Аналитические решения задач динамики и прочности стержневых конструкций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

«Московский энергетический институт»

 

 

Кафедра «Мехатроники и теоретической механики»

 

ОТЧЕТ

 

о научно-исследовательской работе

 

Студент аспирантуры 1 курса	Н. В. Заборская
(Семестр: 2)
по направлению	01.06.01 «Математика и механика»
по специальности	Теоретическая механика
Научный руководитель:	М. Н. Кирсанов
Должность, степень, звание	проф., доктор физ.-мат. наук.

 

г. Москва 2016 г.

РЕФЕРАТ

Отчет 78 с., 31 рис.

Аналитические решения задач динамики и прочности стержневых конструкций

СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ФЕРМА, ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ, НАГРУЗКА, ПРОГИБ, ЖЕСТКОСТЬ, КОЛЕБАНИЯ, СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Объектом исследования в данной работе являются стержневые конструкции, в частности плоские и пространственные балочные фермы.

Целью данной работы является рассмотрение, математическое описание, анализ поведения и оптимизация прогиба различных вариантов стержневых конструкций, таких как плоские и пространственные балочные фермы

Методы исследования определялись специфическими особенностями стержневой конструкции. В ходе исследования были проанализированы основные методы расчета стержневых конструкций, использованы основы теоретической механики, метод расчета ферм с помощью формулы Максвелла-Мора, метод индукции. Была использована система символьных вычислений Maple.

Результаты работы:

В ходе работы были рассмотрены плоские и пространственные балочные фермы разной структуры. Получены зависимости прогиба центрального узла ферм от числа панелей и места приложения нагрузки, исследовано поведение фермы при равномерно загруженном нижнем поясе.

Проведен анализ влияния перераспределения жесткостей системы на оптимизацию прогиба. Проведен численный расчет ферм в соответствии с требованиями СНиП, параметры подобраны исходя из ГОСТ 8239-89. Проведен анализ собственной частоты колебаний произвольного узла ферм с переменным числом панелей.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.. 3

История развития методов расчета стержневых систем.. 4

Первые методы расчетов. 7

Появление классических методов расчета ферм.. 20

Новые методы расчета. 26

Работы в области строительной механики за последние годы.. 31

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ ПРОВЕДЕННОЙ РАБОТЫ... 33

Постановка задачи. 33

Простая балочная ферма. 35

Расчет простой балочной фермы.. 35

Графики прогиба простой балочной фермы.. 41

1.3 Числовой пример простой балочной фермы.. 45

Частота колебаний плоской балочной фермы.. 47

Балочная ферма с параллельными поясами и восходящими раскосами. 51

Расчет балочной фермы с параллельными поясами и восходящими раскосами. 51

Графики прогиба балочной фермы с параллельными поясами и восходящими раскосами 57

Перераспределение жесткостей балочной фермы с параллельными поясами и восходящими раскосами. 61

Числовой пример балочной фермы с параллельными поясами и восходящими раскосами 62

Плоская арочная ферма треугольного очертания. 64

Графики прогиба арочной фермы.. 65

Пространственная ферма балочного типа. 68

Схема конструкции. 68

Расчет пространственной балочной фермы.. 71

Анализ полученного решения. 73

Заключение. 77

Список использованной литературы.. 78

ВВЕДЕНИЕ

Прежде всего разберемся в том, что же такое стержневая конструкция, или в ферма.

Фе́рма (фр. ferme, от лат. Firmus прочный) — стержневая система в строительной механике, остающаяся геометрически неизменяемой после замены её жёстких узлов шарнирными. В элементах фермы, при отсутствии расцентровки стержней и внеузловой нагрузки, возникают только усилия растяжения-сжатия. Фермы образуются из прямолинейных стержней, соединенных в узлах.

Ферма состоит из элементов: пояс, стойка, раскос, шпренгель (опорный раскос).

Поиски методов расчета ферм берут свое начало в XIX веке. Первый метод представлен Д. И. Журавским, одни из последних разработаны
Дж. Кл. Максвеллом.

Такой короткий срок и такая стремительность смены методов объясняются тем, что разработка методов расчета ферм сильно запоздала по сравнению с их практической необходимостью.

Предпосылки

 

В 30-х годах XIX века сооружение железных дорог поставило множество задач перед инженерами. К примеру, вес поезда оказался величиной того же порядка, что и постоянная нагрузка, а в деревянных мостах он стал превосходить последнюю. Но, так как положение поезда в разные моменты времени постоянно меняется, то перед инженерами встала задача поиска самого выгодного его положения на мосту и расчета пролетного сооружения при таком, несимметричном положении нагрузки.

Интересно отметить, что в 1850 году в Англии исполнилось 25 лет со дня открытия первой железной дороги; во Франции, Германии, Бельгии и США они насчитывают 25 лет существования. Тем более любопытным является тот в факт, что первый метод расчета ферм появился в России, он предшествовал открытию первой большой железной дороги (опыт постройки Царскосельской железной дороги, открытой в 1837 г., не идет в счет, так как на ней не было ни одного большого моста).

К решению задачи строительная механика оказалась не готова даже при самой простой схеме моста – балке на двух опорах. Достаточно напомнить, что даже во втором издании курса А. Навье, появившегося в 1833 г., когда в России уже проехал по рельсам паровоз Черепановых, содержалось совершенно ложное представление о работе балки: А. Навье предполагал, что опасное сечение с максимальным моментом всегда находится под центром тяжести внешней нагрузки [1].

Но если для балки расчетные возможности все-таки существовали, то для фермы не существовало никаких расчетных методов. В книгах А. Навье 1833 г. и других подобных книгах были рассмотрены только простейшие ригельно-подкосные схемы, для которых делается условный способ расчета и простая треугольная стропильная ферма. Для балочных ферм второй половины 40-х годов не существовало никаких методов расчета. При этом именно балочная ферма оказалась пригодной для мостов под железные дороги. Схема такой фермы, состоящей из параллельных поясов, соединенных решеткой, впервые была предложена А. Палладио в XVI веке, но не нашла широкого применения до появления железных дорог. В 1820 г. И. Таун дал конструкцию балочной фермы с много решетчатым заполнением, известную до сих пор названием фермы И. Тауна, хотя правильнее ее называть фермой И. П. Кулибина, который применил эту же конструкцию в своем арочном мосту еще в 1772 г. Затем появляются одна за другой фермы Лонга и У. Гау, а Роберт Стефенсон строит известные трубчатые мосты «Британия» и Конуэйский, заменив решетчатое заполнение сплошной стенкой. Именно эти схемы явились родоначальниками современных балочных ферм, при этом историки и инженеры расходятся во мнении, существует ли между ними родовая преемственная связь [1].

В действительности же первые балочные фермы рассматривались современниками именно как балка со сквозной стенкой, а не как новый самостоятельный вид сооружений. Характерной в этом смысле является статья М. С. Волкова, первого русского профессора теоретической механики, опубликованная в 1838 г. Он называет такие фермы «связями» и считает их за балку с выброшенной стенкой [2]. Взамен стенки в «связи» поставлены стойки и раскосы, причем последние служат для предотвращения скольжения.
М. С. Волков утверждает, что если соединить между собой концы обоих поясов, то возможность скольжения устранится и раскосы станут излишними. Он предлагает ряд простых безраскосных схем (рис. 1) и рекомендует применять две первые из них, как безраспорные, в мостостроении.

Рис. 1 - Схемы «связей» (ферм) по М. С. Волкову

 

Эта статья представляет собой первую попытку анализа ферм, при этом никаких методов расчета в ней представлено не было.

Одной из причин отставания развития расчетов ферм по сравнению с арками, помимо практической необходимости, было нахождение науки на старых позициях предельного состояния.

Для расчета свода по предельному состоянию можно было без труда выдумать более мене правдоподобные формы разрушения и рассчитывать их статически в состоянии предельного равновесия. Но задача о предельном состоянии статически неопределимой фермы (такими были фермы Палладио и выросшие из них фермы Кулибина-Тауна, Гау и др.) настолько сложна, что и сейчас представляет большие трудности, хотя ученые подходят к ней во всеоружии своих знаний. Для науки XVIII века эти задачи были совершенно неприступны. Поэтому первые методы расчета ферм могли появиться только тогда, когда завершился переход науки на путь расчета по рабочему состоянию, т. е. не ранее 30-40-х годов XIX века. Интересно заметить, что первые правильные методы расчета ферм, как статически определимых, так и статически неопределимых, были даны русскими инженерами [11, 12].

 

Первые методы расчетов

 

Работы Д. И. Журавского

 

Краткая оценка работ Дмитрия Ивановича Журавского в области расчета ферм приведена в «Курсе строительной механики стержневых систем»
проф. И. М. Рабиновича (ч. 1, 1950, стр. 279-280) [3]. Он разработал метод расчета фермы Гау на нагрузку, занимающую произвольное положение в, а также сделал попытку расчета многопролетной неразрезной фермы такой схемы. Результаты опубликованы в журнале Главного управления путей сообщения в виде трех статей в 1850, 1852, 1855 гг., а затем изданы отдельной книгой в 1855 г. На основе данных результатов расчета Д. И. Журавский впервые обнаружил ряд особенностей в работе ферм, до этого неизвестных, в частности явление убывания усилий в стойках раскосной фермы от опор к середине пролета при сплошной нагрузке. Для доказательства открытия был поставлен публичный опыт.

Д. И. Журавский указывал, что, владея расчетом он доказывал неправильность конструкции стефенсоновских трубчатых мостов, ошибочность мнения Лонга о влиянии предварительного натяжения болтов и ошибочность американских воззрений на сопротивление поясов.

Указание на ошибку Лонга интересно тем, что в той задаче
Д. И. Журавский сделал существенное открытие. Речь идет о работе болтовой стяжки, имеющей начальное натяжение. В то время было принято считать, основываясь на мнении Лонга, что усилие в болте от продольной растягивающей нагрузки складывается с усилием от начального натяжения.
Д. И. Журавский доказал, наоборот, что «напряжение болтов при нагрузке не состоит из суммы предварительного напряжения от завинчивания болтов и напряжения, производимого собственной нагрузкой, как это могло бы показаться с первого взгляда». Это высказывание Д. И. Журавского является верным: если к головке болта приложить растягивающую силу, то усилие в болте начнет возрастать лишь после того, как стянутые начальным натяжением болта элементы восстановят свои первоначальные размеры. Очевидно, это произойдет, когда внешняя сила станет равна начальному натяжению.

Для расчета фермы Гау Д. И. Журавский берет расчетную схему в виде простой раскосной решетки с восходящими раскосами и шарнирными
узлами [3]. Таким образом, распространенное мнение, приписывающее Дж. Шведлеру заслугу введения шарнирной схемы фермы, является ошибочным: эта заслуга всецело принадлежит Д. И. Журавскому, как и идея пренебречь встречными растянутыми раскосами.

Рис. 2 - Расчет фермы Гау методом Жуковского

 

Д. И. Журавский обосновал это пренебрежение тем, что узловые соединения деревянных раскосов не способны воспринимать растягивающие усилия.

Д. И. Журавский не начинает с определения опорных реакций фермы, как мы это делаем теперь, а прослеживает судьбу каждого груза от точки его приложения до опор. Возьмем простейший случай: груз Р стоит в среднем узле верхнего пояса. Вырежем узел и найдем из условий равновесия и симметрии сжимающие усилия в раскосах . Эти усилия передаются на нижние узлы, из равновесия которых находим растягивающие усилия в стойках и горизонтальную силу , действующую вдоль нижнего пояса. В действительности, эта сила равна разности усилий в двух смежных панелях нижнего пояса, но Д. И. Журавский этим пренебрегает и продолжает процесс вырезания узлов по зигзагу решетки. В результате, он находит усилия во всех раскосах и стойках, и горизонтальные силы, приложенные в узлах и имеющие обратные направления, в отличие от ранее найденных сил [3].

Силы выражали действие стержней на узел, а горизонтальные силы - действие узлов на пояса. Очевидно, усилие в любой панели пояса численно равно сумме горизонтальных сил, приложенных к узлам по одну сторону от панели, и решение получается совершенно точным, несмотря на то, что реакции предварительно не были определены [3].

Этот метод расчета интересен с двух точек зрения. Во-первых, он основан на идее вырезания узлов и составлений условий равновесия, и, таким образом, открытие и первое применение метода вырезания узлов безусловно принадлежит Д. И. Жуковскому.

Во-вторых, (в этом он отличается от современной формы метода вырезания узлов, идущей от К. Кульмана и Дж. Шведлера), Д. И. Журавский не ищет при вырезании узлов усилий в элементах пояса, а находит разность (равнодействующую усилий в двух смежных панелях, это освобождает от необходимости решения совместных уравнений, хотя в каждом следующем узле встречаются три неизвестных усилия. Идея Д. И. Журавского незаслуженно подверглась впоследствии забвению и могла найти и теперь удачное применение при расчете сложных ферм.

В том случае, когла сила Р стоит не в среднем узле, Д. И. Журавский разбирает силу на две части yP и (1- y) P, где y – неопределенный множитель, далее ведет разложение каждой составляющей по узлам в свою сторону. Затем он составляет уравнение равновесия горизонтальных узловых сил и находит из него значение y. Легко заметить, что yP и (1- y) P будут равны опорным реакциям.

Расчет раскосной фермы, данный Д. И. Журавским, вполне точен при любом положении нагрузки. В частности, при равномерном загружении всех узлов наибольшее усилие в поясе оказывает равным где P – узловая нагрузка, l – пролет, n – число узлов, h – высота фермы. Разумеется, расчет является условным для фермы с перекрестными раскосами, так как выбор однораскосной схемы должен предшествовать расчету, а до его выполнения нельзя установить какой раскос в каждой панели окажется сжатым. Если в результате какой-либо раскос окажется растянутым, то не представит труда заменить его на встречный. При условии такой поправки расчет фермы с перекрестными раскосами будет довольно точным, поскольку раскосы не способны работать на растяжение.

Далее Д. И. Журавский проводит расчет многопролетной неразрезной фермы. Эта задача статически неопределима

Рис. 3 - Задача Д. И. Журавского

 

Д. И. Журавский принимает за неизвестную величину перемещение λ точки приложения силы P и находит его из условия равновесия
, устанавливая отсюда, что сила P распределяется между участками стержня обратно пропорционально их длинам. Если положение «сечений раздела грузов» в пролетах известно, то предыдущее решение позволяет распределить узловые горизонтальные составляющие между обоими такими сечениями и найти отсюда усилия в поясах. Слабым местом в методе Д. И. Журавского является порядок нахождения этих сечений, для которого он предлагает способ проб, недостаточно обоснованный теоретически. Для неразрезной балочной схемы такими сечениями будут те, в которых касательные к линии прогиба взаимно параллельны. Действительно, условие постоянства длины продольного волокна, отстоящего на y от нейтральной линии, на участке от до выразится:

(1)

 

Откуда углы наклона касательной в точках и равны между собой. Очевидно, таких пар сечений может быть бесконечное множество, и поэтому одним из них в каждом пролете можно задаться.

Работы Дж. Шведлера

 

Рассмотрим далее работы Дж. Шведлера [4]. В 1851 г. вышла статья, содержавшая метод расчета статически определимых ферм, известный под «методом вырезания узлов» и основанный на составлении условий равновесия для усилий в каждом узле фермы, в предложении его шарнирности. Это был именно тот метод, которым ранее пользовался Д. И. Журавский. Отличие метода Дж. Шведлера в том, что он позволяет обойтись без совместных уравнений лишь в том случае, если возможен такой порядок обхода узлов фермы, при котором в каждом следующем узле встречаются только два неизвестных усилия. Иначе это приводит к совместным уравнениям, число которых равно числу стержней. При этом метод Д. И. Журавского для ферм с параллельными поясами позволяет обойтись без совместных уравнений и в более сложных случаях.

 

 

Рис. 4 - Пример фермы, которую легче рассчитать методом Журавского, чем по способу вырезания узлов Дж. Шведлера.

 

Так для фермы (рис. 4) метод вырезания узлов в простой форме неприменим, так как он приводит к 15 совместным уравнениям с таким же числом неизвестных (при несимметричной нагрузке). Метод вырезания узлов Журавского позволяет сразу найти узловые горизонтальные составляющие, суммирование которых дает усилия в поясах, без всяких совместных уравнений.

Подводя итоги, предложенный Дж. Шведлером метод вырезания узлов является, в некотором смысле, повторением способа, ранее найденного
Д. И. Журавским, при этом удобным. Основная заслуга Дж. Шведлера состояла в том, что он впервые привлек общее внимание к статически определимым фермам и указал их преимущества. До этого момента мостовые фермы сохраняли свою родовую связь с балкой (многорешетчатые фермы типа Гау и Кулибина–Тауна), то предложенные Дж. Шведлером схемы ферм, образованных из треугольников, внеся ясность в структуру и распределение усилий, совершенно порвали эту связь. Схемы, данные Дж. Шведлером далеко не сразу получили популярность среди инженеров. В России и Западной Европе многорешетчатые и многораскосные фермы (усовершенствованные в России профессором Н. А. Белелюбским, учеником Д. И. Журавского) продолжали применяться до конца XIX столетия наряду с новыми статически определимыми схемами, но постепенно вытеснялись последними. В консервативной Англии многораскосные фермы продолжали строить до конца 20-х годов XX века, при этом, в России они канули в историю.

Американская техника, заинтересовавшись преимуществами статически определимых ферм, встала во второй половине XIX века на ошибочный путь приближения конструкции ферм к их расчетной схеме и заменила жесткие узлы болтовыми шарнирами. Разумеется, такие фермы обладали пониженной жесткостью и работали плохо, так как их узлы постоянно расстраивались и требовали непрерывного наблюдения и ухода, но тем не менее они применялись в США очень упорно. Это один из немногих примеров в истории строительной механики неправильного понимания взаимной связи между конструкцией и расчетной схемой.

Надо отметить, что Дж. Шведлер, увлекаясь изобретенными им способом образования новых схем ферм, старался искать схемы, удовлетворяющие заранее заданным условиям: условию постоянства усилий в элементах пояса фермы с полигональным очертанием (так называется ферма Шведлера), условию минимума веса и т п. Часто выходило, что поиски приводили к схемам, неудобным в конструктивном отношении и потому почти не нашли применения. Кроме того, идея создания фермы наименьшего веса не всегда приводит к наиболее экономичным конструкциям, так как стоимость фермы определяется не только количеством материала в ее исполнении, но и стоимостью труда (которая не пропорциональна весу) и количеством материала в заготовках. При сложных формах элементов раскрой листов дает значительные отходы и потому облегчение веса не всегда уменьшает количество металла, использованного для ее изготовления.

Вклад Г. Ламэ

 

Следующую после Дж. Шведлера попытку расчета ферм мы встречаем в 1852 г. в книге Г. Ламэ. Вопреки легенде, пущенной кем-то из авторов исторических обзоров, Г. Ламэ не рассматривал статически неопределимые фермы, а ограничился статически определимыми, причем применил к их расчету принцип возможных перемещений. Г. Ламе составил на основе известного «принципа Клапейрона» формулу для вычисления перемещений фермы под грузом и искал формы сооружений, дающих минимальный прогиб при условии равнопрочности [1].

Работы Августиновича

 

Мысль о применении принципа возможных перемещений к расчету ферм использовал русский инженер Августинович [5], распространивший ее на статически неопределимые фермы (1857 г.). Это была первая после
Д. И. Журавского попытка расчета таких ферм, на этот раз теоретически правильная, в основе которой лежала идея Д. И. Журавского. Таким образом первый правильный метод расчета статических неопределимых ферм принадлежит Августиновичу. Это определяет первенство русских ученых в данной области.

В работах Августиновича, в отличие от Д. И. Журавского четко прослеживаются разграничения между статически определимыми фермами и статически неопределимыми.

Для расчета статически определимой фермы с n узлами Августинович составляет 2 n уравнений проекции возможных перемещений, задавая их следующим правилом: «если линия наклонна, то пишется ее коэффициент, помноженный на проекцию; а если линия горизонтальна или вертикальна, то пишется коэффициент, наблюдая в отношении знаков, следующее правило: для отдаленных от осей концов линии член пишется с плюсом; для ближайших к осям - с минусом». Под «коэффициентом» понимается усилие в стержне или величина, ему пропорциональная. В приведенных Августиновичем примерах эти «коэффициенты» равны усилиям в стержнях, деленым на их длины.

Рис. 5 - Обозначения Августиновича

 

По этому правилу уравнения перемещений для узла l (рис. 5) примут вид:

(2)

Если подставить вместо M, N, L усилия в стрежнях, деленные на длины, мы получим обычные уравнения равновесия.

Разумеется, составление и решение системы из 2 n уравнений для фермы с n узлами очень трудоемко (как и метод вырезания узлов в общем случае). Августинович это осознает и заявляет, что на данном этапе развития науки отсутствует метод, который мог бы прийти на помощь в данной ситуации.

Рис. 6 - Первая статически неопределимая ферма, рассчитанная Агустиновичем.

 

Конечно, способ введенный Августиновичем не облегчал внедрения расчета ферм в проектную практику; с точки зрения трудоемкости он даже представлял некоторый шаг назад. При этом чрезвычайно оригинальным можно считать способ, предложенный Августиновичем для расчета статически неопределимых ферм, поясненный им на примере фермы (рис. 6). Эта распорная ферма имеет при симметричном загружении два лишних неизвестных и . Для их определения необходимо составить два условия деформации, выражающие постоянство длин проекции на горизонтальную ось обоих поясов. При постоянной длине панели и равенстве сечений элементов пояса (допущения Августиновича) можно составить условия равенства нулю суммы проекций удлинений поясов в виде:

 

(3)

Откуда т. е. алгебраическая сумма усилий в элементах каждого пояса должна быть равна нулю.

Здесь s – длина элемента пояса; – длина панели; N – усилие в элементе пояса.

Вместо этого Августинович вспоминает «задачу Жуковского» о действии осевых сил на стержень и обобщает ее, полагая, что к стержню приложены на равных расстояниях продольные силы .

Применяя закон приложения нагрузок, Августинович вычисляет реакции по концам стрежня:

(4)

Затем он доказывает, что решение остается справедливым, если стержень имеет ломаную форму: проекции удлинения системы abcde таковы, как если бы прямой стержень af был натянут силой P. Отсюда Августинович заключает, что вышенаписанные уравнения останутся справедливыми, если вместо сил P подставить горизонтальные составляющие узловых поясных сил, как это делал Д. И. Журавский. При этом реакции, вычисленные по этим уравнениям, будут равны искомым реакциям фермы в зависимости от того, для какого узла пояса взяты узлы.

Рис. 7 - Лемма Августиновича

 

Этот способ является довольно оригинальным. Но большого практического распространения, так как расчет является крайне трудоемким. Так или иначе, это первый правильный расчет статически неопределимой фермы.

 

Работы У. Дж. Ренкина

 

В 1858 г. появляется новая идея расчета статически определимой фермы, которая позже (1964 г.) [6] привела к открытию Максвеллом знаменитого графического приема, известно под именем диаграммы Кремоны – Максвелла. Эта идея принадлежала У. Дж. Ренкину и была позднее (1862 г.) изложена им в его широко известном в свое время «Руководстве для инженеров-строителей».

Идея У. Дж Ренкина состоит в том, что ферма рассматривается как веревочный многоугольник, по которому строится силовой многоугольник. Этот прием поясняется примером, приведенным в книге У. Дж. Ренкина
(стр. 196-198 русского издания). Для стропильной фермы (рис. 8) строится силовой многоугольник с полюсом в т. О, проводя лучи, параллельные элементам нагружного обвода фермы. При этом отрезки AB и DE, выразят реакции опор, а их сумма равна грузу P. Весь отрезок, по словам Ренкина,
«… означает то, чем должен быть груз в точке 1 для того, чтобы условия равновесия брусьев A и E были исполнены, и, следовательно, BD представляет недостаток действительного груза в точке 1 или придаточную отвесную силу, действующую вниз: она-то и должна быть заменена раскашиванием. BD противоположное и равное DB представляет равнодействующую недостатка поддерживающих усилий в точках 3 и 4, в которых нет действительных грузов». Проводя лучи DC и BC, паралелльные раскосам, до пересечения в точке С, можно найти усилия во всех стержнях фермы.

Рис. 8 - Графический расчет фермы по У. Дж. Ренкину

Идея У. Дж. Ренкина состоит в построении графика, в котором отрезки параллельны соответственным стержням фермы и равны усилиям в них (при определенном силовом масштабе), причем график не содержит ни одной лишней линии. В этом смысле график У. Дж. Ренкина является предпосылкой для создания диаграммы Л. Кремоны. Но последняя представляет многоугольник, взаимный с фермой, в том смысле, что каждому узлу одной фигуры отвечает замкнутый многоугольник другой, и обратно, то диаграмма У. Дж. Ренкина этим свойством взаимности не обладает, и поэтому ее нельзя построить путем последовательного обхода узлов фермы.

 

Вклад А. Риттера

 

В 1862 г. вышла книга Августа Риттера [7], в которой был впервые изложен метод сечений или моментных точек. В отличие от метода вырезания узлов этот метод позволял (для ферм, образованных из треугольников) непосредственно вычислить усилие в любом стержне вне зависимости от прочих и без решения совместных уравнений. Этим резко снижалась трудоемкость расчета. По существу, это был первый действительно удобный и общедоступный способ расчета ферм. Кроме того, его важным достоинством является возможность представления усилия в любом стержне стандартным выражением , где M - момент внешних сил относительно моментной точки, а r – плечо стержня относительно той же точки. Такое представление объясняет характер работы каждого стержня и его роли в работе всей фермы. Впоследствии оно сильно упростило задачу построения линий влияния для стержневой системы. Метод сечений приобрел популярность среди инженеров-проектировщиков.

 

Новые методы расчета

 

Появление классических методов расчета ферм позволило инженерам рассчитывать фермы обоих классов, как статически определимые, так и статически неопределимые. Однако степень трудоемкости расчетов была неравнозначной.

В статически определимых фермах расчет предшествует подбору сечений, так что конструктор точно подбирает эти сечения, зная величины усилий в каждом элементе. В статически неопределимых фермах подбор сечений должен предшествовать расчету, т. е. этими сечениями необходимо задаваться предварительно, не имея представлений о величине усилий. Поэтому последующий расчет обычно показывает несоответствие между усилиями и сечениями стрежней и их приходится изменять, а затем снова проводить расчет. Эту операцию иногда необходимо проводить множество раз, прежде чем можно получить необходимое соответствие между усилиями и сечениями.

Сам процесс расчета статически неопределимой фермы заметно сложнее, чем для статически определимой, особенно при наличии нескольких связей, приводящей к системе совместных уравнений. Таким образом, ставится задача оптимизации полученных методов и их упрощению в использовании. Разумеется, с общим ростом математической культуры инженеров изменяется оценка «трудоемкости» расчетов; приемы, затруднявшие передовых инженеров 100 лет назад, теперь не кажутся трудными даже рядовому технику. Но тенденция к упрощению расчетных приемов продолжает существовать и вероятно никогда не исчезнет. Если перед инженером имеются два варианта сооружения, более или менее равноценные по всем показателям, но с абсолютно различной степенью трудоемкости расчета, он обычно предпочтет вариант, допускающий более простой расчет.

Именно этим можно обусловить потерю интереса в последней четверти XIX века к статически неопределимым фермам. Создается своеобразное положение, которое отмечалось в исторической литературе: пока инженеры вообще не умели рассчитывать фермы, они строили исключительно статически неопределимые фермы; когда же им указали, как надо такие фермы рассчитывать, они перестали их применять. Этому факту не противоречит продолжавшееся до конца века применение двухраскосных ферм, хотя в быстро убывающем количестве; дело в том, что расчет таких ферм осуществлялся путем разложения на простые решетки, т. е. их рассчитывали, как статически неопределимые.

Применение ферм в мостостроении поставило перед инженерной наукой очередную задачу – расчет ферм на подвижную нагрузку. Эту задачу пытался разрешить еще Д. И. Журавский, но ему это не удалось. Решение затянулось на многие годы и было найдено в методе линий влияния.

Методика построения линий влияния зародилась в 1854 г.

Бресс составил таблицы «чисел влияния» для распора и опорных моментов бесшарнирной арки, высказал идею их использования путем наложения отдельных сил. Бресс часто применял принцип независимости действия сил, вытекающий из линейности основных уравнений строительной механики.

Через 13 лет после Бресса линии влияния для балки с заделанными концами построил Г. Винклер [10] (1867 г.); в 1868 г. он построил их для арки, доведя до конца идею Бресса и заслужив славу изобретателя линий влияния.

Любопытно заметить, что все эти попытки построения относились к статически неопределимым системам, прошло много лет, прежде чем додумались до их применения к статически определимой балке (Френкель 1876 г.). После этого перейти к балочной ферме было уже нетрудно, так как метод моментных точек фактически сводил задачу расчета фермы к расчету простой балки.

В сущности, все дальнейшие усилия ученых были направлены на расчет сложных ферм описанных ранее классов, структурные особенности которых заключаются в том, что они образованы не из треугольников.

Ввиду этого расчет их по способу вырезания узлов или по способу моментных точек приводил к совместным уравнениям, что сильно осложняло задачу. Такие сложные статически определимые фермы почти не нашли применения в строительстве, так как не обладали особыми преимуществами перед простыми фермами. Для решения сложных задач применялись метод моментных точек Мюллера-Бреслау (1887 г.), Абрамова (1935 г.); метод замены стержней Геннеберга (1886 г.); метод замены связей (1901 г.); метод ложного положения.

В отличии от теории статически определимых ферм, история расчета статически неопределимых ферм не остановилась на методе Максвелла-Мора и далека до совершенства в наши дни. Расчеты статически неопределимых ферм связаны с трудностями. Если увеличивать площадь сечения одного лишнего стержня, оставив сечения всех прочих стержней неизменными, то усилие в этом стержне возрастет; если уменьшить его сечение, уменьшится и усилие.

 

Рис. 9 - Зависимость усилия и напряжения в стрежне от площади его сечения

 

На рис. 9 наглядно представлен частный случай из теоремы Мориса-Леви о невозможности обеспечить для лишних стержней напряжения заданной величины.