Собственные значения матрицы. Собственные и присоединённые векторы матрицы.

 

Пусть А- квадратная матрица порядка n

 

Определение 1. Комплексное число называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевое решение матричного уравнения

 

Алгебраическая кратность собственного значения лямбда матрицы А, называеться кратность коря лимба характеристического уравнением Det(A-גE)

Квадратная матрица порядка n имеет с учетом кратности M собственных значений

 

Собственный вектор квадратной матрица А называеться отвечающий её собственному значению лямбда, называеться не нулевое решение Ах=גх

Собственные вектора квадратной матрицы отвечающие различным её собственным значениям называемых линейным

Каждому собственному значению лямбда матрицы а отвечает m=n-rang(A-גE) линейно не зависимых собственных векторов

Геометрическая кратность собственного значения лямбда квадратной матрицы А называется количество линейно не зависимых собственных векторов этой матрицы отвечают их собственному значению Лямбда

Комплексные числа, их геометрическая интерпретация.

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

 

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

 

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

1) два комплексных числа z ₁ = (x ₁, y ₁) и z ₂ = (x ₂, y ₂) называются равными, если x ₁ = x ₂ и y ₁ = y ₂;

2) суммой комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z вида z = (x ₁ + x ₂, y ₁ + y ₂);

3) произведением комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число

z = (x ₁ x ₂ - y ₁ y ₂, x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z такое, что z ₂ + z = z ₁, откуда находим z = z ₁ - z ₂ = (x ₁ - x ₂, y ₁ - y ₂).

Частным комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что. Отсюда находим Z=(; )

Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами.

Z=x+yi алгебраическая форма

Z=x-jy число сопряженное числу Z=x+yi

j - мнимая единица

j²=-1

Сложение и вычитание.

 

Умножение.

В тригонометрической форме:

,

 

3) Деление.

 

 

В тригонометрической форме:

4) Возведение в степень.

В общем случае получим: ,

5) Извлечение корня из комплексного числа.

Отсюда: