Непарний та парний критерії Стьюдента

Критерій Стьюдента надзвичайно популярний у біологічних дослідженнях. Він використовується у більш ніж в половині біологічних та медичних досліджень. Проте часто дослідники забувають те, що цей критерій має певні обмеження. Так, його потрібно використовувати тільки:

- для порівняння двох груп, а не декілька груп попарно;

- групи, що відібрані для порівняння мають мати нормальний розподіл даних.

В даному розділі ми розглянемо непарний та парний критерії Стьюдента та їхні аналоги серед непараметричних критеріїв.

Перед тим як перейти до опису даного критерію потрібно розглянути питання однорідності дисперсій. Для перевірки гіпотези однорідності дисперсій є ряд як параметричних, так і непараметричних критеріїв. Серед параметричних слід виділити наступні: критерій Бартлетта (Bartlett’s test), критерій Кокрена (Cochran’s test), критерій Хартлі (Hartley’s test), критерій Левене (Levene’s test), критерій Фішера (Fisher’s test). Cеред непараметричних виділяють: критерій Ансарі-Бредлі (Ansary-Bradley’s test), критерій Муда (Mood’s test), критерій Сіджела-Тюкі (Siegel-Tukey test), критерій Кейпена (Capon’s test), критерій Клотца (Klotz’s test). В даній роботі ми розглянемо тільки два параметричних критерії: Кокрена (для вибірок, що містять одинакову кількість даних) та Фішера (для вибірок, що містять різну кількість даних), оскільки серед всіх вищевказаних вони мають досить високу чутливість.

Якщо вибірки містять одинакову кількість даних (n₁=n₂), то рівність дисперсій сукупностей можна проаналізувати за допомогою критерію Кокрена G (в літературі можна зустріти Кочрена, Кохрена). Ми рекомендуємо використовувати саме цей критерій,який, по-перше, є досить простим у застосуванні, по-друге, є чутливішим за інші критерії, по-третє, саме його рекомендують використовувати в тих випадках, коли одна із вибіркових дисперсій є значно більшою за інші. За цим критерієм дисперсії сукупностей будуть рівними тоді, коли виконується умова:

G <G_кр (44)

Спочатку обчислюють відношення максимальної оцінки дисперсії до суми оцінок всіх дисперсій:

(45)

Після цього значення G порівнюють ізкритичним значенням критерію Кокрена G_кр (таблиця 15). Розподіл величини G залежить від числа ступенів свободи df, кількості членів у вибірці n і прийнятого рівня статистичної значущості p.

Якщо виконується нерівність G <G_кр , то дисперсії вибірок можна вважати рівними.

Таблиця 15. Критичні точки розподілу критерію Кокрена (df – число ступенів свободи, n – кількість членів у вибірці) при

статистичній значущості p

Рівень статистичної значущості p<0,05
n	df
	0,9392	0,9057	0,8772	0,8534	0,8332	0,8159	0,8010	0,7880
	0,7977	0,7457	0,7071	0,6771	0,6530	0,6333	0,6167	0,6025
	0,6841	0,6287	0,5895	0,5598	0,5365	0,5175	0,5017	0,4884
	0,5981	0,5440	0,5063	0,4783	0,4564	0,4387	0,4241	0,4118
	0,5321	0,4803	0,4447	0,4184	0,3980	0,3817	0,3682	0,3568
	0,4800	0,4307	0,3974	0,3726	0,3535	0,3384	0,3259	0,3154
	0,4377	0,3910	0,3595	0,3362	0,3185	0,3043	0,2926	0,2829
	0,4027	0,3584	0,3286	0,3067	0,2901	0,2768	0,2659	0,2568
	0,3733	0,3311	0,3029	0,2823	0,2666	0,2541	0,2439	0,2353
	0,3624	0,2880	0,2624	0,2439	0,2299	0,2187	0,2098	0,2020
	0,2758	0,2419	0,2195	0,2034	0,1911	0,1815	0,1736	0,1671
	0,2205	0,1921	0,1735	0,1602	0,1501	0,1422	0,1357	0,1303

 

Якщо вибірки містять різну кількість даних (n₁≠n₂), то рівність дисперсій сукупностей можна проаналізувати за допомогою критерію Фішера F (в літературі можна зустріти Фішера-Снедекора).

За критерієм Фішера за умови виконання нерівності:

(46)

де s₁>s₂, – квантиль розподілу Фішера при рівні статистичної значущості p і числі ступенів свободи: df₁=n₁–1, df₂=n₂–1 (n₁, n₂ – об’єми вибірок), причому df₁ – число ступенів свободи більшої дисперсії, а df₂ – число ступенів свободи меншої дисперсії, то дисперсії вибірок можна вважати рівними (таблиця 16).

Таблиця 16. Критичні значення F_кр при рівні статистичної значущості p<0,05

df2 ()	df1 ()
	10,1	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85
	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75
	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49	2,45
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42	2,38
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37	2,32
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34	2,30
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,44	2,37	2,32	2,27
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,42	2,36	2,30	2,25
	4,24	3,39	2,99	2,76	2,60	2,49	2,40	2,34	2,28	2,24
	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31	2,25	2,20
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24	2,19
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,55	2,43	2,35	2,28	2,22	2,18
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16

 

Тепер опишемо детальніше критерій Стьюдента.

Критерій Стьюдента, як уже було сказано вище, призначений для порівняння двох груп, проте на практиці він використовується для оцінки великої кількості груп через попарне їх порівняння. При цьому вступає в силу ефект багатьох порівнянь. Наприклад, досліджували вплив йонів важких металів А і Б на активність каталази. Дослідження проводили на трьох групах:

група А – група, що отримала йони металу А;

група Б – група, що отримала йони металу Б;

група С – група, що не отримала жодного препарату.

За допомогою критерію Стьюдента проводили 3 парних порівняння: групу А порівнювали з групою В, групу Б – з групою В і на кінець А з Б. Отримавши достатньо високе значення t в кожному із трьох порівнянь, повідомили, що «p<0,05». Це означає, що ймовірність помилкового висновку про існування відмінностей не перевищує 5%. Але це невірно, оскільки ймовірність помилки значно перевищує 5%. Чому так? В дослідженні був прийнятий 5% рівень значущості. Отже, ймовірність помилитися при порівнянні груп А і В – 5%. Проте, слід взяти до уваги, що ми помилимося в 5% випадків при порівнянні груп Б і В і в 5% випадків – при порівнянні груп А і Б. В загальному випадку ця імовірність рівна:

(47),

де k – число порівнянь.

При невеликому числі порівнянь можна використовувати наступну формулу:

(48),

тобто ймовірність помилитися хоча би в одному із порівнянь приблизно рівна ймовірності помилитися в одному, помноженому на число порівнянь.

Тому в даному випадку ймовірність помилитися хоча би в одному із порівнянь складає приблизно 3×5=15%. Якщо порівнюються чотири групи між собою, то ми отримуємо шість пар. Тоді при рівні статистичної значущості p<0,05 ми отримуємо значення 5×6 = 30 %. І коли дослідник, виявивши таким чином «ефективний» препарат, говорить про ймовірність помилки 5%, то насправді ця ймовірність складає 30%.

Отже, із всього вищесказаного можна зробити наступні висновки:

1. Критерій Стьюдента може бути використаний для перевірки гіпотези про різницю середніх значень тільки для двох груп.

2. Якщо критерій Стьюдента був використаний для перевірки різниці між декількома групами, то істинний рівень значущості можна отримати, перемноживши рівень значущості на число можливих порівнянь.

3. Якщо експеримент передбачає велику кількість груп потрібно використати дисперсійний аналіз.

Проте для порівняння більш, ніж трьох груп попарно між собою критерій Стьюдента можна використовувати, ввівши поправку Бонферроні, але цю поправку слід використовувати тільки тоді, коли порівнюється невелика кількість груп між собою (до 8). Проте найчастіше для порівняння великої кількості груп між собою використовують критерій Ньюмена-Коулса (див. дальше по тексту), який має значно більшу чутливість в порівнянні з критерієм Стьюдента з поправкою Бонферроні.

На практиці розрізняють тест Стьюдента для незалежних та залежних даних. Чим вони відрізняються?

Якщо дані, які ми хочемо порівняти, були отримані на різних об’єктах (наприклад, визначаємо активність одного і того ж ферменту на карасях в контрольній групі, і групі, що піддавалась впливу йонів кобальту. Для цього дослідження потрібно як мінімум два карасі). Тут ми використаємо непарний тест Стьюдента для незалежних даних (Normal Student’s t-test).

Якщо дані були отримані на одному об’єкті (наприклад, кількість еритроцитів до і після впливу йонів кобальту, то в цьому дослідженні використовували одного карася), ми будемо використовувати парний тест Стьюдента для залежних даних (Paired Student’s t-test). Тест для залежних даних потужніший, оскільки використовуються величини, що належать одному і тому ж об’єкту.

Щодо визначення значення статистик критерію Стьюдента, то в різних книгах по статистиці можна зустріти формули, які дещо між собою відрізняються. Розглянемо, в якому випадку слід використовувати ту чи іншу формулу:

1. Якщо ми порівнюємо великі варіаційні ряди (n>30) або два рівнозначні варіаційні ряди (n₁=n₂), в яких мала кількість значень (n<30), то для обчислення значення статистики критерію Стьюдента рекомендують використовувати наступну формулу:

(49),

де і – середні арифметичні величини, m₁ і m₂ – середні квадратичні помилки середніх арифметичних значень відповідно першого і другого варіаційних рядів.

2. Якщо ми порівнюємо два нерівнозначні варіаційні ряди (n₁≠n₂), в яких велика кількість значень (n>30), то для обчислення значення статистики критерію Стьюдента слід використовувати наступну формулу:

(50),

де і – середні арифметичні величини, k – об’єднана оцінка стандартного відхилення σ, n₁ і n₂ – об’єми вибірок.

Як обчислити середні арифметичні величини подано вище. Об’єднану оцінку стандартного відхилення σ можна обчислити за формулою:

(51)

3. Якщо ми порівнюємо два нерівнозначні варіаційні ряди (n₁≠n₂), в кожній з яких досить мала кількість значень (n<10), то для обчислення значення статистики критерію Стьюдента використовують наступну формулу:

(52)

Оскільки в дослідженнях часто використовують шість-вісім повторів (n=6-8), то саме цю формулу слід використовувати для обчислення незалежних даних.

4. У книзі Лакіна Г.Ф. «Біометрія» наведена спеціальна формула для обчислення значення статистики критерію Стьюдента, коли дисперсії вибірок, що порівнюються, неоднорідні, а саме:

(53)

Число ступенів свободи df визначають при цьому за наступними формулами:

1) при n₁=n₂:

(54)

2) при n₁≠n₂:

(55)

5. Вищевказані варіанти формул доцільно використовувати при непарному тесті Стьюдента для незалежних даних. Якщо ми маємо справу із залежними даними, то в такому випадку при парному тесті Стьюдента слід використовувати при числі ступенів свободи df = n-1 наступну формулу:

(56),

де - середнє значення змін між даними до і після експерименту;

– стандартна помилка змін між даними до і після експерименту;

- вибіркове стандартне відхилення змін d.

Наведемо приклади, де можна застосувати формулу (52) для незалежних даних і формулу (56) для залежних даних та поетапне обчислення в цих випадках t-критерію.

Приклад 19 (Normal Student’s t-test). В печінці карася сріблястого визначали активність лактатдегідрогенази, причому одна із дослідних груп тварин піддавалась дії йонів кобальту в концентрації 100 мг Со²⁺/л води. Отримали наступні результати (використано власні дані):

Контрольна група	Група риб, що піддавалась дії йонів кобальту в концентрації 100 мг Со^2+/л води
№ риби	Активність ЛДГ, Од./мг білка	№ риби	Активність ЛДГ, Од./мг білка
	1,88		2,29
	2,26		2,46
	2,09		2,51
	2,08		2,27
	2,07

Відомо, що показники активності лактатдегідрогенази в печінці карася сріблястого розподіляються нормально.

Найкраще скористатись оформленням обчислень у вигляді таблиці:

 

Показник, що обраховується	Контрольна група	Група риб, що піддавалась дії йонів кобальту в концентрації 100 мг Со^2+/л води
n (в даному випадку, дорівнює кількості риб)	n1 = 5	n2 = 4
Число ступенів свободи df=n-1	df1 = 4	df2 = 3
	1,88+2,26+2,09+2,08+ 2,07 = 10,38	2,29+2,46+2,51+2,27 = 9,53
=	= 10,38 / 5 = 2,08	= 9,53 / 4 = 2,38
	1,88 – 2,08 = - 0,20 2,26 – 2,08 = 0,18 2,09 – 2,08 = 0,01 2,08 – 2,08 = 0 2,07 – 2,08 = - 0,01	2,29 – 2,38 = - 0,09 2,46 – 2,38 = 0,08 2,51 – 2,38 = 0,13 2,27 – 2,38 = - 0,11
()^2	(- 0,20)^2 = 0,040 0,18^2 = 0,032 0,01^2= 0,0001 0^2 = 0 (- 0,01)^2 = 0,0001	(- 0,09)^2 = 0,008 (- 0,08)^2 = 0,006 0,13^2 = 0,017 (- 0,11)^2 = 0,012
	= 0,072	= 0,043
Дисперсія	0,018	0,014
Критерій Фішера-Снедекора:	F=1,29 Оскільки за табличними даними при df1 =4, df2 =3 та p <0,05 Fкр =9,12, то виконується умова F<Fкр. Дисперсії однорідні(у випадку неоднорідності для наступних обчислень можна скористатись критерієм Стьюдента за формулою (53))
	= 0,086
	2,38 – 2,08 = 0,30
	3,49

 

Для визначення однорідностей чи відмінностей між групами необхідно звернутися до таблиці Стьюдента (таблиця 1). Беручи до уваги число ступенів свободи df=n₁ + n₂ – 2 та рівень статистичної значущості p знаходимо табличне значення t. За табличними даними для статистичної значущості p=0,05 і при df = 7 значення t_кр=2,37. В даному випадку t=3,49, оскільки t > t_кр, це говорить про достовірну різницю між досліджуваними рядами при рівні статистичної значущості p<0,05.

Приклад 20 (Paired Student’s t-test). В плазмі крові карасів визначали активність лактатдегідрогенази до і після дії на них йонів кобальту в концентрації 100 мг Со²⁺/л води. Отримали наступні результати:

 

№ риби	Активність ЛДГ, Од/мг білка
до впливу йонів кобальту	після впливу йонів кобальту
	1,33	1,87
	1,12	1,68
	1,23	1,54
	1,15	1,63
	1,13	1,52
	1,19	1,60

 

Всі обчислення оформляємо у вигляді таблиці:

Показник, що обраховується	Результати обчислень
n (в даному випадку, дорівнює кількості риб)
d	1,87-1,33=0,54 1,68-1,12=0,56 1,54-1,23=0,31 1,63-1,15=0,48 1,52-1,13=0,37 1,60-1,19=0,41
	0,44
	0,17
	0,069
	6,38
df=n-1

 

Із таблиці 1 знаходимо критичне значення t_0,01 при рівні статистичної значущості p<0,01 і ступенів свободи df=5. Воно рівне 4,03, тобто менше за отримане нами (6,38). Таким чином, збільшення активності ЛДГ в плазмі крові карасів після впливу на них йонів кобальту в концентрації 100 мг Со²⁺/л води достовірне при рівні статистичної значущості p<0,05.

6.2.2. Тест Уелча як модифікація тесту Стьюдента та U -критерій Манна-Уітні як непараметричний аналог непарного критерію Стьюдента

Для порівняння двох груп між собою при їх неоднорідних дисперсіях можна використати інший критерій – критерій Уелча (Welch t-test).

Алгоритм визначення достовірної рівності чи відмінності двох вибірок при певному рівні статистичної значущості p за критерієм Уелча наступний:

1. Потрібно обчислити для вибірок, які порівнюються, критерій Уелча Т_е за формулою:

(57),

де n₁ і n₂ – об’єм вибірок, що порівнюються;

і – середні арифметичні значення для вибірок;

і – дисперсії для вибірок, що порівнюються.

2. Порівняти за абсолютним значенням з критичним . Якщо > , то говорять, що «відмінності достовірні при рівні статистичної достовірності p<0,05».

U- критерій Манна-Уітні (Mann-Whitney U-test або Wilcoxon-Mann-Whitney test, або Wilcoxon rank-sum test)

Даний критерій являє собою непараметричну альтернативу t-критерію для незалежних вибірок. Він підходить для порівняння малих вибірок: у кожній з вибірок має бути не менше 4 значень ознаки. Допускається, щоб в одній вибірці було 3 значення, але в другій тоді повинно бути не менше п'яти.

Умовою для застосування U- критерію Манна-Уітні є відсутність в групах, що порівнюються, співпадаючих значень ознаки (всі числа – різні) або дуже мале число таких збігів.

Алгоритм обчислення U -критерію Манна-Уітні наступний:

1. Дані двох груп об’єднують і впорядковують по збільшенню. Ранг 1 отримує найменше із всіх значень, ранг 2 – наступне і т.д. Найбільший ранг отримує найбільше значення серед двох груп. Якщо значення співпадають, їм надають один і той самий середній ранг (наприклад, якщо два значення знаходяться на 3-му і 4-му місцях, то вони отримують ранг 3,5).

2. Підраховують окремо суму рангів (Т), що припали на частку елементів першої вибірки, і окремо – на частку елементів другої вибірки.

3. За формулою (58) обчислюють значення U -критерію Манна-Уітні:

(58),

де n₁ і n₂ – об’єми вибірок, що порівнюються;

n_х – об’єм вибірки, в якої більша сума рангів (Т_х).

Т_х – більша сума рангів вибірки.

 

4. Обчислене значення U порівнюють із критичним значенням (таблиця 17). Якщо отримане значення U менше табличного або дорівнює йому, то визнається статистична значимість відмінностей між рівнями ознаки в розглянутих вибірках. Достовірність відмінностей тим вища, чим менше значення U.

 

Таблиця 17. Критичні значення U -критерію Манна-Уітні (P<0,05)

Розмір більшої вибірки

Розмір меншої вибірки

Приклад 21. Перевіримо наявність достовірних відмінностей між двома групами за даними із прикладу 19, використовуючи U -критерій Манна-Уітні та Уелча.

За U-критерієм Манна-Уітні:

1. Надаємо ранги даним та обчислюємо суми рангів (T) для груп:

Контрольна група	Група риб, що піддавалась дії йонів кобальту в концентрації 100 мг Со^2+/л води
Ранг	Активність ЛДГ, Од/мг білка	Ранг	Активність ЛДГ, Од/мг білка
	1,88		2,29
	2,26		2,46
	2,09		2,51
	2,08		2,27
	2,07
Т1=15		Т2=30

 

2. Порівнюємо суми рангів груп між собою. В нашому випадку Т₂>Т₁.

3. За формулою (58) обчислюємо значення U -критерію Манна-Уітні:

Порівнюємо отримане нами значення критерію U із його табличним значенням U_кр. За таблицею 17 при порівнянні груп чисельністю 4 і 5 отримуємо, що при p<0,05 U_кр рівне 1. Ми отримали, що U=0, тому гіпотеза про однорідність вибірок відкидається (відмінності достовірні при цих рівнях статистичної значущості).

За критерієм Уелча:

Всі обчислення проводимо у вигляді таблиці:

Показник, що обраховується	Контрольна група	Група риб, що піддавалась дії йонів кобальту в концентрації 100 мг Со^2+/л води
n (в даному випадку, дорівнює кількості риб)	n1 = 5	n2 = 4
df=n-1	df1=4	df2=3
	1,88+2,26+2,09+2,08+ 2,07 = 10,38	2,29+2,46+2,51+2,27= 9,53
=	= 10,7 / 5 = 2,08	= 9,53 / 4 = 2,38
	1,88 – 2,08 = - 0,20 2,26 – 2,08 = 0,18 2,09 – 2,08 = 0,01 2,08 – 2,08 = 0 2,07 – 2,08 = - 0,01	2,29 – 2,38 = - 0,09 2,46 – 2,38 = 0,08 2,51 – 2,38 = 0,13 2,27 – 2,38 = - 0,11
()^2	(- 0,20)^2 = 0,040 0,18^2 = 0,032 0,01^2= 0,0001 0^2 = 0 (- 0,01)^2 = 0,0001	(- 0,09)^2 = 0,008 (- 0,08)^2 = 0,006 0,13^2 = 0,017 (- 0,11)^2 = 0,012
	= 0,072	= 0,043
	0,018	0,014
	2,38 – 2,08 = 0,30
	4,47
	0,38
Te	(4,47×0,30)/0,38=3,53

 

Порівнюємо значення Т_е з критичним значенням Т_0,05:

3,53>1,96.

Отже, групи достовірно відрізняються між собою із статистичною значущістю p<0,05.

Підведемо короткий підсумок по критеріях, які можна застосувати при порівнянні двох незалежних груп. Отже, при застосуванні параметричного (непарний критерій Стьюдента або Уелча) та непараметричних (Т-критерій Манна-Уітні) критеріїв для одних і тих самих даних (приклади 19 і 21) ми отримали однакові результати про те, що середні значення для виборок достовірно відрізняються одне від одного при заданих рівнях значущості р. Тому ці критерії ми пропонуємо застосовувати разом, якщо дослідник має сумніви у чутливості того чи іншого критерію через малу вибірку (n<15).

 

6.2.3. W -критерій Уілкоксона: непараметричний аналог парного критерію Стьюдента

Сам алгоритм для обчислення W -критерію Уілкоксона (Wilkinson's test) наступний:

1. Спочатку потрібно обчислити зміни показників до і після певного впливу. Відкидаються пари, в яких зміни дорівнюють нулю.

2. Ці зміни розміщують в порядку зростання і присвоюють їм певні ранги (див. алгоритм для обчислення t -критерію Манна-Уітні).

3. Присвоюють кожному рангу знак у відповідності з напрямом змін: якщо значення збільшилось – «+», а якщо зменшилось – «–».

4. Обчислюють суму знакових рангів W (див. приклад 22).

5. Порівнюють величину W із табличним значенням W_кр (таблиця 18). Якщо виконується нерівність W≥W_кр, то дані між собою до і після впливу певної речовини достовірно відрізняються при певному рівні значущості p.

 

Таблиця 18. Критичні значення W -критерію Уілкоксона (двосторонній варіант)

n	W	p	n	W	p
		0,062			0,022
		0,032		0,048
	0,062			0,020
		0,016		0,050
	0,046			0,022
		0,024		0,048
	0,054			0,022
		0,020		0,050
	0,054			0,020
		0,020		0,050
	0,048			0,020
		0,018		0,048
	0,054			0,020
		0,020		0,050
	0,052			0,020
				0,048

 

Приклад 22. Перевіримо наявність достовірних відмінностей між двома групами за даними із прикладу 20, використовуючи W -критерій Уілкоксона.

1. Надаємо знакові ранги даним та обчислюємо W:

№ риби	Активність ЛДГ, Од/мг білка	Величина змін	Ранг змін	Знаковий ранг змін
до впливу йонів кобальту	після впливу йонів кобальту
	1,33	1,87	0,54		+5
	1,12	1,68	0,56		+6
	1,23	1,54	0,31		+1
	1,15	1,63	0,48		+4
	1,13	1,52	0,37		+2
	1,19	1,60	0,41		+3
					W=21

 

2. Порівнюємо отримане нами значення критерію W із його табличним значенням W_кр. За таблицею 18 при чисельності групи n=6 отримуємо, що W_кр знаходиться в межах 19-21. Ми отримали, що W=21, тому гіпотеза про рівність вибірок відкидається.

 

Отже, при застосуванні параметричного (парний критерій Стьюдента) та непараметричного (W-критерій Уілкоксона) критеріїв для залежних даних (приклади 20 і 22) ми отримали однакові результати про те, що вибірки між собою достовірно відрізняються при заданих рівнях значущості p. Тому ці критерії ми також пропонуємо застосовувати разом, якщо дослідник сумнівається у чутливості того чи іншого критерію через малу кількість повторів (n<15).