Коефіцієнт асиметрії та ексцесу

В математичній статистиці під асиметрією розуміють показник, який характеризує ступінь несиметричності розподілу, а ексцес – ступінь загостреності (згладженості) кривої розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини, яку будують за результатами вимірювань (спостережень) в порівнянні з функцією нормального розподілу даних.

Перевірку гіпотези про те, що дані мають нормальний розподіл, використовуючи коефіцієнти асиметрії та ексцесу, здійснюють в наступній послідовності:

1. Обчислюють коефіцієнт асиметрії за формулою:

(38)

Його величина може бути позитивною (для правосторонньої асиметрії) і негативною (для лівосторонньої асиметрії).

2. Обчислюють показник ексцесу за формулою:

(39)

Якщо показник ексцесу більший за нуль, то розподіл є гостровершинним із відхиленням від нормального розподілу, а якщо менший за нуль – то плосковершинним із відхиленням від нормального розподілу (розподіл Стьюдента) (рис. 5).

 

 

Рис 5. Ексцес розподілу даних

 

3. Обчислюють середні квадратичні відхилення коефіцієнту асиметрії та ексцесу:

(40)

 

(41)

4. Розраховують показники і :

(42)

(43)

Якщо показники і дорівнюють або більші за 3, то говорять про статистично достовірну відмінність емпіричного розподілу від нормального при певному рівні статистичної значущості p.

В таблиці 12 представлені середні квадратичні відхилення коефіцієнту асиметрії та ексцесу для різних значень n, починаючи з 10.

Таблиця 12. Середні квадратичні відхилення коефіцієнту

асиметрії та ексцесу

n
	0,615	2,063
	0,598	2,256
	0,582	2,425
	0,567	2,573
	0,553	2,704
	0,540	2,821
	0,528	2,926
	0,516	3,021
	0,506	3,107
	0,495	3,186
	0,486	3,258

 

Проте слід врахувати і те, що коефіцієнти асиметрії та ексцесу слугують не стільки для перевірки нормальності, скільки для виявлення відхилень розподілу, який досліджується, від нормального.

Наведемо приклад перевірки даних вибірки на нормальний розподіл або перевіримо наскільки розподіл даних відрізняється від нормального.

Приклад 18. В результаті досліджень активності каталази в печінці карася сріблястого ми отримали наступні дані: 117, 115, 135, 121, 145, 123, 147, 127, 127, 144 Од/мг білка (наведені власні дані). Перевіримо дані за допомогою наведених вище критеріїв (складовий критерій d, критерій Шапіро-Уілка, коефіцієнти ексцесу та асиметрії) на нормальність їх розподілу.

В підрозділі 5.1 згадувалося, що перед перевіркою даних вибірки на нормальний розподіл інколи перевіряється рівність між медіаною та середньою арифметичною величиною. Для цього слід розташувати всі дані в порядку їх зростання:

115, 117, 121, 123, 127, 127, 135, 144, 145, 147

Знаходимо медіану (підрозділ 2.1):

Ме=127

Обчислюємо середнє арифметичне значення за формулою (2):

130 (Од/мг білка).

Різниця між і становить 2%, а, отже, ці дані можуть мати нормальний розподіл. Перевіряємо дані за вищевказаними критеріями на нормальний розподіл.

За допомогою складового критерію d:

Критерій І

1. Обчислюємо середнє арифметичне значення за формулою (2):

2. За формулою (32) обчислюємо зміщене середнє квадратичне відхилення s^*:

11,3.

3. Знаходимо значення критерію І за формулою (31):

0,82

4. За таблицею 7 при рівні статистичної значущості p<0,05 знаходимо і Гіпотеза про нормальність за критерієм І підтверджується, якщо виконується нерівність (33). В даному випадку ця нерівність виконується, оскільки:

0,72<0,82<0,91

Гіпотеза про нормальний розподіл величин підтверджується.

Критерій ІІ

1. За формулою (10) обчислюємо середнє квадратичне відхилення s:

2. З таблиць 8 та 9 для P =0,95 знаходимо значення .

3. Обчислюємо значення :

4. Знаходимо різниці між даними та середньою величиною :

; ; ; ; ;

; ; ; ;

5. Оскільки жодне значення із різниць (пункт 4) не є більшим за , тому приймається гіпотеза про нормальний розподіл величин за критерієм ІІ.

Формулюємо загальний висновок: дані мають нормальний розподіл, о скільки критерій І і критерій ІІ приймають цю гіпотезу.

 

За допомогою критерію Шапіро-Уілка:

1. Розміщуємо дані у порядку зростання:

115, 117, 121, 123, 127, 127, 135, 144, 145, 147

2. Обчислюємо значення величини SS за формулою (34):

s²= 115²+117²+121²+123²+127²+127²+135²+144²+145²+147² – (115+117+121+123+127+127+135+144+145+147)²/10 = 1277

3. Обчислюємо значення величини b за формулою (35):

b = а₁₀ (y₁₀-y₁)+ а₉ (y₉-y₂)+ а₈ (y₈-y₃)+ а₇ (y₇-y₄)+ а₆ (y₆-y₅)

Коефіцієнти а_і беремо із таблиці 10:

а₁₀ = 0,5769; а₉ = 0,3291; а₈ = 0,2141; а₇ = 0,1224; а₆= 0,0399.

b = 0,5769(147-115)+ 0,3291(145-117) + 0,2141(144-121) + 0,1224(135-123) + 0,0399(127-127) = 34,1

4. За формулою (36) обчислюємо значення W -критерію:

W=1163/1277=0,911

5. Знаходимо критичне значення W_кр при n =10 та рівні статистичної значущості p< 0,05 (таблиця 11):

W_кр=0,842

В даному випадку виконується нерівність (37), оскільки 0,911>0,842. Тому можна говорити про те, що отримані нами дані підпорядковуються нормальному розподілу.