Метод составления и решения уравнений Кирхгофа.

Положим, что в схеме, содержащей "m" ветвей к "n" узлов, заданными являются все элементы и конфигурация, а искомыми - токи в ветвях. Число неизвестных при этом равно числу ветвей.

Наметим путь расчета.

1). Выбираем произвольно положительные направления токов в ветвях (удобно в ветвях с источниками напряжений направить токи по стрелке эдс).

2). Составляем уравнения 1-го закона Кирхгофа. Возможно составление "n" уравнений вида.

Нетрудно заметить, что каждый ток войдет в два уравнения с противоположными знаками. Поэтому сумма уравнений тождественно равна нулю, т.е. одно из уравнений вытекает из n-1 остальных. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить n – 1 независимых уравнений.

3). Недостающие для определения "m" неизвестных токов уравнения должны быть записаны по 2-ому закону Кирхгофа. Их необходимо иметь m - (n - 1) = m - n + 1.

Если ко всем ветвям применить закон Ома, то получится "m" уравнений вида: , где - напряжение между узлами i и р, Е_k, I_k - эдс источника и ток в к-ой ветви, направленные от узла к узлу р, R - сопротивление к-ой ветви. Более удобна запись: .

В систему уравнений закона Ома входят "m" неизвестных токов I_k и n-1 неизвестных потенциалов (потенциал одного узла принимается равным нулю). Если исключить эти неизвестные потенциалы, останется m - n + 1

уравнений, связывающих эдс источников с напряжениями на сопротивлениях, т. е. уравнения 2-го закона Кирхгофа. Для того, чтобы уравнения были независимыми, необходимо, чтобы в каждое последующее входила хотя бы одна новая ветвь. Практически удобно записывать уравнения для контуров, не имеющих внутри ветвей, т. е. для ячеек.

4). Количество необходимых уравнений 1-го и 2-го законов Кирхгофа легко устанавливается по графу цепи. Для этого составляется дерево графа. Ранее установлено, что число ветвей дерева графа как раз равно n - 1,

т. е. равно числу необходимых и достаточных уравнений 1-го закона Кирхгофа. Число необходимых и достаточных уравнений 2-го закона Кирхгофа m - n + 1 равно числу ветвей связи.

5). При расчете цепей часто определяется мощность источников и приемников энергии. Следует учитывать, что должен соблюдаться закон сохранения энергии, вследствие которого

В левой части уравнения при совпадении направлений Е_h и I_h произведение положительно, а при несовпадении- отрицательно.

6). При наличии в схеме источников тока их следует учитывать при записи уравнений 1-го закона Кирхгофа. Отдаваемая ими энергия учитывается в левой части уравнения баланса мощностей.

7). Если ток определен отрицательным, то его действительное направление противоположно принятому в начале расчета.

Метод контурных токов (ячеек).

Является одним из основных методов расчета сложных цепей. Он заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании 2-го закона Кирхгофа так называемые контурные токи. При этом исключаютсяуравнения 1-го закона Кирхгофа.

Для независимых контуров по 2-ому закон Кирхгофа:

Исключим токи внутренних ветвей, выразив их через токи внешних

Полученная система уравнений содержит три неизвестных I₁ , I₂ , I₃ , через которые могут быть затем определены I₄ и I₅.

Уравнения могут быть записаны сразу, если приписать каждой ячейке некоторый контурный ток, совпадающий с током внешних ветвей. Тогда в каждой ячейке алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме произведений

а) контурного тока данной ячейки на сумму сопротивлений контура;

б) контурных токов каждой смежной ячейки - на сопротивления смежных ветвей.

Правило знаков остается таким же, как и при записи уравнений 2-го закона Кирхгофа.

Общий вид уравнений для "n" контуров: где R_nn - сумма сопротивлений n-ой ячейки, R_n2 - сумма сопротивлений ветви, общей для n-ого и 2-го контуров,

Е_n - алгебраическая сумма эдс n-ого контура.

Полученная система может быть решена с помощью определителей:

где - определитель системы, - алгебраическое дополнение, полученное из определителя системы умножением на и исключением i -ой строки и k -гo столбца.

Если схема содержит источники тока, то можно принять ток каждого замыкающимся по ветви любого незамкнутого контура, дополняющего ветвь с источником тока до замкнутого. Падение напряжения за счет такого тока на сопротивлении контура учитывается вместе с падением напряжений от контурных токов.

Метод узловых потенциалов.

Этот метод позволяет уменьшить число уравнений Кирхгофа за счет исключения уравнений 2-го закона. На схеме принимаем потенциал точки "О" равным нулю.

Выразим токи всех ветвей, примыкающих к узлу "а" по закону Ома:

На основании 1-го закона Кирхгофа: т.е. .

Аналогичного вида уравнения могут быть получены для узла ‘b’, а также для любого узла более сложной схемы.

Анализ уравнений показывает, что для любого узла алгебраическая сумма произведений эдс на проводимость всех подключенных к нему ветвей равна

а) потенциалу данного узла, умноженному на сумму проводимостей подключенных к нему ветвей,

б) минус произведение потенциалов остальных узлов, умноженных каждый на сумму проводимостей ветвей, соединяющих узел с тем, для которого пишется уравнение.

Если эдс направлена к узлу, то E_kG_k входит в уравнения с "плюсом", от узла - с "минусом".

Источники тока следует учитывать в левой части уравнений с "плюсом", если они направлены к данному узлу. Общий вид уравнений: где: G₁₁ - сумма проводимостей ветвей, подключенных к 1-му узлу, G₁₂ - сумма проводимостей ветвей, соединяющих 1-й узел со 2-м.

Уравнения записываются для (n - 1) узлов и решаются, например, с помощью определителей. По полученным узловым потенциалам определяются токи ветвей с помощью закона Ома.

 

Метод наложения (суперпозиции).

Пусть для некоторой электрической цепи записаны уравнения Кирхгофа вида:

Решение системы линейных уравнений однозначно определяет токи.

Предполагая поочередно в этой же цепи наличие только одной эдс при прочих равных нулю, можно для каждой эдс вычислить соответствующие токи ветвей, составив уравнения:

для Е₁, для Е₂. и так далее.

Сложив уравнения почленно, получим:

Полученная система имеет единственное решение для неизвестных и т.д.

Из сравнения исходных уравнений и только что полученных следует, что решения должны совпадать, т.е.

Таким образом, ток каждой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, образованных действием каждой эдс в отдельности (принцип наложения).

На этом основан расчет цепей методом наложения.

Напряжение на участке цепи с сопротивлением R:

т.е. принцип наложения применим и к напряжениям.

Принцип наложения применим также и к источникам тока. При этом остальные источники тока отключаются.

Принцип наложения не применяется для мощностей - квадратичных функций токов и напряжений.

Преобразование электрических цепей.

Различные преобразования применяются обычно совместно с другими методами расчета. При этом цепь остается эквивалентной заданной, но расчет токов значительно упрощается.

Принцип взаимности.

Если эдс, действуя в одной ветви сложной цепи / q / при отсутствии прочих эдс, вызывает в другой ветви / l / ток I_l, то такая же эдс, действуя в ветви l при отсутствии прочих эдс, вызовет в первой /q/ такой же ток

Согласно методу контурных токов:

Так как для системы ток в ветви l определяется из где , а алгебраические дополнения вида получаются из , путем вычеркивания l - столбца и q - строки и умножения полученного определителя на .

Общие сопротивления R _{q l} и R_{l q}. равны, т.к. R₁₂ = R₂₁, R₂₃ = R₃₂ и т.д. Поэтому и отличается только тем, что строки являются столбцами .Следовательно Принцип может быть применен, например, для определения токов в различных ветвях схемы при одной эдс.