Основные теоремы о пределах последовательностей или свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

Тема №2

Предел последовательности

Лекция №6

1. Последовательность , .

2. Замечание о бесконечно больших неограниченных последовательностях.

3. Основные теоремы о пределах последовательностей.

4. Особые случаи к теоремам о пределе суммы, произведения и частного.

5. Последовательности , и , N.

6. Понятие точных граней у последовательностей.

Бесконечно большая последовательность

Доказательство провести самостоятельно.

Замечание о бесконечно больших и неограниченных последовательностях.

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Пример: Неограниченная последовательность 1;2;1;3;1;4;…1;n;… не является бесконечно большой, так как неравенство при выполняется не для всех элементов , т.е. для элементов с нечетными номерами не выполняется.

 

Особые случаи к теоремам о пределе суммы,

Произведения, частного

Материал будет рассмотрен на практическом занятии №6.

Последовательность ,

1.Дана последовательность . Требуется доказать, что .

2.Согласно лемме, если последовательность имеет предел , то её общий элемент может быть представлен в виде , т.е. в данном случае

.

Если удастся доказать, что –бесконечно малая последовательность, то докажем, что 1 – предел последовательности .

3.Очевидно, что при .

4.Возведем обе части равенства в степень: .

5.В соответствии с формулой бинома Ньютона:

.

6.Все слагаемые, стоящие справа, неотрицательны. Если отбросить все слагаемые, кроме 1^ого и 3^ого, то равенство превратится в неравенство

, .

7.Так как , то или .

8.Разделим обе части неравенства на положительное число :

или или .

9.Но , тогда .

10. т.е. при . Следовательно, при по теореме о сжатой переменной, т.е. или –бесконечно малая последовательность. Значит, , так как выполняется равенство .

Ч.т.д.

 

Последовательность

1.Пусть дана последовательность . Требуется доказать, что при .

2.Для , начиная с некоторого номера будет выполняться неравенство , причем – для случая .

3.Извлечем корень n^ой степени из всех положительных частей неравенства

.

4.Известно, что при . Поэтому .

5.В соответствии с теоремой о сжатой переменной при для , т.е. .

Ч.т.д.

Модуль

Тема №2

Предел последовательности

Лекция №7

1. Монотонные последовательности.

2. Теорема Вейерштрасса.

3. Принцип вложенных (стягивающихся) отрезков (принцип Коши - Кантора).

4. Замечание о вложенных и только стягивающихся отрезках.

5. Представление действительного числа бесконечной десятичной дробью.

Теорема Вейерштрасса

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) – немецкий математик.

Теорема:1. Всякая возрастающая последовательность имеет предел, конечный, если она ограничена сверху и бесконечный предел, равный , если она неограниченна сверху. Причем, предел последовательности равен её точной верхней грани: .

2. Всякая убывающая последовательность имеет предел, конечный, если она ограничена снизу, и бесконечный предел, равный , если она неограниченна снизу, причем, предел последовательности равен её точной нижней грани: .

Доказательство: I. 1.Пусть последовательность возрастает и ограничена сверху. Требуется доказать, что она сходится и .

2.Так как последовательность ограничена сверху, то множество значений её элементов ограничено сверху.

3.В соответствии с теоремой: «Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань и … т.д.», то последовательность имеет точную верхнюю грань, т.е. пусть .

4.На основании свойства точной верхней грани, можно записать:

а) выполняется неравенство ;

б) .

5.Так как последовательность возрастающая, то справедливо .

6.Рассмотрим неравенства: ; ; : или , или , или , или (так как , с учетом определения модуля, если , то ).

7.Последнее неравенство равносильно , но

.

Ч.т.д.

Доказательство: II. 1.Пусть последовательность неограниченна сверху и возрастает. Требуется доказать, что .

2.Известно, что если множество неограниченно сверху, то пишут

.

3.Значит, и множество значений последовательности, неограниченной сверху, тоже будет иметь такую верхнюю грань: .

4.Так как последовательность неограниченна сверху, то

.

5.Так как последовательность возрастающая, то .

6.Сравним неравенства: и .

7.Последнее неравенство говорит о том, что является бесконечно большой последовательностью .

Ч.т.д.

Замечание: 1. Аналогично разбирается случай убывающей последовательности.

2. Утверждения теоремы остаются в силе, если последовательность становится монотонной с определенного номера, так как без влияния на предел последовательности можно отбросить любое число её первых элементов.

Следствие №1. Для того, чтобы возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

Следствие №2. Для того, чтобы убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

 

Принцип вложенных отрезков (принцип Коши-Кантора)

(принцип стягивающихся отрезков)

Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик.

Этот принцип может быть положен в основу построения действительных чисел в качестве аксиомы непрерывности или полноты.

Определение: Пусть дана последовательность отрезков таких, что последующий отрезок содержится в предыдущем: , т.е. отрезок содержит отрезок , отрезок содержит отрезок , и т.д., и выполняется неравенство: , . При возрастании длина отрезка , т.е. . Такая последовательность вложенных отрезков, называется стягивающейся.

Теорема: Для любой стягивающейся последовательности вложенных отрезков существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности, т.е. такая, что справедливо неравенство:

 

 

Доказательство:I. 1.Пусть дана стягивающаяся последовательность вложенных отрезков . Требуется доказать, что , .

2.Левые концы отрезков последовательности образуют монотонную неубывающую последовательность , так как по определению : .

3.Правые концы последовательности образуют монотонную невозрастающую последовательность , так как по определению , : .

4.Последовательность ограничена сверху, так как , .

5.Последовательность ограничена снизу, так как , .

6.На основании теоремы Вейерштрасса последовательности и будут иметь конечные пределы: , .

7.Так как длина отрезка при , то можно записать или или или , т.е. .

Значит, последовательности и имеют один и тот же предел c.

8.Так как : , то , т.е. точка c принадлежит всем отрезкам последовательности . Говорят, что последовательность вложенных отрезков стягивается к точке c.

II. 1.Докажем, что точка c – единственна.

2.Доказательство проведем методом от противного, т.е. пусть ещё одна точка c₁: , , .

 

3.Тогда для должно выполняться

4.Следовательно, . А это противоречит условию теоремы. Значит, . Иточка –единственная, принадлежащая всем отрезкам последовательности .

Замечание №1. Если – стягивающаяся последовательность вложенных отрезков, и точка –точка, принадлежащая всем отрезкам данной последовательности, то и и и последовательность – неубывающая, а последовательность – невозрастающая.

Замечание №2. Теорема неверна, если вместо отрезков рассматриваются интервалы.

Пример. Дан интервал (0,1). Разделим его пополам и выберем в качестве

второго интервала его левую половину: . Делим интервал снова пополам. И вновь выберем левую половину, т.е. и т.д. Этот процесс деления и выбора интервалов бесконечный. Следовательно, получается бесконечная последовательность вложенных интервалов: … . Интервал (0,1) содержит интервал . Интервал содержит интервал и т.д.

 

 

Интервалы последовательности не имеют ни одной общей точки, так как какую бы мы точку на промежутке (0,1) ни взяли, найдется такой номер N, что . А интервалы, начиная с , не содержат точку . Точка 0 является общим левым концом всех интервалов, но “0”не принадлежит им.

Примеры. а)Построить последовательности вложенных отрезков, стягивающихся к точке и .

1) … .

 

 

2) … .

 

б)К какой точке стягивается последовательность вложенных отрезков

; ; ;…; ;…?

Ответ: с=1.

в) Какая последовательность называется вложенной? Стягивающейся?

г) Является ли вложенной последовательность отрезков

; ;…; ;…?

Последовательность вложенных отрезков, но не стягивающаяся, так как стягивается ни к нулю, а к 1 или 2.

д) Является ли вложенной последовательность отрезков

; ; ;…; ;…?

 

Нет.

е) Отрезок делится пополам. И берется его левая половина. Потом её делят пополам и берут правую половину. Потом эту половину делят пополам и берут левую половину. Найти общую точку получившихся отрезков.

Десятичной дробью

Лемма: Каково бы ни было действительное число , последовательность монотонно убывает, последовательность монотонно возрастает, и .

Доказательство: 1.Пусть задано некоторое действительное число . Для определенности, пусть .

2.В силу аксиомы Архимеда: «Каково бы ни было число, существует такое натуральное число , что, : ()(): ».

3.Среди натуральных чисел возьмем такое , наименьшее из них и обладающее свойством . Обозначим его , т.е. .

4.Так как , то . Значит, можно написать .

Покажем на рисунке.

5.Обозначим отрезок и разобьем его на 10 равных частей.

6.Рассмотрим последовательность отрезков , где .

1^ый отрезок будет = , когда .

2^ой отрезок будет = , когда .

………………………………………………………

10^ый отрезок будет = , когда .

7.Для точки возможны два случая:

а) либо точка не совпадает ни с одной точкой деления;

б) либо точка совпадает с одной из точек деления

или

8.В случае а) точка принадлежит только одному отрезку. Обозначим его ; : , где .

9.В другом случае точка принадлежит сразу двум отрезкам. Тогда через обозначим из них тот, для которого точка не является правым концом, .

10.Разобьем отрезок в свою очередь на десять равных частей, на 10 равных отрезков.

11.Обозначим через тот из них, который содержит точку , и для которого точка не является правым концом .

12.Продолжая этот процесс разбиения на отрезок, получим последовательность вложенных отрезков: , где , (, ).

13.Каждый из отрезков содержит точку , причем точка не является его правым концом , .

14.Длина n^ого отрезка при .

Определение №1: Конечные десятичные дроби , называются десятичными дробями, приближающими число .

Определение №2: Число называется нижним десятичным приближением порядка числа , а число называется верхним десятичным приближением порядка числа .

15.Сформулируем свойства нижнего и верхнего десятичных приближений порядка n^ого числа :

а) последовательность отрезков , образуют последовательность вложенных отрезков или ;

б) длина n^ого отрезка к 0 при и ;

в) точка принадлежит всем этим отрезкам , , т.е.

, и при .

г) левые концы отрезков образуют возрастающую последовательность;

д) правых концы отрезков образуют убывающую последовательность .

Следовательно, получаем стягивающую последовательность вложенных отрезков , .

16.Согласно замечанию №1 к теореме (принципу) Коши-Кантора точка является пределом для последовательностей и , т.е.

.

17.Таким образом, лемма доказана.

Замечание: Если отрицательно, т.е., , то нужно принять и выполнить подобные исследования.

Следствие к лемме: Всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.

Следствие теоремы вытекает из того, что и суть рациональные числа.

Модуль

Тема №2

Предел последовательности

Лекция №8

1. Число е.

2. Подпоследовательности.

3. Теорема о сходимости подпоследовательности сходящейся последовательности.

4. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Число е

Докажем, что .

Доказательство: 1.Рассмотрим последовательность с общим членом : , , …, ,…. (2; 2,25; 2,357; 2,44; …, ,…).

Требуется доказать, что, – иррациональное число, т.е., что последовательность сходится к при .

2.Известно, что возрастающая последовательность, ограниченная сверху сходится к конечному числу.

3.Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

.

4.Представим выражение в следующем виде:

или

.

5.Аналогичным образом представим элемент данной последовательности:

.

6.Сравним два выражения и , .

7.Так как, , то поэтому .

8.Сравним и .

Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего слагаемого в выражении . Кроме того, у по сравнению с добавляется одно положительное слагаемое. Следовательно, , т.е. последовательность возрастает. Осталось доказать, что она ограничена сверху.

9.Рассмотрим опять n^ый элемент последовательности:

.

10.Каждое выражение, стоящее в круглых скобках меньше 1, т.е.

.

11.Учитывая это, получим, , так как

.

12.Известно, что при .

(Например, ; и т.д.).

13.Поэтому можно записать или .

14.Но это сумма убывающей геометрической прогрессии с ; . Следовательно, .

15.Тогда или при .

16.Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху 3.

А всякая последовательность, возрастающая и ограниченная сверху (по теореме Вейерштрасса) имеет конечный предел. Как оказалось

.

Ч.т.д.

 

 

Модуль

Тема №3

Лекция №9

1. Понятие функции.

2. Операции над функциями.

3. Ограниченные сверху, снизу и ограниченные функции.

4. Наибольшее, наименьшее, максимальные, минимальные и экстремальные значения функции.

5. График функции.

6. Способы задания функции. Композиция функций.

7. Классификация функций.

8. Четные, нечетные функции и их свойства.

9. Периодические функции.

Понятие функции

Определение. Пусть и – некоторые числовые множества. Функцией называется множество упорядоченных пар чисел таких, что , , а каждое входит в одну и только в одну пару такого множества , а каждое y входит, по крайней мере, в одну пару этого множества .

При этом говорят, что числу поставлено в соответствие число и пишут: . Число называется значением функции в точке . Переменную называют зависимой переменной, а переменную называют независимой переменной или аргументом.