. Сначала найдены последовательности целочисленных коэффициентов перед соответствующими выражениями, а затем и их общие члены при и , где номер нагруженного узла. Однородные рекуррентные уравнения получены с помощью оператора rgf_findrecur,входящего в состав пакета genfunc системы компьютерной математики Maple. Решение уравнения дает оператор rsolve. Имея аналитические выражения для прогибов во всех стержнях статически определимой фермы, можно определить прогиб фермы как функцию ее геометрических параметров, числа панелей и номера узла, к которому приложена нагрузка.

 

Рис. 19 - Номера стержней и узлов фермы при n = 4, j = 2

 

На рис. 19 представлены номера стержней и узлов фермы при n = 4,
j = 2. Ферма данного типа состоит из панелей; нижнего пояса, включающего в себя горизонтальных стержней длиной , верхнего пояса из горизонтальных стержней длиной и раскосов из наклонных стержней длиной и вертикальных стержней длиной . Таким образом, в рассматриваемой ферме стержней, включая три опорных, моделирующих шарнирные опоры, и узлов, дающих уравнений равновесия.

Пронумеруем шарниры фермы (нижний пояс слева направо, затем верхний пояс (рис. 19). Выбирая начало координат в левой неподвижной шарнирной опоре, зададим координаты шарниров (где половина длины одной панели, высота панели):

Стержни решетки фермы зададим условными векторами , , координатами которых являются номера шарниров по их концам. Шарнирные опоры смоделируем в виде двух стержней в неподвижной шарнирной опоре и одного вертикального в подвижной. Отметим, что направления этих векторов просто определяют структуру соединений стержней в ферме и никак не связаны со знаками усилий в стержнях.

Для стержней имеем следующие векторы:

Горизонтальные:

Наклонные:

Вертикальные стержни:

Опоры:

Длины стержней и проекции их векторных представлений на оси координат:

Первый индекс в номере означает номер компоненты вектора , второй – номер стержня.

Матрица направляющих косинусов имеет следующие элементы:

где матрица направляющих косинусов, вспомогательная переменная, приводящая к тому, что усилия опорных стержней появляются в уравнениях только один раз. Решив систему для вертикальной единичной силы, приложенной поочередно к каждому узлу нижнего пояса, получим выражения следующего вида:

(25)

Где величина нагрузки, элементы массива, содержащего коэффициенты перед соответствующими геометрическими параметрами для каждого вычисления, номер узла, к которому была приложена нагрузка в данном расчетном случае, число панелей, при котором получено это значение.

Приведем пример зависимостей, полученных с помощью оператора rgf_findrecur системы Maple для прогиба от номера нагруженного узла.

Ферма с 9 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

(26)

Ферма с 10 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

(27)

Ферма с 11 панелями, нагрузка приложена поочередно к каждому узлу нижнего пояса, начиная со второго:

.

(28)

Продолжая далее до n = 18, находим зависимость. Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод о том, что в формулах для прогиба с разным числом панелей n меняется только коэффициент при : 244, 301, 364, 433, 508….973. Выписав последовательность этих коэффициентов и найдя для них рекуррентное уравнение при помощи оператора rgf_findrecur,получена формула:

 

,

(29)

где выражение, удовлетворяющее коэффициенту при j в формулах (3).

Далее введем замену, чтобы перейти от к , от к и т. д. соответственно. Для этого сделаем замену .

.

(30)

 

Подставив (30) в (27), получена формула:

(31)

Формула (31) может быть использована для вычисления прогиба центрального узла данной балочной фермы для любого n и нагрузке, приложенной к любому из узлов нижнего пояса.