Производная функции. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций. Геометрический смысл производной функции.

Производная функции. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций. Геометрический смысл производной функции.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Дифференцирования суммы:

Дифференцирования разности:

Дифференцирования произведения (правило Лейбница):

Дифференцирования частного:

 

у

f(x)

 

 

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

 

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

 

 

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. ,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

 

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

 

Дифференциал функции, его свойства.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Дифференциал функции f – это линейная функция y=f’(x0)*(x-x0) в точке x0 и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть dx=x-x0 Поэтому пишут: df=f’(x)dx

Дифференциал в математике — линейная часть приращения функции или отображения.

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: f’(x)=df/dx

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

Свойства

1) d(u ± v) = (u ± v)dx = udx ± vdx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

 

Дифференцирование элементарных функций. Табличные производные.

Дифференцирование элементарных функций

1) (X+Y) ’=X’+Y’

2) (X-Y) ’=X’-Y’

3) (C*X) ’=C*X’, Где С это постоянная

4) (X*Y) ’=X’Y+XY’

5) (X/Y) ’=(X’Y-XY’)/(Y*2)

6) (F(K*X+B)) ’=KF’*(KX+B) ’

7) (F(g(X)) ’=F’(g(X))*g’ (x)

 

Табличные производные

1) C’=0, где С постоянная

2) (Xⁿ) ’=n*x^n-1

3) =

4) (e^x)’=e^x

5) (A^x)’=A^x*ln g

6) (Ln x)’=

7) (sin x)’= cos x

8) (Cos x)’= - sin x

9) (Tg x)’=

10) (Ctg x)’ = -

11) (Arcsin x) ’=

12) (Arcos x) ’= -

13) (Arctg x) ’=

14) (Arcctg x) ’= -

 

 

Операции над матрицами

А.Сложение матриц

Это сумма матриц А и В одинакового размера MxN, называется квадратные матрицы MxN, которые определяются по формуле Сij=Aij+Bij

 

Б. умножение матриц

Произведение матрицы А размера М и Х называется матрица В размерами М и Х, такая что Вij=P*aij, где Р это любое число.

 

5* =

 

В. Вычитание матриц

Разность А-В матриц элементами ij одинакового размера M и X называется матрица С размерами М и Х такая что Cij=Aij-Bij

 

=

 

Г. Произведение матриц

Необходимое условие: количество столбцов матрица А равно количеству строк матрицы В.

Произведение матрицы А размерами М х К на матрицу В размерами К и N называется матрица С размерами М и К. такая что Cij=Ai1*B1j+Ai2*B2j+Ai3*B3j…+Aik*Bkj

Примеры

A*B=

B*A=

Свойства

1.) Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

2.) Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть A + Θ = A

3.) Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

4.) Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

5.) Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

6.) Коммутативность сложения: A + B = B + A.

7.) Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

8.) Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

9.) Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A − 1)^T = (A^T) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.

(A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T

10.) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными

11.)Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

 

Матричный многочлен

Пусть f(x)=a₀xⁿ+a₁­x^n-1+…+a_n-1x+a_n

A – квадратная матрица порядка М

F(a)= a₀Aⁿ+a₁­A^n-1+…+a_n-1A+a_nE

Где Е единичная матрица порядка М

Называется матричный многочлен степени М

Для любой квадратной матрицы А определено произведение А*А. Назовем произведение А*А квадратом матрицы А: A² = A*A. Произведение A*A^r-1 для любого целого положительного числа r называется r-й степенью матрицы А. Т.е. A^r=A*A^r-1. Обозначаем A^r.

Свойства определителей.

1) Если все элементы некоторой строки или столбца равны 0, то определитель равен 0

2) Если определитель имеет 2 одинаковых строки или 2 одинаковых столбца, то он равен 0

3) Если элементы 2 строк пропорциональны то определитель равен 0

4) (Линейная зависимость строк и столбцов)

Если все элементы К ого столбца определителя N порядка имеют вид

Aij=L1*ai1+L2*ai2+…+Lk1*aik+Lk+1*aik+…+Ln*ain то определитель равен 0

Замечание: имеет место аналогичное свойство для строк

=0

 

5) При транспортировании матриц определитель не меняется

6) Общий множитель некоторой строки элементов выноситься за знак определителя

 

7) При перестановке 2 ух строк или 2 ух столбцов определителя изменяется только знак

 

8) Если в некоторой строке прибавить другую строку умноженную на произвольные числа то определитель не измениться

9) Если к некоторому столбцу прибавить другой столбец умноженный на любое число то определитель не изменится

10) Если все элементы К ого столбца определителя Д n-ого порядка приставить в виде

Aij=L₁Bi1+L₂bi2, то Д=L₁Д₁+L₂Д₂

11) Определитель Д ого порядка равен сумме по парных произведений всех элементов I ой строки, на их алгебраические дополнения

12) Определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению всех её элементов главной диагонали

13) det A = det A^T;

14) det (A ± B) = det A ± det B.

15) det (AB) = detA×detB

 

 

Сложение и вычитание.

 

Умножение.

В тригонометрической форме:

,

 

3) Деление.

 

 

В тригонометрической форме:

4) Возведение в степень.

В общем случае получим: ,

5) Извлечение корня из комплексного числа.

Отсюда:

 

Свойства однородной системы

1* любая однородная слау совместна, имеет решение X1=0 X2=0 Xn=0

2* любая линейная комбинация решений однородной слау является решение этой системы

3* однородная слау имеет не нулевое решение тогда и только тогда когда ранг матрицы её коэффициента меньше количества её неизвестных

4* однородная слау имеет только нулевое решение когда ранг коэффициента равен количеству не известных этой системы.

Полярная система координат

 

Определение Полярная система координат из точки О на плоскости, называется полюсом, луча, исходящего из полюса и единичного отрезка.

 

Луч, исходящий из полюса, называется полярным лучом или полярной осью.

 

Полярными координатам точки А на плоскости являются полярный радиус r и полярный угол

 

Определение Полярным радиусом точки А называется расстояние от точки А до полюса.

 

Определение Полярным углом точки А, называется величина ориентированного угла между полярным лучом ОР и углом ОА

 

Производная функции. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций. Геометрический смысл производной функции.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Дифференцирования суммы:

Дифференцирования разности:

Дифференцирования произведения (правило Лейбница):

Дифференцирования частного:

 

у

f(x)

 

 

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

 

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

 

 

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. ,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

 

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)