Арифметический квадратный корень

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - () - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Корнем k –ой степени из a (k - нечетное) называется число, k -ая степень которого равна a.

Квадратное уравнение:

ax² + bx + c = 0

 

Дискриминант: D = b² – 4ac

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение: x² + px + q = 0

x₁ + x₂ = - p

x₁ × x₂ = q

x₁+x₂ = -b/a

x₁× x₂ = c/a

Логарифм

Определение

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .

a - основание логарифма (a > 0, a ¹ 1),

b - логарифмическое число (b > 0)

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм: где e = 2,71828

Формулы

Дроби

Сложение

Деление с остатком:

	Признак	Пример
На 2	Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой	…….6
На 4	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4.	……12
На 8	Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8.	…..104
На 3	Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9	Числа, сумма цифр которых делится на 9.
На 5	Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.	…….5
На 25	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25.	……75
На 10	Числа, оканчивающиеся нулём.	……0

Формуладеления с остатком: n = m×k + r, где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 £ r < m   Пример: Любое число можно представить в виде: n = 2k + r, где r = {0; 1} или n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}

Вычитание

Умножение

Деление

Составная дробь

Делимость натуральных чисел:

Пусть n: m = k, где n, m, k – натуральные числа.

Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.

Число n называется простым, если его делителями являются

только единица и само число n.

Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13;...; 41; 43; 47 и т.д.}

Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.

Десятичные числа:

Стандартный вид: 317,3 = 3,173× 10² ; 0,00003173 = 3,173× 10^-5

Форма записи: 3173 = 3× 1000 + 1× 100 + 7× 10 + 3

Модуль

Формулы Определение

· ½ x ½ ³ 0

· ½ x - y ½ ³ ½ x ½ - ½ y ½

· ½- x ½=½ x ½

· ½ x × y ½ = ½ x ½ × ½ y ½

· ½ x ½ ³ x

· ½ x: y ½ =½ x ½: ½ y ½

· ½ x + y ½ £ ½ x ½ + ½ y ½

½ x ½² = x ²

Неравенства

Определения:

Неравенством называется выражение вида:

a < b (a £ b), a > b (a ³ b)

Основные свойства:

Модуль: уравнения и неравенства

1.

2.

3.

4.

5.

Периодическая дробь

Правило:

Признаки делимости чисел:

Проценты

Определение:

Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A

Основные типы задач на проценты:

Сколько процентов составляет число A от числа B?

B - 100%

A - x%

Сложные проценты.

Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.

Как, в итоге, изменилось исходное число?

1) A₁ = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A

2) A₂ = (100% - 25%)A₁=75%A₁ = 0,75A₁ = 0,75×1,2A = 0,9A = 90%A

3) A₁ – A = 90%A – 100%A = -10%A

Þ Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины.

Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

Þ Ответ: уменьшится на 20%

 

Þ Ответ: уменьшится на 20%

Среднее арифметическое, геометрическое

Среднее арифметическое:

Среднее геометрическое:

Уравнение движения

Пусть - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.

Тогда: ,

где – скорость, - ускорение.

Определенный интеграл

Первообразная элементарных функций

№	f(x)	F(x)		№	f(x)	F(x)

Правила вычисления первообразной функции

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если .

Функция	Первообразная

Правила вычисления производной функции

	Сложная функция:

Производные элементарных функций

№	Функция	Производная		№	Функция	Производная

Равносильные уравнения:

Исходное уравнение		Равносильное уравнение (система)
	Û
	Û
	Û
	Û

Числовые множества:

Натуральные числа	N = { 1; 2; 3; 4;..}
Целые числа	Z = N È { 0; -1; -2; -3; …}
Рациональные числа	Q = Z È
Действительные числа	R = Q È

Тригонометрия

Основные триг. формулы

Þ

Þ

Формулы суммы функций

Формулы суммы аргументов:

Формулы произведения функций

Формулы половинного аргумента

Формулы двойного аргумента

Формула дополнительного угла

где

Определение тригонометрических функций

 

Универсальная подстановка

Свойства тригонометрических функций

Функция	Свойства
Область определения	Множество значений	Четность-нечетность	Период
cosx			cos(-x)= cosx	2p
sinx			sin(-x)= -sinx	2p
tgx			tg(-x)= -tgx	p
ctgx			ctg(-x)= -ctgx	p

Тригонометрические уравнения

Косинус:

Уравнения с синусом

Частные формулы:

Общая формула: