Моделирование возмущенного движения транспортного средства

Основным результатом оценки динамических и точностных характеристик системы автоматического управления (СУ) транспортным средством (ТС), например самолетом (ЛА), являются натурные эксперименты (испытания). Однако в целях предварительной оценки должны быть привлечены результаты математического и стендового моделирования. Использование результатов моделирования контура «СУ-ТС» является обоснованным, если продемонстрирована их сходимость с результатами натурного эксперимента. При оценке адекватности математической модели ЛА выделяют, по крайней мере, два аспекта – детерминированный и статистический.

Первый из них предполагает оценку сходимости результатов моделирования и испытаний по критерию динамического подобия, которое устанавливается путем сравнения динамических характеристик ЛА, полученных в результате расчета и эксперимента в условиях детерминированных возмущений повышенной интенсивности.

Уравнения движения ЛА с СУ составляются по результатам аэродинамических продувок, контролируемых аппаратными средствами с резервированием их функциональных возможностей. При этом проверке подвергается математическая модель, которая затем используется в процессе статистического моделирования для уточнения характеристик СУ.

При этом полный диапазон возможных изменений контролируемых параметров движения ЛА делится на две области: больших (Δ h >±4÷5 σ) и малых (Δ h <±2÷3 σ) ошибок управления.

Действие на ЛА возмущения чаще всего является нормальным случайным процессом; динамическая система «ЛА–СУ» в малом диапазоне изменения её переменных квазилинейна и обладает свойством нормализовать проходящие через неё сигналы, что позволяет в диапазоне Δ h <±2÷3 σ распределение ошибок управления считать нормальным. Статистическое моделирование проводится с учетом имеющих место в натурных экспериментах случайных факторов (веса, центровки, ветра и т. д.) как в части диапазона их изменения, так и частоты варьирования различных уровней. Натурные (лётные) испытания статистически независимы и охватывают ожидаемые условия будущей эксплуатации ЛА.

Предполагается, что математическая модель и реальный ЛА статистически подобны, если расчетные и опытные выборки извлечены из одной и той же генеральной нормально распределенной совокупности.

Традиционные критерии статистического подобия двух выборок, извлеченных из нормально распределенной генеральной совокупности, основаны на сравнении дисперсии и математического ожидания.

Дисперсии признаются равными, если выполняется правило (критерий Фишера)

S 1^2/ S 2^2≤F(1– a )(n 1–1, n 2–1),

(4.2.1)

где выборочные оценки дисперсии параметров соответственно определимы из выражений

S 1^2=(n 1–1)^–1 (x i– 1)^2; S 2^2=(n 2–1)^–^1 (x i– 2)^2,

где x _i – значение исследуемого параметра в i -м эксперименте (расчетно или экспериментально полученное);

₁= n ₁^-1 x _i; ₂= n ₂^-1 x _i;

n ₁, n ₂ – объемы выборок; F _{(1– a )}(n ₁–1, n ₂–1) – квантиль распределения Фишера с (n ₁–1, n ₂–1) степенями свободы уровня (1– α); α – уровень значимости.

Для сравнения математических ожиданий используется одно из следующих решающих правил:

| 1 – 2|/[(n 1+ n 2)/ n 1 n 2]^-1/S≤ t (1– a /2)(n 1+ n 2–2),

(4.2.2)

где

S = S 1^2(n 1–1)+S2^2(n 2–1)/(n 1+ n 2–2);

T _{(1– a /2)}(n ₁+ n 2–2) – квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы уровня (1– a /2)=(n ₁+ n ₂–2): при принятии гипотезы неравенства дисперсии

| 1 – 2|/(S 1^2 n 1+S2^2 n 2)^-1/2≤ t (1– a /2)(V),

(4.2.3)

где число степеней свободы V определяется в соответствии с правилом Сэттервейта:

V =(S 1^2/ n 1+S2^2 n 2)^2/[(S 1^2 n 1)^2/(n1–1)+(S 2^2 n 1)^2/(n2–1)]

(4.2.3)

и в зависимости от конкретных значений S ₁² и S₂² меняется в диапазоне

min { n ₁, n ₂}≤=(n ₁+ n ₂–2).

Применение решающих правил (4.2.1) и (4.2.2) в случае статистической неоднородности сравниваемых выборок позволяет выявить источник неоднородности – систематические и/или случайные ошибки.

Однако выше описанные критерии имеют два существенных недостатка:

- для принятия решения необходимо наличие серии натурных экспериментов, и в случае проведения доработок требуется повторение всего объёма натурных экспериментов;

- раздельное сравнение дисперсии и математических ожиданий приводит к снижению достоверности принимаемых решений, так как

(1– а)=(1– а ₁)(1– а ₂),

где а ₁ и а ₂ – уровни значимости при проверке равенства дисперсии и равенства математических ожиданий.

Приведенные ниже критерии проверки однородности результатов моделирования натурных экспериментов лишены указанных недостатков. Решение о статистической однородности результатов моделирования и натурных экспериментов может быть принято после проведения каждого натурного эксперимента с использованием следующего критерия отбраковки аномальных значений параметров:

|x – |/[(n +1)/ n ]^–1/S< t (1– a /2)(n –1),

где оценки , S ² определены по результатам моделирования.

Проблема множественного сравнения может быть решена переходом на сравнение толерантных интервалов. Следует отметить, что при построении толерантного интервала по результатам выборки (x ₁÷ x _n) объёма n из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение N (m, σ ²), определяют его границы, являющиеся реализациями функций выборок X _н, X _в, относительно которых справедливо утверждение: внутри толерантного интервала с доверительной вероятностью γ заключается не менее чем доля R всей совокупности, т. е.

P { X _н≤ x ≤ X _в}≥ R = γ

или

P { f (x) dx _н≤ x ≤ X _в}≥ R = γ,

где f (x) – плотность распределения вероятности параметра x. Оценка толерантного множителя z, значения которого табулированы для различных значений n, R и γ, причем, z ≈(x– ) S – нормально распределено с математическим ожиданием

M | z |= U _r

и дисперсией

D | z |=1/ n + z ²/2(n –1),

где U _r – квантиль стандартного нормального распределения.

Таким образом, задача сравнения статистической однородности двух выборок сводится к сравнению двух математических ожиданий при неравных дисперсиях.

Соответствующее решающее правило имеет вид

|z1–z2|(D 1+ D 2)^–0,5≤ U (1– a /2).

(4.2.4)

Достоверность принимаемых решений характеризуется вероятностями ошибок первого α и второго β рода (вероятностями ошибочных приемки и отбраковки, соответственно). Для определения значения β необходимо задать альтернативные гипотезы.

При проверке равенства дисперсий альтернативную гипотезу удобно представлять в виде

σ ₁= kσ ₂.

Тогда зависимость между α, β, k и n определяется из граничных соотношений

S ₁²/ S ₂= F _{(1– α )}(n ₁–1, n ₂–1);

S₁²/ kS ₂²= F _β(n ₁–1, n ₂–1),

откуда «расстояние» между нулевой и альтернативной гипотезами определимо из выражения

k = F _{(1– α)}(n ₁–1, n ₂–1) /F _β(n ₁–1, n ₂–1).

Таким образом, при принятии гипотезы равенства дисперсий с вероятностью β, эти дисперсии могут различаться в k раз.

При проверке равенства математических ожиданий альтернативную гипотезу удобно задавать в виде

m ₁= m ₂+Δ.

Тогда при альтернативной гипотезе статистика равна

| ₁– ₂|/[(xn ₁+ n ₂)/ n ₁ n ₂]^–1/S

с параметром нецентральности

(Δ/ σ)[(n ₁+ n ₂)/ n ₁ n ₂]^1/2.

Нецентральное распределение уже при n ≥5 удовлетворительно аппроксимируется нормальным распределением, т. е.

P { | ₁– ₂|/[(n ₁+ n ₂)/ n ₁ n ₂]^–1/S> t _{(1– a /2)}(n ₁+ n ₂–2), (Δ/ σ)[(n ₁+ n ₂)/ n ₁ n ₂]^1/2}=

=1– Ф { t _{(1– a /2)}(Δ/ σ)[(n ₁+ n ₂)/ n ₁ n ₂]^1/2[1+0,5 t _{(1– a /2)}²/(n ₁+ n ₂–2)]^–1/2}=1– β,

где Ф – интегральная функция стандартного нормального распределения. Следовательно,

U _β= t _{(1– a /2)}(Δ/ σ)[(n ₁+ n ₂)/ n ₁ n ₂]^1/2[1+0,5 t _{(1– a /2)}²/(n ₁+ n ₂–2)]^–1/2.

При использовании решающего правила (36.4) альтернативная гипотеза задается в виде

U _R1= U _R2+Δ U _R.

Тогда зависимость между a, β, n и Δ U _R1 определяется из граничных условий

| z ₁–z₂|(D ₁+ D ₂)^–1/2= U _(1–a/2) и | z ₁–z₂+Δ U _R|(D ₁+ D ₂)^–1/2,

и, следовательно,

Δ U _R|(D ₁+ D ₂)^–1/2= U _(1–a/2)– U _β.

Таким образом, описанный выше метод сравнения толерантных множителей для проверки адекватности математической модели возмущенного движения ЛА имеет существенное преимущество перед традиционными методами. При принятии гипотезы статистической однородности результатов моделирования и натурного эксперимента требования к точностным характеристикам параметров считаются подтвержденными.