Стандартне відхилення, дисперсія та коефіцієнт варіації

У попередньому підрозділі ми бачили, що середні величини дозволяють охарактеризувати вибірку одним числом. Проте значення середньої арифметичної величини не відображує варіабельності ознаки. У вже згаданому прикладі з довжиною стебла рослин середня арифметична буде одна і та сама для вибірок зі значеннями: 3, 8, 5, 4, 7 та 5, 5, 5, 6, 6 см. Проте видно, що у першій вибірці значення істотно відрізняються одне від одного. Варіація параметрів сама по собі є важливою характеристикою живого організму чи групи організмів. У багатьох випадках, мала варіація означає те, що показник суворо контролюється організмом і його зміна може, наприклад, зменшувати шанс виживання.

У 1894 році один із засновників біометрії Карл Пірсон ввів термін стандартне відхилення (середнє квадратичне відхилення або середня квадратична похибка вимірювань, яку в англомовній літературі позначають як S.D. – standard deviation). Для малої вибірки (n < 30) середнє квадратичне відхилення обчислюється за наступною формулою:

(9)

або (10)

де – середнє арифметичне, х_і – і -те значення, n – кількість незалежних повторів експерименту або кількість вимірюваних об’єктів, інакше кажучи, розмір вибірки. З цієї формули видно, що при обчисленні стандартного відхилення враховується різниця між окремою варіантою серії досліджень та їх середньої арифметичної величини: (). При цьому кожне відхилення підноситься до квадрату для знищення ефекту взаємної компенсації додатних та від’ємних доданків.

Приклад 10. Активність лактатдегідрогенази в печінці коропа становила: 1,40; 1,47; 1,08; 1,23; 1,12; 1,00 Од/мг білка. Обчислимо стандартне відхилення, використовуючи формулу (10):

= (Од/мг білка).

Дисперсія є піднесене до квадрату стандартне відхилення:

(11)

Дисперсія є важливим показником варіації і вказує на те, як задалеко одна від одної розміщені варіанти сукупності.

Слід зауважити і те, що в дослідницькій роботі інколи потрібно порівняти варіацію ознак, значення яких виражаються в різних одиницях вимірювань. Для порівняння варіацій ознак, які виражені в різних одиницях вимірювань, використовують коефіцієнт варіації C v, величину якого виражають у відсотках:

(12)

де s – стандартне відхилення, – середнє арифметичне значення.

 

2.3. Варіація і розподіл

Давньогрецький філософ Геракліт казав «не можна двічі увійти в одну і ту саму річку». Будь-який дослідник природи може підтвердити це досвідом: важко отримати ідентичні цифри при повторі експерименту. Те саме стосується й спостережень. Наприклад, листки одного дерева будуть відрізнятись за площами, плодові мушки однієї лінії – за масою, культури бактерій одного штаму – за активністю амілази чи іншого ферменту. Варіація – характерна особливість будь-якого біологічного об’єкту. Середні значення і показники варіації власне несуть дослідникові інформацію про об’єкт чи явище. Вони також є предметом для подальших обрахунків, наприклад, при статистичних порівняннях.

Варіація не є безмежною. Відомо, що нормальний рівень гемоглобіну в сироватці крові буде відповідати якомусь діапазону значень, так само, як і активність ферментів у тканинах, значення кров’яного тиску та ін. Для будь-якої ознаки, яка варіює, можна знайти найменше і найбільше значення. Це робиться шляхом розстановки значень у порядку зростання, або, інакше кажучи, ранжуванням. Якщо проаналізувати ряди значень, отриманих після вимірів, то можна помітити що певна частина значень не буде сильно відрізнятись. Так, зріст більшості дорослих людей знаходиться у межах від 160 см до 180 см. Цю ситуацію можна змоделювати і представити наочно. Уявімо, що ми маємо вибірку з 1000 осіб одного віку. Нехай 500 з них має зріст 160–180 см, 200 чоловік – 150–159 см, інші 200 – 181–190 см, 50 чоловік матимуть зріст від 145 до 149 см, і решта 50 – від 191 до 200 см. Це буде виглядати наступним чином:

 

Рис. 1. Стовпчаста діаграма, яка відображує варіацію осіб за зростом

 

Варто зауважити, що інтервали у нашій моделі не рівні, що не відображено на Рис. 1. Для того, щоб відобразити цю характеристику розподілу, графік можна зобразити наступним чином:

Рис. 2. Полігон частот, який відображує варіацію осіб за зростом

 

Ще більш наочна і точніша модель представлена нижче (рис. 3). Вона включає дані щодо росту 992 осіб з межами варіації від 145 до 200 см.

Рис. 3. Розподіл осіб за зростом в генеральній сукупності

 

Даний графік вже нагадує розподіл ймовірностей випадкової величини, який є предметом математичної статистики.

Крива, зображена на рис. 3 є кривою щільності нормального розподілу, що описується рівнянням:

(13),

де е – основа натурального логарифму, π – число «пі» (3,1416), – середнє арифметичне значення (в даному випадку – середній зріст для всіх осіб), σ – стандартне відхилення.