Для управления ориентацией космического аппарата

Движение космического аппарата (КА) вокруг цента масс, как твердого тела произвольной конфигурации с тремя вращательными степенями свободы, описывается уравнениями вида:

дL / дt =0,5 L (t)▫ w (t);	(5.18.1)
I 1 дw 1/ дt = M 1(t)–(I 3– I 2) w 2(t) w 3(t);	(5.18.2,а)
I 2 дw 2/ дt = M 2(t)–(I 1– I 3) w 1(t) w 3(t);	(5.18.2,б)
I 3 дw 3/ дt = M 3(t)–(I 2– I 1) w 1(t) w 2(t),	(5.18.2,в)

где L (t)= l ₀(t)+ l ₁(t)+ l ₂(t)+ l ₃(t) – кватернион поворота КА; w (t) =w ₁(t) i ₁ +w ₂(t) i ₂ +w ₃(t) i ₃ – фазовые координаты (вектор угловой скорости) КА; M (t) = [ M ₁(t), M ₂(t), M ₃(t)]^T – вектор управления (вектор внешнего момента, действующего на КА).

Фазовые координаты и управление подчинены требованиям задачи Л. С. Понтрягина типа L (t), w (t); || L||=l ₀²(t)+ l ₁²(t)+ l ₂²(t)+ l ₃²(t)=1; i ₁, i ₂, i ₃ – орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона). В динамических уравнениях Эйлера (5.18.1) и (5.18.2) для КА l ₁(t), l ₂(t), l ₃(t) – главные центральные моменты инерции КА.

На модуль вектора управления наложено ограничение

| |≤ M max.

(5.18.3)

Задав произвольные граничные условия по угловому положению

(0)= 0, (T)= T

(5.18.4)

и угловой скорости КА

(0)= 0, (T)= T,

(5.18.5)

требуется определить оптимальное управление _опт(t) системой (5.18.1) и (5.18.2) при ограничении (5.18.3) на управление и граничных условиях (5.18.4) и (5.18.5) минимизирующих функционал

J = (α 1+ α 2| |) dt,

(5.18.6)

где α ₁≈ α ₂= const >0, время T не задано.

Записав уравнения Эйлера (5.18.2,а, 5.18.2,б и 5.18.2,в) в виде

w ^*= R 0 M – R 1(w) w,

(5.18.7)

где R ₀ и R ₁(w) – матрицы размерности 3×3 вида

R 0= ;	(5.18.8)
R 0= ;¤	(5.18.9)

выполняется процедура принципа максимума Понтрягина, для чего вводятся вспомогательные функции Q (t) и p (t) (кватернион и вектор, соответственно), соответствующие фазовым координатам L (t) и w (t).

При этом функция Гамильтона-Понтрягина принимает вид

H = – q ^*(α 1+ α 2| M |),

(5.18.10)

где q ^*≥0= сonst так как при q ^*=0 функция Гамильтона-Понтрягина соответствует задаче оценки быстродействия и не учитывает критерий (5.18.6).

При q ^*=1 сопряженная система представима выражением

,

(5.18.11)

здесь символ «¤» - символ кватерионного умножения, vect (^●) – векторная часть кватерниона, а R (w) – матрица размерности 3×3.

Введя обозначение

p = vect (L *¤ Q)= L *¤ c v¤ L,

(5.18.12)

где c _v – произвольная векторная постоянная.

Для задачи оптимального разворота сферически симметричного КА, положив I ₁= I ₂= I ₃=1, c критерием (5.18.6) функция Гамильтона-Понтрягина (59.10) имеет вид

H =–(α 1+ α 2| M |)+< w, p >/2+< φ, M >,

(5.18.13)

а краевая задача принципа максимума представима выражениями вида

2 L ^*= L ¤ w;	(5.18.14)
w ^*= M ^опт;	(5.18.15)
p = L *¤ c v¤ L, c v= const;	(5.18.16)
φ^* = –p/2;	(5.18.17)
L (0)= L 0, L (T)= L T;	(5.18.18)
w (0)=0, w (T)=0.	(5.18.19)

Записав (5.18.16) в дифференциальном виде

p^* = p × w,

(5.18.20)

(здесь символ «×» – векторное произведение), и приняв w || p, из (5.18.20) p = p ₀= p (0)= const, φ определяется из

φ = – p /2+ φ (0), φ 0= const || p 0.

(5.18.21)

Функция Гамильтона-Понтрягина на участке t [0, τ ₁] принимает вид

H ^опт = –(α 1+ α 2 M max)+< M max tp e, p e>/2+ M max< φ, φ/ | φ |>0.

(5.18.21)

По приведенному выше алгоритму управления требуется выполнение условий φ ₀↑↑ p _e и | φ ₀|≥ α ₂, в противном случае, с ростом t увеличивается | φ (t)|, следовательно, алгоритм управления не имеет участка свободного движения. Если же | φ _0< α ₂, то алгоритм управления на первом участке носит пассивный характер, т. е. M ^опт=0, тогда, используя (5.18.21)

M max< φ, φ/ | φ |>= M max(| φ 0|–| c v| t /2),

(5.18.22)

так как φ/ | φ |= p _e, | p ₀|=| c _v|.

Но траектория движения КА, при t = T,

L (T) =L 0¤ exp { M max(τ 1 τ 2+ T (T – τ 2)+[(τ 1^2+ τ 2^2– T ^2)/2] p e/2,

откуда

T ^2/2– τ 1 T + τ 1 τ 2+(τ 1^2– τ 2^2)/2= θ / M max,	(5.18.23)
Θ =2 arccos [ sgal (L 0^*¤ L T)].

Таким образом функция Гамильтона-Понтрягина на участке t [0, τ ₁] принимает вид

H ^опт = –(α 1+ α 2 M max)+ M max| φ 0|=0,

(5.18.24)

тогда

τ 1 =T – τ 2;	(5.18.25)
|φ (τ 1) |=α 2= | c v| τ 1/2+| φ 0|;	(5.18.26)
|φ (τ 2) |=α 2= | c v| τ 2/2–| φ 0|.	(5.18.27)

Откуда

τ 1 = 2(| φ 0|– α 2/| c v|; τ 2 = 2(| φ 0|+ α 2/| c v|;

(5.18.28)

а, с учетом (5.18.25)

τ 1+ τ 2 =T,

(5.18.29)

и, подставляя значения τ ₁ и τ ₂ из (59.28),

| φ 0| = | c v| T /4.

(5.18.30)

С учетом (5.18.24) и (5.18.30), | c _v|, | φ ₀|, τ ₁ и τ ₂ описываются в виде

| c v| = 4(α 1+ α 2 M max)/ TM max;	(5.18.31)
| φ 0| = 4(α 1+ α 2 M max)/ M max;	(5.18.32)
τ 1=T/2– α 2 TM max/[2(α 1+ α 2 M max)],	(5.18.33)
τ 2=T/2+ α 2 TM max/[2(α 1+ α 2 M max)],	(5.18.34)

а, подставляя τ ₁ и τ ₂ в (5.18.23) и решая это уравнение относительно T,

T =2(α 1+ α 2 M max){ Θ/ [ α 1(α 1+2 α 2 M max)]}^1/2.

(5.18.35)

Теперь задача управления ориентацией КА решена полностью.

Что демонстрируется рис. 5.18.1.

 

Рис. 5.18.1