Неузгодженості у записах при використанні стандартної похибки середнього

Дуже часто в статтях і дисертаціях зустрічається запис «M ± m», який, як припускається, пояснює тип представлення даних. Автори під M розуміють середню арифметичну величину, а під m – стандартну похибку середнього. Втім, якщо немає деталізації, то лишається не зрозумілим, що саме дослідник вкладає у символи M та m. Для того, щоб запис не залишав сумнівів, ми рекомендуємо в публікаціях давати повне пояснення на кшталт «Всі значення представлені у вигляді середньої ± стандартне відхилення» (у англомовній літературі M ean ± S tandart D eviation (M ± S.D.)) чи «Вибіркові характеристики представлені у вигляді середньої ± помилка середньої». (у англомовній літетарурі M ean ± S tandart E rror of M ean (M ± S.E.M. або M ± S.E.)).

РОЗДІЛ 4. АНАЛІЗ ДАНИХ, ЯКІ ВИПАДАЮТЬ В ХОДІ ДОСЛІДЖЕНЬ (ПРОМАХИ І СИСТЕМАТИЧНІ ПОХИБКИ)

 

Значення, які потрапляють у вибірку, можуть дуже істотно відрізнятись за величиною (неоднорідні дані). Візьмемо наш приклад зі зростом 992 осіб. Вибірка може виглядати по-різному: може включати осіб зі зростом 145, 147, 154 та 199 см, або 145, 165, 181 та 193 см. Звичайно, що у першій вибірці значення 199 см виглядає сумнівним, але зрозуміло, що помилку у вимірюванні зросту важко допустити. В таких випадках кажуть, що вибірка не є репрезентативною, тобто якимось чином у неї потрапили тільки люди низького росту.

Коли дослідник отримує неоднорідні дані, то завжди перед ним стоїть питання: які ж дані слід брати до уваги – одні чи інші? В такому випадку часто самовільно викидаються ті дані, які дослідник вважає невдалими – занадто великими, чи занадто малими, тобто малоправдоподібними. Але такий підхід є неправильним і часто приводить до хибності отриманих результатів.

Щоб таких помилок не було треба скористатись статистичними критеріями. Розглянемо деякі із них.

Критерій Шовене

Цей критерій для виключення промахів є досить простим. Для його обчислення, крім значень і s, потрібно знайти величину коефіцієнта u (різниця між найбільшою (або найменшою) варіантою і середнім арифметичним, поділена на стандартне відхилення):

(18)

або

(19)

Після цього обчислення отриманий коефіцієнт співставляють з критичним значенням u_кр для n значень. Якщо u≥u_кр, то це значення виключають із подальших обрахунків. Величини u_кр наведенів таблиці 2.

Таблиця 2. Величини коефіцієнта u_кр

n	uкр	n	uкр	n	uкр
	1,61		1,96		2,19
	1,64		2,00		2,20
	1,68		2,03		2,24
	1,73		2,07		2,28
	1,79		2,10		2,31
	1,86		2,13		2,36
	1,92		2,16		2,39

 

Якщо у варіаційному ряді є декілька величин, що різко відрізняються від інших, то можна застосовувати інший підхід. За наведеною вище таблицею залежно від числа варіант визначають u_кр і обчислюють та . Якщо значення, яке вважають ймовірним промахом, не входить в інтервал цих обчислень, воно дійсно є промахом і відкидається.

Приклад 13. Використавши критерій Шовене, перевіримо наступні дані: 14,8; 14,2; 14,8; 33,6; 14,1 на наявність промахів.

і s для цієї вибірки будуть дорівнювати, відповідно, 18,3 і 8,6.

Оскільки кількість варіант дорівнює 5, то, використовуючи таблицю 2, отримаємо u_кр = 1,68. Далі обчислюємо:

= 18,3+8,6×1,68=32,7

Оскільки 33,6>32,7, то значення варіанти 33,6 є промахом його виключається з наступних обчислень. Тобто, заново обчислюють і s і в кінцевому варіанті як характеристики вибірки використовують обчислені заново параметри.

Q-критерій Діксона

При його використанні отримані результати вимірювань записують у варіаційний ряд за збільшенням:

(x₁<x₂<…<x_n)

Даний критерій визначається як:

( для мінімального значення ) (20)

або (для максимального значення) (21).

Проте розрахунок за цими формулами буде коректним тільки для n =3-7. При n = 8-10 в знаменнику повинна стояти різниця між вірогідним промахом і значенням, найближчим до максимального (або мінімального) значення:

(для мінімального значення) (22);

(для максимального значення) (23).

Значення Q порівнюють з критичним значенням критерію, наведеним у таблиці 3. Якщо критичне значення менше дослідного, то вірогідний промах є істинним. При цьому як рівень статистичної значущості p беруть 0,10, а не 0,05. Зазвичай на промахи перевіряють мінімальне і максимальне значення. Після відкидання промахів знову повторюють обчислення.

 

Таблиця 3. Критичні значення Q_кр при різних рівнях статистичної значущості p і числі вимірювань n

n	Рівень статистичної значущості p
0,10	0,05	0,01
	0,941	0,970	0,994
	0,765	0,829	0,926
	0,642	0,710	0,821
	0,560	0,625	0,740
	0,507	0,568	0,680
	0,468	0,526	0,634
	0,437	0,493	0,598
	0,412	0,466	0,568

Приклад 14. Використавши критерій Діксона, перевіримо на наявність промахів наступні дані: 14,8; 14,2; 14,8; 33,6; 14,1. і s для цієї вибірки будуть дорівнювати, відповідно, 18,3 і 8,6.

1) із поданих даних формуємо варіаційний ряд:

14,1; 14,2; 14,8; 14,8; 33,6

2) за формулою (23) обчислюємо Q:

Порівнюючи Q, яке ми отримали в результаті обчислень (0,964), з критичним значенням Q_кр (0,642) при n=5 і рівні статистичної значущості p<0,10 (таблиця 3), значення 33,6 є промахом.

Критерій Романовського

Його застосовують, якщо n≤20. Для цього обчислюють β за формулами:

при x_i < (24)

при x_i > (25)

Причому середнє арифметичне значення () та стандартне відхилення () у формулах (24) і (25) обчислюють без врахування ймовірного промаху. Обчислене значення β порівнюють з критичним β_кр при рівні статистичної значущості p <0,05 (таблиця 4).

Таблиця 4. Критичні значення критерію β_кр

Рівень статистичної значущості p	Число вимірювань n
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

Якщо β≥ β_кр, то таке значення вважають промахом і відкидають.

Приклад 15. Використавши критерій Романовського, перевіримо наступні дані: 14,8; 14,2; 14,8; 33,6; 14,1 на наявність промахів.

Величини і s для цієї вибірки без ймовірного промаху (33,6) будуть дорівнювати, відповідно, 14,5 і 0,4.

Використовуючи таблицю 4 для n=4 і p<0,05 отримуємо β_кр = 1,71. Далі обчислюємо β за формулою (25):

β=(33,6-14,5):0,4=47,7

Отже, β≥ β_кр, тому значення 33,6 є промахом. Якщо значення, яке ставилось під сумнів, не виявилось промахом, то заново обраховують величини і s і саме їх використовують як характеристику вибірки, яку аналізують.

Критерій Ірвіна

Для отриманих експериментальних даних визначають величину критерію λ за формулою:

(26),

де х_n+1 – вірогідний промах;

x_n – попереднє значення у варіаційному ряді;

s – середнє квадратичне відхилення, яке обчислене за всіма значеннями у варіаційному ряді. При цьому припускається, що об’єм вибірки має бути не менший, ніж n+1 або дорівнює n+1.

Потім цей коефіцієнт порівнюють із табличним значенням λ_кр (таблиця 5).

Таблиця 5. Критерій Ірвіна λ_кр

Число вимірювань n	Рівень статистичної значущості p
0,1	0,05	0,01
	1,75	2,19	2,88
	1,60	2,00	2,65
	1,49	1,87	2,49
	1,42	1,77	2,37
	1,36	1,69	2,28
	1,31	1,63	2,21
	1,27	1,58	2,15
	1,23	1,54	2,10

 

Якщо λ>λ_кр, то дана величина, що аналізується, є промахом. Даний критерій можна використовувати при і при невідомому виді розподілу даних.

Приклад 16. Використавши критерій Ірвіна, перевіримо наступні дані: 14,8; 14,2; 14,8; 33,6; 14,1 на наявність промахів. і s для цієї вибірки будуть дорівнювати, відповідно, 18,3 і 8,6.

1) із поданих даних формуємо варіаційний ряд:

14,1; 14,2; 14,8; 14,8; 33,6

2) за формулою (26) обчислюємо для значення 33,6:

3) для n=5 і p<0,05 із таблиці 6 отримаємо .

Отже, значення 33,6 є промахом, оскільки 2,19>1,87.

 

Для виявлення промахів у вибірці ми рекомендуємо використовувати хоча б два із вказаних вище критеріїв. Такі славнозвісні критерії,як правило трьох сигм (за цим правилом промахом буде вважатись таке значення, яке не входить в інтервал значень ), критерії Шарльє, Смірнова не можуть бути використані для перевірки варіаційного ряду на наявність промахів, якщо n <30. Критерій Башинського є менш чутливим до наявності промахів, ніж наведені вище методи, хоча і передбачається його використання при 5<n<69.

 

Критерій Аббе

Після виключення отриманих даних промахів за допомогою вказаних вище методів, можна перевірити дані на наявність систематичних помилок, що також часто зустрічається при отриманні результатів дослідження. Для цього можна використати критерій Аббе.

Суть даного методу полягає в оцінці дисперсії результатів вимірювань звичайним шляхом за формулою:

(27)

і обчисленням суми квадратів послідовних різниць:

(28).

Критерій Аббе буде обраховуватись як:

(29).

Якщо значення, яке ми отримали, є меншим за критичне v_кр, то в результатах вимірювань виявляється систематична похибка. Критичні значення критерію Аббе наведені в таблиці 6.

 

Таблиця 6. Критичне значення критерію Аббе v _кр

n	vкр при p, що дорівнює	n	vкр при p, що дорівнює
0,01	0,05	0,01	0,05
	0,313	0,390		0,431	0,578
	0,269	0,410		0,447	0,591
	0,281	0,445		0,461	0,603
	0,307	0,468		0,474	0,614
	0,331	0,491		0,487	0,624
	0,354	0,512		0,499	0,633
	0,376	0,531		0,510	0,642
	0,396	0,548		0,520	0,650
	0,414	0,564		0,530	0,657

Приклад 17. Використавши вищерозглянутий критерій, перевіримо наступні дані: 14,8; 14,2; 14,8; 33,6; 14,1 на наявність систематичних похибок.

Після виключення із даних значення 33,6 за допомогою наведних вище критеріїв перевіряємо їх на наявність систематичних похибок:

1) із поданих даних формуємо варіаційний ряд:

14,1; 14,2; 14,8; 14,8

2) використовуючи формулу (27), отримаємо:

3) за допомогою формули (28) знаходимо :

4) використовуючи формулу (29), отримаємо :

;

5) за допомогою таблиці 6 для n=4 і рівні статистичної значущості p<0,05 отримаємо значення v_кр=0,390.

Отже, наші дані не містять систематичних помилок, оскільки 0,434>0,390.

Систематичні помилки репрезентативності виникають при порушенні принципу випадковості відбору (упереджений вибір елементів, недосконалий вибір одиниці відбору тощо). Систематичні помилки мають односторонній, тенденційний напрям і призводять до зсунення (викривлення) результатів обстеження в той чи інший бік. Їх ще визначають як помилки зміщення (зсунення).

Так, якщо для визначення середньої успішності потоку студентів взяти вибірку студентів, які сидять на останніх партах, то середня успішність вибірки може бути меншою за середню спішність всього потоку. Якщо вибірку сформувати зі студентів, які сидять в перших рядах, то середня успішність у такій вибірці може бути вищою від середньої успішності потоку. При такому нерівномірному відборі статистична оцінка успішності потоку буде заздалегідь занижена або завищена.