Ограниченные сверху, снизу и ограниченные функции

Определение №1. Функция , определенная на некотором множестве , называется ограниченной сверху на этом множестве, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство: .

Определение №2. Функция , определенная на некотором множестве , называется ограниченной снизу на этом множестве, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство .

Определение №3. Функция , ограниченная сверху и снизу на множестве , называется ограниченной на этом множестве.

Очевидно, что функция ограничена на множестве тогда, когда существует такое число , что для любого выполняется неравенство или .

Верхняя и нижняя грани функции

Определение №1. Верхняя грань множества значений числовой функции , определенной на множестве , называется верхней гранью функции . Обозначение: или .

Определение №2. Нижняя грань множества значений числовой функции , определенной на множестве , называется нижней гранью функции . Обозначение: или .

Замечание. 1. Верхняя (нижняя) грань функции может быть как конечной, так и бесконечной.

2. Функция ограничена сверху (снизу) на множестве тогда и только тогда, когда она имеет на этом множестве конечную верхнюю (нижнюю) грань.

Наибольшие, наименьшие, максимальные, минимальные и экстремальные значения функции

Определение №1. Функция , определенная на множестве , принимает в точке наибольшие (наименьшие) значения, если .

Определение №2. Наибольшие (наименьшие) значения функции называется также максимальным (минимальным) значением и пишется: или .

Определение №3. и значения функции называются экстремальными.

 

График функции

Определение №1. График функции – это множество пар точек , координаты которых связаны соотношением .

Определение №2. Соотношение называется уравнением графика функции.

Пример: График функции состоит из отдельных точек (рис.1.).

8 4

y 4

1!

2!

3!

x

-1

-1

x 1

y 1

y 2

y

x

Рис.1.Рис.2.

Замечание. Не всякая линия является графиком какой-либо одной функции.

Пример. Уравнение окружности не является графиком одной функции, так как каждое входит не в одну, а в две пары чисел этого множества . и , где ; .

А это противоречит требованию однозначности в определении функций. Но часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости, является графиком функции . А другая часть окружности, лежащая в верхней полуплоскости, является графиком функции .

 

Способы задания функции

Определение. Задать функцию – это значит, указать, как по каждому значению аргумента найти соответствующие ему значения функции .

Существует три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

I. Аналитический явный способ задания функции

Сущность способа: Зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы. Она указывает, какие действия надо выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующие данному значению аргумента.

Пример: Формула (сигнум с латинского языка «знак») задает функцию

y

x

-1

Рис.3.

Данная функция задана с помощью нескольких формул. Эта функция определена на всей числовой прямой. А множество ее значений состоит из –1;0;1.

2. Функция Дирихле

определена на всей числовой прямой. А множество ее значений состоит из двух чисел: 1,0. Функцию Дирихле графически изобразить нельзя.

II. Аналитически неявный способ задания функции

1. Неявные функции

Определение. Пусть задано уравнение вида , т.е. задана функция двух действительных переменных и . Причем, рассматриваются только такие пары (если они существуют), для которых выполняется условие . Функции, задаваемые таким образом, называются неявными.

Замечание. 1. Термин «неявная» отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания.

2. Одна и та же функция может быть задана как явно, так и неявно.

Пример: Функции, заданные явно могут быть заданы и неявным образом с помощью уравнения: .

3. Сложные функции

Если заданы функции и , причем, область определения функции содержит множество значений функции , тогда каждому из области определения функции естественным образом соответствует такое, что , где .

Определение. Функция, определяемая соотношением называется сложной функцией или, композицией функций или суперпозицией функций и и обозначается т.е.

.

Сложная функция отражает не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания.

Пример. . Данную функцию можно рассматривать как суперпозицию следующих функций: ; ; ; ; .

III. Табличный способ задания функции

Пусть дана таблица

x		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
y	−1

Поставим в соответствие каждому значению , записанному в первой строке таблицы, число , стоящее во второй строке под числом . Тогда, можно сказать, что функция задана таблично. Областью определения этой функции является множество, состоящее из 8 чисел . Они перечислены в первой строке таблицы. Множеством значений этой функции является множества, состоящее из 8 чисел , перечисленных во второй строке. С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента. Таблицы часто используются для задания функции.

Пример: Таблицы тригонометрических функций; таблицы логарифмов и т.д.

IV. Графический способ задания функции

Соответствие между переменными и y задается посредством графика. Обычно графики чертятся с помощью самопишущих приборов. Данный способ задания функции используется при физических, медицинских измерениях.