Квадратная матрица. Треугольная, диагональная, единичная матрицы. Степень квадратной матрицы. Матричный многочлен.

Квадратной матрицей называется матрица у которой количество строк совпадает с количеством строк.

Порядок квадратной матрицей называется количество её строк.

Диагональю квадратной матрицы порядка n называется совокупность её элементов aii где i=j

Побочной диагональю матрицы называется (a(n,1), a(n-1,2), …, a(1, n))

Диагональная матрица называется квадратные матрицы у которой все элементы расположенные в не главной диагонали равны нулю

Единичная матрица называется диагональная матрица у которой все элементы главной диагонали равны 1 и обозначается Е

Пусть М принадлежит N и М не равно 1

М - ой степенью матрица А называют М – кратное произведение этой матрица

А^М=А₁*А₂*…*А_М

Свойства

1) A^m=A^m-1*A=A*A^m-1

2) A^m*A^k=A^k*A^m=A^k+m

3)

4)

Матричный многочлен

Пусть f(x)=a₀xⁿ+a₁­x^n-1+…+a_n-1x+a_n

A – квадратная матрица порядка М

F(a)= a₀Aⁿ+a₁­A^n-1+…+a_n-1A+a_nE

Где Е единичная матрица порядка М

Называется матричный многочлен степени М

Для любой квадратной матрицы А определено произведение А*А. Назовем произведение А*А квадратом матрицы А: A² = A*A. Произведение A*A^r-1 для любого целого положительного числа r называется r-й степенью матрицы А. Т.е. A^r=A*A^r-1. Обозначаем A^r.

Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

Определителем квадратной матрицы А порядка n называется алгебраическая сумма n! произведения вида (-1)^n(a) a1j₁ a2j_{2 …}anj_{n ­} в каждом из которых содержится по 1 – ому элементу из каждой строки и каждого столбца.

1) Вычисление по любой строке и любому столбцу

2) Вычисление треугольником

3) Правилом дополнения

4)

 

 

Свойства определителей.

1) Если все элементы некоторой строки или столбца равны 0, то определитель равен 0

2) Если определитель имеет 2 одинаковых строки или 2 одинаковых столбца, то он равен 0

3) Если элементы 2 строк пропорциональны то определитель равен 0

4) (Линейная зависимость строк и столбцов)

Если все элементы К ого столбца определителя N порядка имеют вид

Aij=L1*ai1+L2*ai2+…+Lk1*aik+Lk+1*aik+…+Ln*ain то определитель равен 0

Замечание: имеет место аналогичное свойство для строк

=0

 

5) При транспортировании матриц определитель не меняется

6) Общий множитель некоторой строки элементов выноситься за знак определителя

 

7) При перестановке 2 ух строк или 2 ух столбцов определителя изменяется только знак

 

8) Если в некоторой строке прибавить другую строку умноженную на произвольные числа то определитель не измениться

9) Если к некоторому столбцу прибавить другой столбец умноженный на любое число то определитель не изменится

10) Если все элементы К ого столбца определителя Д n-ого порядка приставить в виде

Aij=L₁Bi1+L₂bi2, то Д=L₁Д₁+L₂Д₂

11) Определитель Д ого порядка равен сумме по парных произведений всех элементов I ой строки, на их алгебраические дополнения

12) Определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению всех её элементов главной диагонали

13) det A = det A^T;

14) det (A ± B) = det A ± det B.

15) det (AB) = detA×detB