Тема 1.1. Матрицы и определители

РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1.1. Матрицы и определители

Написание рефератов, докладов

Базис в пространстве;

Нелинейные операции над векторами;

Понятие определителя n -го порядка.

Создание презентаций

Декартова прямоугольная система координат в пространстве

Тема 1.2. Система линейных уравнений

Исследовательская работа. Решение задач

Линейная однородная система n уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.

Исследовать системы линейных уравнений, для совместных систем найти общее и одно частное решение:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

?

 

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение системы m линейных уравнений с n неизвестными , , …, .

2. Что называют решением системы m линейных уравнений с n неизвестными?

3. Какая система называется совместной?

4. Какие системы называются эквивалентными?

5. Что значит исследовать систему линейных уравнений?

6. В чем заключается суть метода Гаусса для исследования систем линейных уравнений?

7. К системе линейных уравнений с n неизвестными дописали произвольное уравнение с m неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы?

8. Из несовместной системы линейных уравнений удалили какое-то одно уравнение. Будет ли полученная система совместной?

9. Что можно сказать о множестве решений системы линейных уравнений, ранг r(A) матрицы этой системы и ранг r(A расширенной матрицы равны нулю?

10. Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с её общим решением?

РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные положения теории пределов

1. Первый замечательный предел:

следствие из первого замечательного предела:

a R

2. Второй замечательный предел:

=℮

следствие из второго замечательного предела:

=℮

 

3. Раскрытие неопределенности вида

Первое правило Лопиталя:

Если = =0, то

=

когда последний предел существует (конечный или бесконечный)

4. Раскрытие неопределенности вида

Второе правило Лопиталя:

Если = = то

когда последний предел существует (конечный или бесконечный)

5. Неопределенности вида 0 • , , , , и их раскрытие

Неопределенности вида 0 • и могут быть сведены путем алгебраических преобразований к неопределенностям вида и , а затем раскрыты с помощью тождества

=

сводятся к неопределенности вида 0•

Например, = =1

6. Эквивалентными называются бесконечно малые, предел отношения которых равен единице.

Отношение двух бесконечно малых величин можно заменить отношением эквивалентных величин, например,

 

7. При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при x→0:

x, 1 , x, x, x

x, 1 x • (в частности, x),

.

Операции над пределами функций

Пусть функции ⨍(x) и (x) определены в некоторой окрестности точки и, кроме того,

= A,

= = B.

Тогда:

1) = A B

2) = A • B

3) = (при условии B≠0)

4) =

Тема 2.1. Функции, пределы, непрерывность

Написание рефератов, докладов

- Непрерывность некоторых элементарных функций

?

 

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке .

2. В чем различие между понятиями непрерывности функции и пределов функции в точке ?

3. Почему из непрерывности функции слева и справа в точке следует непрерывность функции в этой точке? На основании какой теоремы?

4. Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями.

5. Докажите, что функция f(x) непрерывна в любой точке x.

6. Почему можно утверждать, что функция f(x)= непрерывна на всей числовой прямой?

7. Какие точки называются точками разрыва функции?

8. Дайте определения точек разрыва первого и второго рода.

9. Укажите, в какой точке и какого рода разрыв имеет функция f(x)= .

 

Исследовательская работа. Решение задач

Некоторые нестандартные ситуации при вычислении пределов функций.

Упражнения. Найдите: 1. . (Отв. 10.)

2. . (Отв. .) 3. . (Отв. 1.)

4. . (Отв. .) 5. . (Отв. .)

6. . (Отв. .) 7. . (Отв. 12.)

8. . (Отв. 1.) 9. . (Отв. 4.)

10. . (Отв. 2.) 11. . (Отв. .)

12. . (Отв. 14.) 13. . (Отв. .)

14. . (Отв. 9.) 15. .

(Указание: сделать подстановку x-1=y.) (Отв. 3.)

16. . (Отв. .) 17. . (Отв. 3.)

18. . (Отв. .)

19. ( ). (Отв. 3.)

20. ( ). (Отв. .)

21. (x ). (Отв. .)

22. (x ). (Отв. 0.) 23. x ctg x. (Отв. 1.)

24. sin . (Отв. X.) 25. (x ). (Отв.

Контрольные задачи к разделу

Найдите пределы:

2.1.1. (5 +2x-1). 2.1. 2. .

2.1.3. . 2.1.4. .

2.1.5. . 2.1.6. .

2.1.7. . 2.1.8. .

2.1.9. . 2.1.10. .

2.1.11. . 2.1.12. .

2.1.13. . 2.1.14. .

2.1.15. . 2.1.16. .

2.1.17. . 2.1.18. .

2.1.19 . 2.1.20. .

2.1.21. ( 2.1.22. x).

 

 

Найдите пределы (Указание: воспользоваться сведением к первому замечательному пределу)

2.1.23. 2.1.24. .

2.1.25 . 2.1.26. .

2.1.27. . 2.1.28. .

2.1.29. x ctgx. 2.1.30. .

Найдите пределы(Указание: воспользоваться сведением ко второму замечательному пределу):

(1+ , k R;

2. 1. 32. ;

(

2. 1. 34. .

?

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте два определения предела функции. Что означает эквивалентность этих определений?

2. Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.

3. При каких условиях из существования предела функции и наоборот?

4. Существует ли ?

5. Сформулируйте два определения предела функции при x

6. Докажите, что x не существует.

7. Что означает записи: x , x -, x +, x , x и x ?

8. В каких случаях говорят о наличии неопределенности вида или ?

9. Что означает слова «неопределенность раскрыта»?

10. Почему x при x ?

11. Сформулируйте теоремы о пределах функций.

12. Докажите первый и второй замечательные пределы.

13. Сформулируйте определение бесконечно малой функции и бесконечно большой. Приведите примеры.

14. Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функцией?

15. Что означают записи: f(x)=+ , f(x)=+ ? Дайте соответствующие определения.

16. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями?

17. В каких случаях говорятся о наличии неопределенности вида или ?

Таблица производных элементарных функций

№ п/п	Формула	№ п/п	Формула
	() =     () =     () =   () =     () =     () =     (tg x) =     (ctg x) =		(arcsin x) =   (arccos x) =     (arctg x) =   (arcctg x) =     (sh x) = ch x (ch x) = sh x     (th x) =     (cth x) =   (x + ) =

 

Правила дифференцирования

№ п/п	Формула	№ п/п	Формула
	C = 0		(uv) = u v u v
2	(Cu) = Cu (u v) = = u v		=

 

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной функции y=f(x) в точке .

2. Каков геометрический смысл производной функции y=f(x) в точке ?

3. Дайте определение касательной к графику функции y=f(x) в точке ; f( )) и напишите уравнение касательной.

4. Каков физический смысл производной функции y=f(x) в точке ?

5. Может ли функция, имеющая производную в точке, быть непрерывной в этой точке?

6. Дайте определение дифференциала функции в точке .

7. Каков геометрический смысл дифференциала?

8. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Таблица основных интегралов

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1.1. Матрицы и определители