Дифференциал функции, его свойства.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Дифференциал функции f – это линейная функция y=f’(x0)*(x-x0) в точке x0 и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть dx=x-x0 Поэтому пишут: df=f’(x)dx

Дифференциал в математике — линейная часть приращения функции или отображения.

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: f’(x)=df/dx

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

Свойства

1) d(u ± v) = (u ± v)dx = udx ± vdx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

 

Дифференцирование элементарных функций. Табличные производные.

Дифференцирование элементарных функций

1) (X+Y) ’=X’+Y’

2) (X-Y) ’=X’-Y’

3) (C*X) ’=C*X’, Где С это постоянная

4) (X*Y) ’=X’Y+XY’

5) (X/Y) ’=(X’Y-XY’)/(Y*2)

6) (F(K*X+B)) ’=KF’*(KX+B) ’

7) (F(g(X)) ’=F’(g(X))*g’ (x)

 

Табличные производные

1) C’=0, где С постоянная

2) (Xⁿ) ’=n*x^n-1

3) =

4) (e^x)’=e^x

5) (A^x)’=A^x*ln g

6) (Ln x)’=

7) (sin x)’= cos x

8) (Cos x)’= - sin x

9) (Tg x)’=

10) (Ctg x)’ = -

11) (Arcsin x) ’=

12) (Arcos x) ’= -

13) (Arctg x) ’=

14) (Arcctg x) ’= -

 

 

Понятие матрицы. Операции над матрицами, их свойства.

Матрица размером MxN называется совокупностью M и N чисел, расположенных в виде прямоугольных таблиц из M строк и N столбцов

Элементом матрицы (i и j) называется число расположенное на пересечении итой строки и джитого столбца матрицы

Операции над матрицами

А.Сложение матриц

Это сумма матриц А и В одинакового размера MxN, называется квадратные матрицы MxN, которые определяются по формуле Сij=Aij+Bij

 

Б. умножение матриц

Произведение матрицы А размера М и Х называется матрица В размерами М и Х, такая что Вij=P*aij, где Р это любое число.

 

5* =

 

В. Вычитание матриц

Разность А-В матриц элементами ij одинакового размера M и X называется матрица С размерами М и Х такая что Cij=Aij-Bij

 

=

 

Г. Произведение матриц

Необходимое условие: количество столбцов матрица А равно количеству строк матрицы В.

Произведение матрицы А размерами М х К на матрицу В размерами К и N называется матрица С размерами М и К. такая что Cij=Ai1*B1j+Ai2*B2j+Ai3*B3j…+Aik*Bkj

Примеры

A*B=

B*A=

Свойства

1.) Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

2.) Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть A + Θ = A

3.) Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

4.) Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

5.) Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

6.) Коммутативность сложения: A + B = B + A.

7.) Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

8.) Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

9.) Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A − 1)^T = (A^T) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.

(A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T

10.) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными

11.)Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).