Начала математического анализа

СОДЕРЖАНИЕ

 

	стр.
1. Цели и задачи дисциплины; требования к результатам освоения дисциплины   2. Тематический план   3. Формы и процедура текущего и промежуточного контроля для обучающихся.   4. Контрольные измерительные материалы для обучающихся I курса.   5. Контрольные измерительные материалы для обучающихся 2 курса.   6. Темы для самостоятельного изучения для обучающихся   7. Список литературы	2 – 3       4 - 5     6 – 15     15 - 18     19 - 21

Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения математики обучающийся должен

Знать/понимать

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

• вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

АЛГЕБРА

Уметь

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

• проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы,

логарифмы и тригонометрические функции;

• вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Уметь

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций;

• описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функциинаибольшие и наименьшие значения;

• решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функцийи их графиков;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Уметь

• вычислять производные и первообразныеэлементарных функций, используя справочные материалы;

• исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;

• вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уметь

• решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

• составлять уравнения и неравенствапо условию задачи;

• использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;

• изображать на координатной плоскости множества решений

простейших уравнений и их систем;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• построения и исследования простейших математических моделей;

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Уметь

• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

• вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

• анализа информации статистического характера;

ГЕОМЕТРИЯ

Уметь

• распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

• описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

• анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

• изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

• строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

• решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

• использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

• проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

• вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства

Тематический план по учебнику «Математика» Начальное и среднее профессиональное образование Башмаков М.И.

Количество часов – 295

№	Название темы	Кол-во часов
	1 курс.
	Введение
	Развитие понятия о числе
	Корни. Степени и логарифмы
	Прямые и плоскости в пространстве
	Комбинаторика
	Координаты и векторы
	Основы тригонометрии
	Функции и графики
	Повторение
	2 курс.
	Многогранники и круглые тела.
	Начала математического анализа.
	Интеграл и его применение.
	Элементы теории вероятностей и математической статистики.
	Уравнения и неравенства.
	Повторение
	Итого

Формы и процедура текущего и промежуточного контроля по базовой общеобразовательной дисциплине «Математика», для обучающихся I курса.

На первом курсе количество часов по программе составляет: 148 часов.

Включает изучение следующих разделов:

1. Развитие понятия о числе
2. Корни, степени и логарифмы
3. Прямые и плоскости в пространстве
4. Комбинаторика
5. Координаты и векторы
6. Основы тригонометрии
7. Функции и графики

 

По теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей» предусмотрена письменная контрольная работа на 45 минут.

По окончании разделов предусмотрен текущий контроль в виде:

1. Тестирования по теме: «Понятие о числе»
2. Тестирования по теме: «Корень n-ой степени. Степени.»
3. Тестирования по теме: «Логарифмы. Показательные и логарифмические функции»
4. Тестирования по теме: «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»
5. Тестирования по теме: «Прямые и плоскости в пространстве»
6. Тестирования по теме: «Комбинаторика»
7. Тестирования по теме: «Координаты и векторы»
8. Тестирования по теме: «Основы тригонометрии»
9. Тестирования по теме: «Тригонометрические уравнения и неравенства»
10. Тестирования по теме: «Функции и графики»

 

По окончании 1 семестра предусмотрен промежуточный контроль в виде теста, состоящего из 10 вопросов, с решением задач, рассчитанного на 40 минут, в виде контрольных измерительных материалов по темам: «Развитие понятия о числе», «Корни, степени и логарифмы», «Прямые и плоскости в пространстве».

По окончании II семестра предусмотрен промежуточный контроль в виде теста, состоящего из 10 вопросов, с решением задач, рассчитанного на 40 минут, в виде контрольных измерительных материалов по темам: «Развитие понятия о числе», «Корни, степени и логарифмы», «Прямые и плоскости в пространстве», «Комбинаторика», «Координаты и векторы», «Основы тригонометрии», «Функции и графики».

Результаты работ контрольного характера отражаются в учебном журнале. Обучающиеся, получившие неудовлетворительную оценку за тест, обязаны переписать ее в течение 10 дней.

Формы и процедура текущего и промежуточного контроля по базовой общеобразовательной дисциплине «Математика», для обучающихся 2 курса.

На втором курсе количество часов по программе составляет: 147 часов.

Итого по программе: 295 часов.

Включает изучение следующих разделов:

1. Многогранники и круглые тела.

2. Начала математического анализа.

3. Интеграл и его применение.

4. Элементы теории вероятностей и математической статистики.

5. Уравнения и неравенства.

6. Повторение

По темам: «Применение производной к исследованию функций», «Интеграл и его применение», «Уравнения и неравенства» предусмотрена письменная контрольная работа на 45 минут.

По окончании разделов предусмотрен текущий контроль в виде:

1. Тестирования по теме: «Многогранники»

1. Тестирования по теме: «Тела вращения»
2. Тестирования по теме: «Производная и ее вычисление»
3. Тестирования по теме: «Первообразная и ее вычисление»
4. Тестирования по теме: «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

 

По окончании изучения разделов и повторения пройденного за 2 курса обучения предусмотрен итоговый контроль в виде: письменной экзаменационной работы, за курс средней школы, рассчитанной на 5 академических часов.

Результаты работ контрольного характера отражаются в учебном журнале. Обучающиеся, получившие неудовлетворительную оценку за тест, обязаны переписать ее в течение 10 дней.

Тема: «Понятие о числе»

Выберите правильный ответ.

1. Какое из чисел является иррациональным:

а) б) в) г)

1. Чему равен квадрат мнимой единицы:

а) -1 б) -3 в) 0 г) 9

1. Укажите сопряженное комплексное число к: 3 і -5

а) 4 і -8 б) 3 і +5 в)2 і -4 г) 2 і +4

1. Вычислите:

а) 2 б) 6 в) г) -2

1. Вычислите:

а) нет корней б) 4 в) г)

1. Вычислите:

а) б) -3 в)5-7 г)5+7

1. Вычислите: (2- і) (4 -3 )

а) 6 - 2 б) 4 - 2 в) 5 - 7 г) 5 +7

1. Решите уравнение: z² - 4z +5=0

а) z =2 - б) z =2-2 в) z =2-4 г) z =1- 4

z =2+ z =2+2 z =2+4 z =1+4

9.Вычислите: (-1+ )

а) 2¹⁰ б) 2^-10 в) 2¹¹ г) 2¹²

10.Решите уравнение: z

а)

 

б)

в) z

г) z

 

Тема: «Комбинаторика»

Выберите правильный ответ.

1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 4; 5 и 3?

а) 3; б) 9;

в) 6; г) 12.

2. Во сколько раз число размещений 9 объектов на трех местах меньше числа размещений тех же объектов на пяти местах?

а) в 20 раз б) в 30 раз в) в 23 раза г) в три раза

3. Пусть множества А, В и С – числовые промежутки, причем А = [-7; -2], В = [-3; 4],

С = [0;5]. Найдите: А U В U С.

а) [-7;-3]; б) [-3;0];

в) [-7;5]; г) [-2;5].

4. Пусть множества А, В и С – числовые промежутки, причем А = [-5; 1], В = [0; 8];

С = [-3;10]. Найдите А .

а) [-7;1]; б) [0;1];

в) [-2;8]; г) [-5;10]

5. Вычислите: Р₄

а) 4; б) 24;

в) 4!; г) 20.

6. Вычислите: ∙

а) ∙ ; б) 20;

в) ; г) 5.

7. Вычислите: С ∙ Р₃

а) ∙ 3!; б) 720;

в) ; г) 5040.

8. Чему равна сумма биноминальных коэффициентов для: (х+1)⁷

а) 32 б) 8 в) 128 г) 16

9. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?

а) 9 б) 210 в) 8 г) 64

10. По формуле бинома Ньютона раскройте скобки: (х+1)⁵.

а) х³ + 27; б) х³ + 3х² + 3х + 27;

в) х⁵ + 10х⁴ + 10х² + 1; г) х⁵ + 5х⁴ +10х³ + 10х² + 5х + 1.

 

Тема: «Функции и графики»

Выберите правильный ответ.

1. Укажите рациональную функцию:

а)y=k x + b б)y=a²x²+a₁x+a₀

в)y= г) y=x ^r

2. Какая из функций имеет точку разрыва:

а) у= -3х²-6х+3 б) у= sinх

в) у= lgх г) у=

3. График функции у =

а) возрастает; б) параллелен оси х;

в) убывает; г) параллелен оси у.

4. Как связаны между собой области определения функции у= и у=

а) графики симметричны относительно начала координат

б) графики симметричны относительно оси Оу

в) графики симметричны относительно оси Ох

г) графики совпадают

5. Найдите область определения функции y= :

а) (-1;∞) б) (0;∞) в) (-∞;0) г) (1;∞)

6. Найдите период функции f(x)= sin4x cos x – cos 4x sin x:

а) 3π б) в) 2 г) 2

7. Найдите промежутки возрастания функции f(х) = 0,5cos x -1:

а) б)

в) г)

8. Исследуйте функцию f(x)=2x²sinx, на четность:

а) нечетная б) четная в) ни четная ни нечетная.

9. Как будет меняться график функции у=kf(х), при изменении параметра k:

а) параллельный перенос по оси абсцисс на вектор (а;0)

б) растяжение вдоль оси абсцисс

в) растяжение вдоль оси ординат в k раз

г) параллельный перенос по оси ординат на вектор (0;b)

10. Какие из функций имеет асимптоты:

а) у=х³ б) у= - 4 в) у= 2^х г) у=

 

Тема: Многогранники

Выберите правильный ответ.

1. Выберите основную формулу для вычисления площади полной поверхности призмы:

а) Sп.п. = 2Sосн + Sб.п.; в) Sп.п. = Sосн + 2Sб.п;

б) Sп.п. = Sосн + Sб.п; г). Sп.п. = Sосн ∙ H.

2. Определите формулу для вычисления диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям:

а) d = a + b + c; в) d² = a² + b² + c²;

б) d = a b c; г) d = ½ a b c.

3. Выберите формулу для вычисления объема призмы:

а) V = Sосн ∙ H; в) V = ⅓ Sосн ∙ H;

б) V = a b c; г) V = a + b + c.

4. Выберите формулу для вычисления объема пирамиды:

а) V = Sосн ∙ H; в) V = ⅓ Sосн ∙ H;

б) V = a b c; г) V = (a + b) ∙ H.

5. Диагональным сечением наклонного параллелепипеда является:

а) прямоугольник; в) четырехугольник;

б) квадрат; г) параллелограмм

6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами: 5см, 8см и 12см.

а) 156 см³; в) 25 см;

б) см²; г) 480 см³.

7. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 2см, 3см и 6см.

а) 11 см; в) √11 см;

б) 7 см; г) 49 см.

8. Найдите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 3см, 4см и 6см.

а) 72 см²; в) 150 см²;

б) 30 см²; г) 42 см.

9. Найдите площадь полной поверхности четырехугольной призмы, если стороны основания равны 8дм и 5дм, а высота 11дм.

а) 143 дм²; в) дм;

б) 210 дм²; г) 366 дм².

10. Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, если основание пирамиды равно 2см, а боковое ребро равно 3см.

а) 11 см; в) см;

б) см; г) 6 см.

 

Тема: «Тела вращения».

Выберите правильный ответ.

1. Выберите основную формулу для вычисления объема конуса:

а) V = π R² H; в) V = ⅓ π R² H;

б) V = a b c; г) V = 2 π R H.

 

2. Выберите основную формулу для вычисления объема цилиндра:

а) V = π R² H; в) V = ⅓ π R² H;

б) V = 2π R H; г) V = a b c.

3. Определите: какая геометрическая фигура является диаметральным сечением шара?

а) эллипс; в) окружность;

б) круг; г) сфера.

4. Определите: какой геометрической фигурой является сечение, параллельное оси цилиндра?

а) треугольник; в) прямоугольник;

б) круг; г) параллелограмм.

5. Определите: какая геометрическая фигура является основанием наклонного цилиндра?

а) окружность; в) прямоугольник;

б) эллипс; г) круг.

6.Найти полную поверхность конуса, если: R= 4 см.; ℓ= 6 см.

а) 40π см²; в) 24π см²;

б) 48π см²; г) 10π см².

7. Радиус основания цилиндра 4см, а высота 6см. Найдите диагональ осевого сечения.

а) 14 см; в) см;

б) 10 см; г) см.

8. Радиус основания конуса 2см, а высота 7см. Найдите образующую.

а) 4 см; в) √11 см;

б) 3 см; г) √53 см.

9.Усеченный конус, радиус оснований равен 10м и 4м требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Найти диаметр основания этого цилиндра.

а) 28 м; в) 4 м;

б) м; г) м.

10. Шар, радиус которого равен 20см, пересечен плоскостью на расстоянии 4см от центра. Найдите площадь сечения

а) 384π см²; в) 80π см²;

б) 24π см²; г) 160π см².

Модуль 6. Комбинаторика

1. Из истории комбинаторики.

2. Задача де Мере.

3. Бином Ньютона.

4. Треугольник Паскаля.

Интеграл и его применение.

1. Что такое интеграл.

2. Плотность интегральной величины.

3. Интегральные суммы.

4. Рефераты по темам: «История вывода формулы Ньютона-Лейбница».

5. Задачи на вычисление неопределенного интеграла.

6. Задачи на вычисление площади поверхности пространственного тела

7. Задачи на вычисление объемов тел.

Уравнения и неравенства.

1. Разрешимость алгебраических уравнений.

2. К.Ф.Гаусс и его труды.

3. Жозеф Луи Лагранж и его труды

4. Системы и совокупности уравнений.

5. Графическое решение уравнений.

6. Графическое решение неравенств.

7. Графическое решение систем уравнений.

8. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

9. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

10. Решение уравнений повышенной сложности.

11. Решение систем уравнений повышенной сложности.

Список литературы

Учебники:

основной: Начальное и среднее профессиональное образование «Математика» Башмаков М.И. (М.: Академия, 2012)

 

дополнительные:

1.«Алгебра и начала анализа 10 - 11» Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М.,Шварцбурд С.И.. (М.: Просвещение, 2008 и последующие издания)

2.«Геометрия 10 - 11» Погорелов А.В.(М.:Просвещение, 2010 и последующие издания)

 

Дополнительная литература

1. С.М.Никольский «Алгебра» пособие для самообразования (М.:Наука, 1984)

2. П.В.Стратилатова «Из опыта преподавания математики» сборник статей (М.:ГУПИ Мин.пр. РСФСР, 1955)

3. Е.С.Кочетков «Алгебра и элементарные функции» уч.пособие (М.:Просвещение, 1972)

4. М.И.Башмаков «Математика» уч.пособие (М.:Высшая школа, 1987)

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

	стр.
1. Цели и задачи дисциплины; требования к результатам освоения дисциплины   2. Тематический план   3. Формы и процедура текущего и промежуточного контроля для обучающихся.   4. Контрольные измерительные материалы для обучающихся I курса.   5. Контрольные измерительные материалы для обучающихся 2 курса.   6. Темы для самостоятельного изучения для обучающихся   7. Список литературы	2 – 3       4 - 5     6 – 15     15 - 18     19 - 21

Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения математики обучающийся должен

Знать/понимать

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

• вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

АЛГЕБРА

Уметь

• выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

• проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы,

логарифмы и тригонометрические функции;

• вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Уметь

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

• строить графики изученных функций;

• описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функциинаибольшие и наименьшие значения;

• решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функцийи их графиков;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Уметь

• вычислять производные и первообразныеэлементарных функций, используя справочные материалы;

• исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;

• вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уметь

• решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

• составлять уравнения и неравенствапо условию задачи;

• использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;

• изображать на координатной плоскости множества решений

простейших уравнений и их систем;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• построения и исследования простейших математических моделей;