Геометрический смысл предела функции в точке

 

1. Дан график функции .

2. Неравенство означает, что отстоит от не далее, чем на . Т. е. или «говорят» принадлежит проколотой - окрестности точки оси Ох: [24].

3. Неравенство означает, что значения функции

не выходят за интервал оси ординат. Т. е. значения функции принадлежат - окрестности точки оси Оy: .

4. Если выполняется равенство , то точка графика функ- ции должна находиться в полосе шириной , ограниченной прямыми , , для всех значений х, удаленных от точки не дальше, чем на [2].

 

Рис.2.

 

Эквивалентность двух определений

Предела функции в точке

Теорема №2. Первое и второе определение предела функции в данной точке эквивалентны.

Доказательство

I. 1. Пусть – предел функции f(x) в точке согласно первому определению предела функции в точке. Требуется доказать, что число - предел функции согласно определения №2.

2. Предположим обратное, что число не является пределом этой функции согласно определения №2 [2].

3. Это значит, что не для любого можно указать такое , что из неравенства следовало бы неравенство . Т. е., сущест- вует такое , для которого какое бы ни взять, найдётся хоть одна точка такая, что , но .

4. Возьмём в качестве последовательно такие числа:

5. Тогда для во множестве X найдётся такая точка что

, а .

Для во множестве X найдётся такая точка что , а ;

Для во множестве X найдётся такая точка что ,а ;

…………………………………………………………………………

Для во множестве X найдётся такая точка , а .

…………………………………………………………………………

6. В результате получается последовательность точек, отличных от : , сходящаяся к , так как разность стремится к нулю при (.

7. Тогда согласно первому определению предела функции в точке по Гей не, соответствующая последовательность значений функции схо- дится к числу , т. е. [2].

8. Следовательно, по определению предела последовательности по найдется такой номер , что для всех будет выполнятся .

9. А по принятому (п.5) должно выполняться неравенство .

10. Полученное противоречие и доказывает, что число является преде- лом функции f(x) в точке согласно определения №2 (по Коши).

II. 1. Пусть дано, что число – предел функции в точке по определению №2. Требуется доказать, что число - предел функции по определению №1.

2. Если число - предел функции в точке согласно определения №2, то существует такое , что из неравенства следует неравенство .

3. Возьмём любую последовательность точек : , схо- дящуюся к точке , .

4. Тогда согласно определения предела последовательности будет выполняться неравенство .

5. Вместе с тем в силу второго определения предела функции в точке будет выполняться и , .

6. Так как выбиралось произвольно, последовательность точек выбиралась произвольно, то это означает, что для любой , сходящейсяк ().

7. Таким образом, число является пределом в точке согласно первому определению (по Гейне) [2]. Ч.т.д.

Замечание №2 1. Итак, установлена эквивалентность обоих опре- делений предела функции в точке. Можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

2. Оба определения сами по себе еще не дают способа отыскания предела данной функции в точке. С их помощью иногда можно установить, будет ли то или иное число пределом функции, или можно убедиться, что данная функция вовсе не имеет предела [15].

Односторонние пределы

 

1. Кроме рассмотренного предела функции в точке существует такое понятие как предел в точке слева или предел в точке справа.

Определение №3. Число называется правым пределом (или пределом справа) функции в точке , если для любой, сходящейся к последовательности значений аргумента , все элементы которой больше , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Символически: или или .

Определение №4. Число называется левым пределом (пределом слева) функции в точке , если для любой, сходящейся к , последо- вательности значений аргумента , все элементы которой меньше , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Символически: или или .

Иными словами: Если бы в определении предела функции в точке потребовалось бы, чтобы х стремился к не любым способом, а только слева, оставаясь все время меньше , то получили бы определение предела функции в точке слева.

Аналогично, если существует предел функции в точке при условии, что х стремился к только справа, оставаясь все время больше , то такой предел называется пределом справа [2].

Определение №5. Пределы слева и справа функции в точке называются односторонними в отличие от предела функции в точке, который называется двусторонним.

Теперь рассмотрим равносильные определения односторонних пределов функции в точке слева и справа «на языке ».

Определение №6. Число называется правым пределом функции в точке , если существует такое , что для всех х, удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство [2].

Символически:

Графически:

Рис.3.

Определение №7 («на языке »). Число называется левым пределом (пределом слева) функции в точке , если

.

Символически: .

Графически:

 

Рис.4.

 

Пример 5. Функция (сигнум) имеет в точке левый и правый пределы функции в точке (рис. 5).

а)

б)

 

Рис.5.

Замечание №3. Не пишут , а пишут .

, а пишут [2].