Порівняння трьох і більше груп між собою: доцільність використання параметричних чи непараметричних критеріїв

Критерій Ньюмена-Коулса

Для порівняння трьох і більше груп між собою можна використати ряд критеріїв. Один із них – це критерій Ньюмена-Коулса (Newman-Keuls test).

Цей критерій обчислюють наступним чином:

1. Спочатку потрібно за допомогою дисперсійного аналізу перевірити нульову гіпотезу про рівність всіх середніх.

1.1. Обчислюємо міжгрупове число ступенів свободи ():

(59),

де m – число груп, що порівнюються.

1.2. Обчислюємо внутрішньогрупове число ступенів свободи ():

Для груп, що мають одинакову кількість членів:

(60),

де m – число груп, що порівнюються;

n – чисельність даних в групах.

Для груп, що мають різну кількість членів:

(61),

де .

1.3. Визначаємо внутрішньогрупову дисперсію ():

(62),

де – вибіркові дисперсії у групах, які обчислюються для кожної з груп відносно середнього арифметичного значення для групи;

n_i – об’єм певної групи.

1.4. Обчислюємо міжгрупову дисперсію ():

(63),

де – середнє арифметичне значення із вибіркових середніх, яке можна обчислити за формулою:

(64)

1.5. Обчислюємо критерій F за формулою:

(65)

1.6. Використовуючи таблицю 16 для і , враховуючи рівень статистичної значущості знаходимо критичне значення F_кр.

Якщо F>F_кр, то гіпотеза про рівність середніх значень вибірок відхиляється.

2. Якщо гіпотеза про рівність всіх середніх значень відкидається, то ці дані впорядковують за зростанням і порівнюються попарно, щоразу обчислюючи значення критерію Ньюмена-Коулса, використовуючи формулу:

(66),

де – середні значення, які потрібно порівняти між собою;

- внутрішньогрупова дисперсія;

n₁ і n₂ – чисельність відповідних груп.

3. Обчислене значення q порівнюється з критичним значенням q_кр (таблиця 19). Критичне значення q_кр залежить від статистичної значущості p (ймовірність помилково виявити відмінності хоча б в одній з усіх пар, що порівнюються, тобто справжній рівень статистичної значущості), числа ступенів свободи df = N–m (N – сума чисельності всіх груп, m – число груп) і величини l, яка називається інтервалом порівняння. Інтервал порівняння визначається наступним чином. Якщо середні значення, що порівнюються, стоять відповідно на j -му і i -му місці в упорядкованому ряді, то інтервал порівняння l=j – i + 1. Наприклад, при порівнянні 4-го і 1-го членів цього ряду l =4–1+1 = 4, при порівнянні 2-го і 1-го l =2 – 1 + 1 = 2.

Якщо q>q_кр, то групи достовірно відрізняються між собою при заданих рівнях значущості p.

Замітка. Даний критерій залежить від послідовності порівнянь, тому їх потрібно проводити в певній послідовності, яка задається двома правилами:

1.Якщо середні значення величин розмістити від найменшого до найбільшого (від 1 до m), то спочатку потрібно порівняти найбільше значення з найменшим, тобто m з 1, потім m з 2-им, 3-ім і так дальше. Потім передостаннє (m–1) – з 1-им, 2-им і так дальше. Наприклад, у випадку 4-ох груп порядок порівнянь наступний: 4-1, 4-2, 4-3, 3-1, 3-2, 2-1.

2. Якщо будь-які середні величини не відрізняються, то всі середні значення, що лежать між ними, також не відрізняються. Наприклад, якщо не виявлено відмінностей між 3-им і 1-им середніми, то не потрібно порівнювати 3-є з 2-им і 2-е з 1-им.

Таблиця 19. Критичне значення q_кр при статистичній значущості p<0,05

df	Інтервал порівняння l
	3,461	4,339	4,896	5,305	5,628	5,895	6,122	6,319	6,493
	3,344	4,165	4,681	5,060	5,359	5,606	5,815	5,998	6,158
	3,261	4,041	4,529	4,886	5,167	5,399	5,597	5,767	5,918
	3,199	3,949	4,415	4,756	5,024	5,244	5,432	5,595	5,739
	3,151	3,877	4,327	4,654	4,912	5,124	5,305	5,461	5,599
	3,113		4,256	4,574	4,823	5,028	5,202	5,353	5,487
	3,082	3,773	4,199	4,508	4,751	4,950	5,119	5,265	5,395
	3,055	3,735	4,151	4,453	4,690	4,885	5,049	5,192	5,318
	3,033	3,702	4,111	4,407	4,639	4,829	4,990	5,131	5,254
	3,014	3,674	4,076	4,367	4,595	4,782	4,940	5,077	5,198
	2,998	3,649	4,046	4,333	4,557	4,741	4,897	5,031	5,150
	2,984	3,628	4,020	4,303	4,524	4,705	4,858	4,991	5,108
	2,971	3,609	3,997	4,277	4,495	4,673	4,824	4,956	5,071
	2,960	3,593	3,977	4,253	4,469	4,645	4,794	4,924	5,038
	2,950	3,578	3,958	4,232	4,445	4,620	4,768	4,896	5,008
	2,919	3,532	3,901	4,166	4,373	4,541	4,684	4,807	4,915
	2,888	3,486	3,845	4,102	4,302	4,464	4,602	4,720	4,824

 

Наведемо приклад використання даного критерію для порівняння дослідних груп між собою та з контрольною групою.

Приклад 23. В результаті досліджень впливу йонів нікелю на активність супероксиддисмутази в зябрах карася сріблястого було отримано наступні результати (наведені власні дані):

 

Групи риб	Активність СОД, Од/мг білка
Контроль	51,6; 48,2; 69,4; 104; 92,0; 87,9
10 мг/л Ni^2+	68,5; 78,5; 78,2; 74,5; 76,7; 74,1
25 мг/л Ni^2+	55,8; 41,4; 56,2; 65,8; 42,0; 60,0
50 мг/л Ni^2+	41,4; 43,7; 37,9; 42,4; 27,3; 46,4

 

Порівняймо дослідні групи між собою та контрольною групою за допомогою критерію Ньюмена-Коулса.

1. Попередні обчислення можна оформити у вигляді таблиці:

 

Показник	Контроль	10 мг/л Ni^2+	25 мг/л Ni^2+	50 мг/л Ni^2+
	51,6 48,2 69,4 92,0 87,9	68,5 78,5 78,2 74,5 76,7 74,1	55,8 41,4 56,2 65,8 42,0 60,0	41,4 43,7 37,9 42,4 27,3 46,4
n
m
=
		13,7	97,0	45,6
	10,8
Fкр (таблиця 16)	3,10
F>Fкр, 10,8>3,10. Гіпотеза про рівність середніх значень груп даних відхиляється

 

2.1. За формулою (66), порівнюючи контрольну групу із тією групою, яка найбільш від неї відрізняється (в даному випадку з групою риб, що експоновані до йонів нікелю концентрацією 50 мг/л Ni²⁺), обчислюємо q:

2.2. При статистичній значущості p<0,05, ступенях свободи df = 20 (df = N – m)та інтервалі порівняння l = 4 критичне значення критерію q_кр дорівнює 3,96(таблиця 19).

2.3. Умова q>q_кр виконується, оскільки 4,74>3,96. Тому групи даних: «Контроль» і «50 мг/л Ni²⁺» між собою достовірно відрізняються при статистичній значущості p<0,05.

3.1. Порівнюємо між собою групи даних: «Контроль» і «25 мг/л Ni²⁺»:

3.2. При p<0,05, df = 20 (df = N–m)i l=3 критичне значення критерію q_кр дорівнює 3,58(таблиця 19).

3.3. Умова q>q_кр не виконується, оскільки 2,93<3,58. Тому групи даних: «Контроль» і «25 мг/л Ni²⁺» між собою не відрізняються, а, отже, не відрізняються між собою також і групи даних: «Контроль» та «10 мг/л Ni²⁺», «10 мг/л Ni²⁺» та «25 мг/л Ni²⁺».

4.1. Порівнюємо між собою групи даних: «10 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺»:

4.2. При p < 0,05, df = 20 (df = N – m)i l = 3 критичне значення критерію q_кр дорівнює 3,58(таблиця 19).

4.3. Умова q>q_кр виконується, оскільки 4,69>3,58. Тому групи даних: «10 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺» між собою достовірно відрізняються при p<0,05.

5.1. Порівнюємо між собою групи даних: «25 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺»:

5.2. При p<0,05, df = 20 (df = N–m)i l = 2 критичне значення критерію q_кр дорівнює 2,95(таблиця 19).

5.3. Умова q>q_кр не виконується, оскільки 1,81<2,95. Тому групи даних: «25 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺» між собою не відрізняються.

Отже, в результаті обчислень згідно з критерієм Ньюмена-Коулса наступні групи: «Контроль» і «50 мг/л Ni²⁺», «10 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺» достовірно відрізняються між собоюпри p<0,05.

Зауваження!!! В даній роботі не будемо розглядати критерій Тюкі (Tukey's test), оскількивінспівпадає з критерієм Ньюмена-Коулса у всьому, крім способу визначення критичного значення. В критерії Ньюмена-Коулса критичне значення q_кр залежить від інтервалу порівняння l, а в критерії Тюкі замість l беруть число груп m. Таким чином критичне значення q_кр одне і теж саме. Критерій Ньюмена-Коулса є покращеним варіантом критерію Тюкі. В критерії Тюкі при всіх порівняннях використовується максимальне критичне значення q_кр, тому відмінності між групами будуть виявлятись рідше, ніж при використанні критерію Ньюмена-Коулса. Ми пропонуємо використовувати для порівняння трьох і більше груп між собою саме критерій Ньюмена-Коулса.