Непараметричний критерій Данна для порівняння декількох груп між собою

Як аналог до вищевказаних параметричних критеріїв (Ньюмена-Коулса, Тюкі та Даннета) можна використати непараметричний критерій Данна (Dunn's test). Чому ми зупинились саме на цьому критерії? Перш за все це пов’язано із тим, що його можна використовувати для порівняння вибірок як рівного, так і різного об’єму, а також порівнювати контрольну групу із дослідними, що є досить зручним.

Критерій Данна визначається за формулою:

(68)

де і – середні ранги двох вибірок, що порівнюються (). Для обчислення середнього рангу значення порівнюваних вибірок об’єднуються в один ряд і розміщуються від меншого до більшого в порядку зростання; найменше значення буде мати ранг 1. Потім отримані ранги вже сумуються окремо для кожної вибірки і діляться на кількість значень у вибірці.

n_A і n_B – об’єми вибірок, що порівнюються;

R _i – це ранг будь-якого значення в об’єднаному ряді даних, які порівнюються;

N – загальний об’єм всіх вибірок, що порівнюються.

Критичне значення Q_кр наведені в таблиці 21. Порівняння вибірок проводиться за таким самим алгоритмом, як це робиться при використанні критерію Ньюмена-Коулса. Якщо Q>Q_кр, то групи даних достовірно відрізняються між собою при вибраному рівні статистичної значущості p.

Таблиця 21. Критичні значення Q_кр для попарного порівняння груп

Кількість вибірок, які порівнюються k	Рівень статистичної значущості p
0,05	0,01
	1,960	2,576
	2,394	2,936
	2,639	3,144
	2,807	3,291
	2,936	3,403
	3,038	3,494
	3,124	3,570
	3,197	3,635
	3,261	3,692
	3,317	3,743
	3,368	3,789
	3,414	3,830
	3,456	3,868
	3,494	3,902

 

При порівнянні дослідної групи із контрольною формула для Q залишається незмінною, тільки критичне значення Q_кр потрібно взяти із таблиці 22.

Таблиця 22. Критичні значення Q_кр для порівняння з контрольною групою

Кількість вибірок, які порівнюються k	Рівень статистичної значущості p
0,05	0,01
	1,960	2,576
	2,242	2,807
	2,394	2,936
	2,498	3,024
	2,576	3,091
	2,639	3,144
	2,690	3,189
	2,735	3,227
	2,773	3,261
	2,807	3,291
	2,838	3,317
	2,866	3,342
	2,891	3,364
	2,914	3,384

 

Приклад 25. Порівняємо дані з прикладу 23 за критерієм Данна порівняємо дослідні групи між собою і з контрольною групою.

1. Початкові дані оформлюємо у вигляді таблиці:

Показник	Контроль	10 мг/л Ni^2+	25 мг/л Ni^2+	50 мг/л Ni^2+
АСОД, Од/мг білка	Ранг	АСОД, Од/мг білка	Ранг	АСОД, Од/мг білка	Ранг	АСОД, Од/мг білка	Ранг
xi (Ri)	51,6		68,5		55,8		41,4	3,5
48,2		78,5		41,4	3,5	43,7
69,4		78,2		56,2		37,9
		74,5		65,8		42,4
92,0		76,7		42,0		27,3
87,9		74,1		60,0		46,4
			58,5	27,5
	17,3	18,3	9,75	4,58
n
N

 

2.1. За формулою (67), порівнюючи контрольну групу із тією групою, яка найбільш від неї відрізняється (в даному випадку з групою риб, які перебували у воді з концентрацією йонів нікелю 50 мг/л Ni²⁺), обчислюємо Q:

2.2. При рівні статистичної значущості p<0,05 та кількості вибірок k=4, Q_кр=2,394 (таблиця 22).

2.3. Умова Q>Q_кр виконується, оскільки 3,116>2,394. Тому групи даних: «Контроль» і «50 мг/л Ni²⁺» достовірно між собою відрізняються при p<0,05.

3.1. Порівнюємо між собою групи даних: «Контроль» і «25 мг/л Ni²⁺»:

3.2. Умова Q>Q_кр не виконується, оскільки 1,850<2,394. Тому групи даних: «Контроль» і «25 мг/л Ni²⁺» між собою не відрізняються, а, отже, не відрізняються між собою також і групи даних: «Контроль» та «10 мг/л Ni²⁺».

4.1. Порівнюємо між собою групи даних: «10 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺»:

4.2. Умова Q>Q_кр виконується, оскільки 3,361>2,394. Тому групи даних: «10 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺» достовірно між собою відрізняються при p<0,05.

5.1. Порівнюємо між собою групи даних: «10 мг/л Ni²⁺» і «25 мг/л Ni²⁺»:

5.2. Умова Q>Q_кр не виконується, оскільки 2,095<2,394. Тому групи даних: «10 мг/л Ni²⁺» і «25 мг/л Ni²⁺» між собою статистично не відрізняються.

6.1. Порівнюємо між собою групи даних: «25 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺»:

6.2. Умова Q>Q_кр не виконується, оскільки 1,266<2,394. Тому групи даних: «25 мг/л Ni²⁺» і «50 мг/л Ni²⁺» між собою статистично не відрізняються.

 

Висновки. Результати обчислень за непараметричним критерієм Данна (приклад 25) повністю відтворили результати обчислень за параметричним критерієм Стьюдента-Ньюмена-Коулса (приклад 23). Тому ми також рекомендуємо використання непараметричного критерію Данна для порівняння груп даних з малим числом повторів (n<15) поряд з вище розглянутими параметричними критеріями.