Разработка алгоритма построения графиков функций

Проведите полное исследование следующих функций и постройте их графики:

Пример 1. Построить график функции .

Решение. 1) Область определения функции - вся числовая прямая.

2) График функции пересекает ось в точках, которых (x =0, т.е. в точке с абсциссой x=1,а ось - в точке с ординатой y=1.

3) Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то вертикальных асимптот нет. Далее, из существования предела

k= = = = = =0

следует, что b= [f(x) kx]= [f(x) 0 x]= =

= = =1,

т.е. наклонных асимптот нет, а прямая y=1 - горизонтальная асимптота.

4) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную:

f ′ (x)= = .

Решая уравнение , получаем две точки возможного экстремума: 1.

5) Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

f ′′(x)= = .

Решая уравнение 4x(3 )=0, получаем три критические точки: = , =0, = .

 

6) Строим вспомогательный рисунок (рис. 2.1) и исследуем знак первой и второй производных. Получаем, что на ( функция возрастает на ( ) убывает, а на (1, + ) - снова возрастает. Точки экстремума: при переходе через точку x= производная f ′(x изменяется знак с плюса на минус, а через точку x= - с минуса на плюс, следовательно, в точке x= - максимум, а чке x= - минимум, причем f( , f(1)=0. На ( график направлен выпуклостью вниз, на ( - вверх, на (0, - вниз, а на ( - снова вверх, следовательно, точки x= x=0, x= - абсциссы точек перегиба, причем f( )=1+ ; f(0)=1, f( =1 .

7) По полученным данным строим график функции (рис.2.2).

 

 

Упражнения. Построить графики следующих функций:

1) f(x)= . 2) f(x)= . 3) f(x)= .

Пример 2. Построить график функции f(x)= .

Решение. 1) Функция определена при x > 0, т.е. в интервале 0< x <+ .

2) График функции пересекает ось в точке, которой ln x=0, т.е. в точке с абсциссой x=1, а с осью пересечения не имеет, так как функция определенна при x >0.

3) Вертикальной асимптотой является прямая x=0, так как = = (докажите это самостоятельно). Отыскиваем асимптоты:

k= = . Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получаем k= = = =0, b= [f(x) kx]= = = = =0

(здесь так же было использовано правило Лопиталя).

Таким образом, k=b=0, т.е. наклонных асимптот нет; прямая y=0 горизонтальная асимптота.

4) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную: f ′ (x)= . Решая уравнение 1 ln x=0, получаем одну точку возможного экстремума: x=e.

5) Для нахождения критических точек вычислим вторую производную: f ′′(x)= . Решая уравнение =0, ln x= , x= , получаем одну критическую точку x= .

y

 

6) На вспомогательном рисунке (рис.2.3) исследуем знак первой и второй производных. Получаем, что на (0,е) производная f′(1)= = =1>0, следовательно, функция возрастает; на (е, + ) производная f′( )= = = = <0 функция убывает. Точки экстремума: при переходе через точку x=e производная f ′(x) меняется знак с плюса на минус, следовательно, в точке x=e максимум, причем f(e)= . На (0, ) вторая производная f ′′(е)= = <0 - график направлен выпуклостью вверх, а на ( ) производная

f′′( )= = >0 - график направлен выпуклостью вниз, следовательно, точка x= абсцисса точки перегиба, причем f()= . Таким образом, точка (, ) - точка перегиба графика функции.

7) На основании полученных данных строим график функции (рис.2.4).

	рис. 2.4

Упражнения. Построить графики следующих функций:

1) f(x)=xln x. 2) f(x)= ln x. 3) f(x)= .

?Вопросы для самопроверки

1. Дайте определения локального экстремума функции.

2. Может ли функцияиметь несколько локальных экстремумов?

3. Может ли локальный максимум некоторой функции оказаться меньше какого-то локального минимума этой же функции?

4. Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие локального экстремума. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.

5. Какие точки называются точками возможного экстремума функции?

6. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие локального экстремума.

7. Дайте определение направления выпуклости графика функции.

8. Сформулируйте теорему, с помощью которой решается вопрос о направлении выпуклости графика функции.

9. Дайте определение точки перегиба графика функции.

10. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба графика функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.

11. Какие точки называются критическими?

12. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба графика функции.

13. Может ли функция иметь экстремум в точке перегиба графика функции?

14. Дайте определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот. Приведите примеры.

15. Докажите следующее утверждение: Если прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x , существуют пределы

и, обратно, если оба предела существуют, то прямая y=kx+b, является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x .

16. Приведите схему построения графика функции.